“平均的平均”不平均

□ 楊潤(rùn)歌 王 瀟 郜舒竹

在日常生活中，經(jīng)常會(huì)遇到“分東西”的情境，如將一定數(shù)量的橘子分成幾份，問(wèn)每份有幾個(gè)，或?qū)⒁欢温烦谭殖蓭锥?，?wèn)每段有多長(zhǎng)等。這類(lèi)問(wèn)題通常借助“平均分”即總數(shù)除以份數(shù)來(lái)求得相應(yīng)結(jié)果，但是當(dāng)求解兩個(gè)小組的平均成績(jī)時(shí)，在某些情況下為何不能利用兩組的平均分之和除以2呢？平均的平均為什么會(huì)出現(xiàn)不平均的情況？

一、平均的平均

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中，二年級(jí)初學(xué)除法時(shí)最早接觸了“平均”這一概念，到四年級(jí)時(shí)出現(xiàn)了“平均數(shù)”。平均數(shù)代表了一組數(shù)據(jù)的平均水平，例如“假設(shè)第一組5個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為92分、94分、97分、90分和100分，其平均分是94.6分；第二組4個(gè)同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為87分、90分、92分和93分，其平均分是90.5分”。通過(guò)平均數(shù)能判斷出第一組同學(xué)的數(shù)學(xué)水平更高，而兩組的平均分又是多少呢？通常采用的方法是“總分之和除以總?cè)藬?shù)”，即：。

圖1 兩組平均分的對(duì)應(yīng)圖

當(dāng)兩組的平均分之和除以總組數(shù)，也就是除以“2”時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小組的人數(shù)不同，第一組5個(gè)人的平均分為94.6分，第二組4個(gè)人的平均分為90.5分。在平均的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再次平均時(shí)，第一組的第一個(gè)人可與第二組的第一個(gè)人對(duì)應(yīng)，第一組的第二個(gè)人與第二組的第二個(gè)人對(duì)應(yīng)……如此進(jìn)行下去會(huì)發(fā)現(xiàn)第一組的第五個(gè)人將被剩下。也就是說(shuō)如果將每個(gè)人的平均成績(jī)看作一個(gè)單位時(shí)，第一組有5個(gè)單位，第二組有4個(gè)單位，由于單位數(shù)量的不對(duì)應(yīng)阻礙了平均的平均。由此表明“兩組的平均分之和除以總組數(shù)”的不合理性，若想合理則要保證單位數(shù)量的對(duì)應(yīng)。

由此可見(jiàn)，當(dāng)單位數(shù)量之間達(dá)到“同構(gòu)（Isomorphism）”時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)平均的平均。同構(gòu)是指對(duì)象之間“結(jié)構(gòu)相同”，遵循“一一對(duì)應(yīng)（One-One Mapping）”的原則。[1]這樣的對(duì)應(yīng)不僅體現(xiàn)在單位數(shù)量上，還體現(xiàn)在單位的大小上。關(guān)于單位大小的對(duì)應(yīng)接下來(lái)將借助“上山下山”問(wèn)題、“漲價(jià)降價(jià)”問(wèn)題和“雞兔同籠”問(wèn)題進(jìn)一步說(shuō)明如何實(shí)現(xiàn)平均的平均。

二、“上山下山”的平均速度與速度的平均

“上山下山”問(wèn)題是指“小明上山以2米/秒的速度行進(jìn)，下山以3米/秒的速度行進(jìn)，求小明行進(jìn)的平均速度”。對(duì)于“平均速度”通?？梢越柚烦膛c時(shí)間的數(shù)量關(guān)系求得，卻不能借助“速度的平均”來(lái)求得。

在該問(wèn)題中，上山每秒所對(duì)應(yīng)的路程是2米，下山每秒所對(duì)應(yīng)的路程是3米，可將每秒所對(duì)應(yīng)的路程看作單位，此時(shí)上山與下山的單位大小并不對(duì)應(yīng)。在上山與下山路程相同的前提下，可以假定上山和下山的路程都是6米，那么上山的2米有3份，下山的3米有2份（如圖2所示）。其中的3份和2份是指單位的數(shù)量，由此單位數(shù)量也不存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于總路程6米是固定的，所以單位大小的不對(duì)應(yīng)導(dǎo)致了單位數(shù)量的不對(duì)應(yīng)。

圖2 “上山下山”問(wèn)題示意圖

既然單位數(shù)量不對(duì)應(yīng)，則無(wú)法將下山時(shí)每一單位中多余出的1米平均分到上山與下山的每份中。基于單位的不對(duì)應(yīng)，導(dǎo)致無(wú)法形成同構(gòu)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就不能實(shí)現(xiàn)速度的平均。所以能否先通過(guò)轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)單位大小對(duì)應(yīng)后再來(lái)解決問(wèn)題呢？

在下山時(shí)，可將每秒3米的路程轉(zhuǎn)換成每秒2米，2份單位里會(huì)多出2個(gè)1米。此時(shí)上山與下山的單位大小均為2米，一共有5份，也就是單位數(shù)量為5，每份可以多增加0.4米，所以最終的平均速度是2.4米/秒[0.4+2=2.4(米)]。由3米到2米的過(guò)程中蘊(yùn)含了單位“多”與“多”之間的轉(zhuǎn)換，這里的“多”實(shí)際上是指單位數(shù)量的“多”。

上山與下山的路程都是“6米”，即有6個(gè)以“1米”為單位的量，可看作是單位的“多”；若將“6米”看作一個(gè)整體，即有1個(gè)以“6米”為單位的量，可看作是單位的“一”。這種理解同一事物的不同想法可稱(chēng)為單位的“一多轉(zhuǎn)換”。除了“一多轉(zhuǎn)換”外，還有上述談及的“多多轉(zhuǎn)換”。3個(gè)“2米”和2個(gè)“3米”都可看作是單位的“多”?？蓪⒗谩耙欢噢D(zhuǎn)換”或“多多轉(zhuǎn)換”思考問(wèn)題的認(rèn)知方式稱(chēng)為單位化（Unitizing）。

實(shí)際上，利用單位化解決問(wèn)題是在“求同（Identification）”思維的驅(qū)使下完成“多多轉(zhuǎn)換”的單位對(duì)應(yīng)。這是因?yàn)樵诙鄶?shù)情況下，人們更愿意基于相同的量來(lái)思考問(wèn)題，也就是“求同存異”。

三、“先漲后降”不相同

“漲價(jià)降價(jià)”問(wèn)題是指“某品牌商品先提價(jià)20%銷(xiāo)售，后期無(wú)人問(wèn)津，不得不優(yōu)惠20%后銷(xiāo)售，問(wèn)最后售價(jià)與當(dāng)初原價(jià)相比如何”。若按照生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，先給20個(gè)橘子，再拿走20個(gè)橘子，此時(shí)還有0個(gè)橘子；或者規(guī)定向東行進(jìn)的方向?yàn)檎较?，先向東走20米，再向西走20米，此時(shí)將位于原位置。根據(jù)認(rèn)知主體的經(jīng)驗(yàn)，兩個(gè)例子中前后變化了相同的范圍卻能保持原量不變（用算式可表達(dá)為“”），由此推知“漲價(jià)降價(jià)”問(wèn)題中，最終售價(jià)理應(yīng)等于當(dāng)初原價(jià)。這是通過(guò)直覺(jué)獲得的推斷，是一種直覺(jué)的結(jié)果。[2]而實(shí)際情況并非如此，可以說(shuō)“等于原價(jià)”是一種反直覺(jué)現(xiàn)象。

假設(shè)這一商品的原價(jià)為100元，漲價(jià)20%或降價(jià)20%都可以表達(dá)為。這一問(wèn)題包括兩個(gè)環(huán)節(jié)，一個(gè)是漲價(jià)，另一個(gè)是降價(jià)。漲價(jià)是基于原價(jià)100元的20%，漲所對(duì)應(yīng)的單位是“20元”，而降價(jià)是基于漲價(jià)后120元的20%，降所對(duì)應(yīng)的單位是“24元”，所以“漲”與“降”的單位大小不對(duì)應(yīng)。漲價(jià)后由原價(jià)的5份20元，變成了6份20元，其單位數(shù)量是“6”；而降價(jià)既然是20%，也就是，所以應(yīng)先將漲價(jià)后的6份20元轉(zhuǎn)換成5份24元，這樣看來(lái)，降價(jià)所對(duì)應(yīng)的單位數(shù)量是“5”。

既然漲價(jià)與降價(jià)的單位大小和單位數(shù)量均不滿(mǎn)足一一對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)，那么可以借助單位化的認(rèn)知過(guò)程達(dá)到“求同”。最初原價(jià)與漲價(jià)后的單位大小是對(duì)應(yīng)的，均為20元，由此可以直接進(jìn)行單位數(shù)量的對(duì)應(yīng)。如圖3所示，漲價(jià)后是6份20元，由于降價(jià)的要求是“優(yōu)惠20%”，所以6份應(yīng)轉(zhuǎn)換成5份，即選取6份中的1份平均分到其余5份中去。這樣由6份中的每1份20元，轉(zhuǎn)換到5份中每1份是24元的過(guò)程體現(xiàn)了“多多轉(zhuǎn)換”的思維過(guò)程。

圖3 漲價(jià)中的“多多轉(zhuǎn)換”示意圖

如圖4所示，降價(jià)是基于5份24元的，而“優(yōu)惠20%”是指去掉其中的1份，得到最后售價(jià)有4份24元。由于最后售價(jià)與最初原價(jià)（5份20元）既沒(méi)有單位大小的對(duì)應(yīng)，也沒(méi)有單位數(shù)量的對(duì)應(yīng)，所以二者不能直接比較，由此要再次進(jìn)行“多多轉(zhuǎn)換”的思維過(guò)程。將降價(jià)后的每1份（共4份）中多出原價(jià)的部分（多出4元）拿出來(lái)，轉(zhuǎn)換成5份。轉(zhuǎn)換后的5份中，有4份均為20元，剩余1份是16元。此時(shí)在部分單位大小對(duì)應(yīng)和單位數(shù)量對(duì)應(yīng)的條件下，再比較最后售價(jià)與最初原價(jià)即可發(fā)現(xiàn)降價(jià)后比原價(jià)少4元。

圖4 降價(jià)中的“多多轉(zhuǎn)換”示意圖

在“漲價(jià)降價(jià)”問(wèn)題中，價(jià)格是總價(jià)分配到某一數(shù)量上的單價(jià)，正如“速度”一樣，“價(jià)格”已然是平均后的結(jié)果，因此不可用得到最終售價(jià)與原價(jià)相等的結(jié)論。對(duì)價(jià)格進(jìn)行再平均時(shí)，應(yīng)先借助單位化中的“多多轉(zhuǎn)換”思維，使最終售價(jià)與原價(jià)的單位大小與單位數(shù)量由異變同，再進(jìn)行比較。

四、“雞兔同籠”問(wèn)題中的平均

“雞兔同籠”問(wèn)題是指“同一個(gè)籠子里的雞和兔共35只，總足數(shù)為94，問(wèn)雞和兔各有多少只”。這道歷史名題的解題方法與想法是多種多樣的，而利用單位化的認(rèn)知方式可以從一個(gè)新的視角來(lái)看待它。

如果將雞的“2條”腿看作一個(gè)單位，兔的“4條”腿看作一個(gè)單位，二者之間將不存在單位大小的對(duì)應(yīng)。因?yàn)槎咧粩?shù)不相等，所以單位數(shù)量也不對(duì)應(yīng)。若使單位大小對(duì)應(yīng)，可以將每只兔中的一條腿移到每只雞身上，這樣會(huì)在思維中存在“3條腿”的雞和“3條腿”的兔。顯然，在現(xiàn)實(shí)情境中，“3條腿”的雞和“3條腿”的兔是不合理的，這與“半足術(shù)”中談及的“一頭一足是雞，一頭二足是兔”是同樣的道理。[3]實(shí)際中的“非雞非兔”與思維中的“是雞是兔”體現(xiàn)了對(duì)立統(tǒng)一的思維規(guī)律。由此看來(lái)，“多多轉(zhuǎn)換”體現(xiàn)了單位化中所蘊(yùn)含的辯證思維。

在單位大小相同的條件下，可以將94條腿平均分配給雞和兔，這樣得到的雞和兔各有47條腿。進(jìn)而得到3條腿的雞有15只，3條腿的兔有15只，各自余下2條腿，可以看作2條腿的雞有2只。此時(shí)雞與兔的單位大小對(duì)應(yīng)，單位數(shù)量對(duì)應(yīng)，所以可以將之前移給雞的腿再還給兔，這樣2條腿的雞有17只，4條腿的兔有15只。但此時(shí)不滿(mǎn)足總頭數(shù)的要求，所以“35-(17+15)=3(只)”，將少3只兔，多6只雞，原因在于從單位大小來(lái)看，雞是2條腿，兔是4條腿，二者為2倍關(guān)系，單位數(shù)量進(jìn)而也是2倍關(guān)系。上述過(guò)程可用下面的算式予以表達(dá)：

94÷2=47(條)

3條腿的雞:47÷3=15(只)……2(條)

3條腿的兔:47÷3=15(只)……2(條)

2條腿的雞:1+1=2(只)

35-(17+15)=3(只)

2條腿的雞:17+6=23(只)

4條腿的兔:15-3=12(只)

也可以借助“單位”的眼光來(lái)思考本題。仍將94條腿平均分給雞與兔，這樣雞與兔都有47條腿。當(dāng)雞以“2條”腿為單位時(shí)，會(huì)有23只這樣的雞，余1條腿；當(dāng)兔以“4條”腿為單位時(shí)，會(huì)有11只這樣的兔，余3條腿。根據(jù)總頭數(shù)的要求，最終2條腿的雞有23只，4條腿的兔有12只，此過(guò)程可用下面的算式予以表達(dá)：

94÷2=47(條)

2條腿的雞:47÷2=23(只)……1(條)

4條腿的兔:47÷4=11(只)……3(條)

4條腿的兔:11+1=12(只)

實(shí)際情境中平均每只雞2條腿，每只兔4條腿，當(dāng)雞與兔的數(shù)量不對(duì)應(yīng)時(shí)，需要改變單位，從而實(shí)現(xiàn)平均的平均。上述兩種想法均從“單位”出發(fā)，無(wú)論是通過(guò)“多多轉(zhuǎn)換”將雞與兔的腿數(shù)統(tǒng)一，還是直接以“2條”腿與“4條”腿為單位將總足數(shù)進(jìn)行平分，都對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題產(chǎn)生了新的思考。同時(shí)也借助該問(wèn)題說(shuō)明單位中蘊(yùn)含的辯證思維。

五、平均的平均與強(qiáng)度量

通過(guò)上述案例可以發(fā)現(xiàn)，借助單位對(duì)應(yīng)（單位大小和單位數(shù)量對(duì)應(yīng)）可以實(shí)現(xiàn)“平均的平均”，但究其背后的原因離不開(kāi)中世紀(jì)學(xué)者對(duì)質(zhì)的量化。

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，長(zhǎng)度、時(shí)間、面積、體積、質(zhì)量、貨幣和角度等常見(jiàn)的量都具有可加的屬性，稱(chēng)為“廣延量（Extensive Quantity）”。[4]廣延量是對(duì)亞里士多德所提出的“量”范疇的描述。同時(shí)，亞里士多德還提出了與之相對(duì)的“質(zhì)”范疇，質(zhì)指事物的本質(zhì)差異，其運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為增強(qiáng)（Intension）或減弱（Remission）。中世紀(jì)的默頓學(xué)院（Merton School）試圖將“質(zhì)”與“量”范疇建立聯(lián)系，即對(duì)質(zhì)進(jìn)行量化，如速度、溫度、濃度等是否也可以用數(shù)字表示呢？對(duì)質(zhì)進(jìn)行量化后的結(jié)果為強(qiáng)度量（Intensive Quantity），它是一種程度（Degree）的表達(dá)，而該程度不可加，由此可知強(qiáng)度量具有不可加的屬性。

古希臘時(shí)期，亞里士多德指出“更快（Quicker）”是相對(duì)于在同一時(shí)間內(nèi)比“更慢（Slower）”穿越了更多的空間而言的。[5]此時(shí)，在同一時(shí)間內(nèi)，速度初次與空間建立了聯(lián)系，或者說(shuō)是速度與路程建立了聯(lián)系，該聯(lián)系借助強(qiáng)弱程度予以表達(dá)。從中世紀(jì)開(kāi)始，速度作為路程與時(shí)間的比率而存在，借助數(shù)字予以表達(dá)。若速度為廣延量則必滿(mǎn)足可加性，如“2米/秒 +1米/秒 =3米/秒”。其中“2米/秒”指 1秒內(nèi)行駛的路程為2米，現(xiàn)加上“1米/秒”，是在路程“2米”的基礎(chǔ)上，增加“1米”，得到總路程“3米”。此時(shí)“3米”的用時(shí)將大于1秒，有?！?米/秒”，說(shuō)明等式不成立“2米/秒 +1米/秒 ≠ 3米/秒”，因而證明速度不可加，它屬于強(qiáng)度量。

一般來(lái)說(shuō)，運(yùn)動(dòng)的物體在某一時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的快慢不一定是時(shí)時(shí)一致的，因而借助求得的速度，只能表示該物體在時(shí)間間隔“t”，或者說(shuō)是“Δt”內(nèi)的平均快慢程度。由此來(lái)看，速度已然是平均后的結(jié)果。仍以“”為例，其中的路程與時(shí)間均為廣延量，根據(jù)其可加性，可有如下的表達(dá)方式：

2米=2米 × 1

4米 =2米 +2米 =2米 × 2

6米 =2米 +2米 +2米 =2米 × 3

……

第一個(gè)等式表示1秒所對(duì)應(yīng)的總路程是2米即1個(gè)2米；第二個(gè)等式表示2秒內(nèi)的總路程是4米即2個(gè)2米；第三個(gè)等式表示3秒內(nèi)的總路程是6米即3個(gè)2米……當(dāng)上述無(wú)限可加的過(guò)程停止時(shí)，可用“”表示路程與時(shí)間的關(guān)系，也就是速度。由此說(shuō)明廣延量與強(qiáng)度量之間具有同一性，即廣延量間的比為強(qiáng)度量的表達(dá)。[6]從這一點(diǎn)出發(fā)，求速度的平均，實(shí)際是求平均的平均，或稱(chēng)為求強(qiáng)度量的平均。

速度、價(jià)格以及工作效率等都屬于強(qiáng)度量，它們因其不可加的屬性，無(wú)法直接實(shí)現(xiàn)再平均。若實(shí)現(xiàn)再平均應(yīng)滿(mǎn)足單位對(duì)應(yīng)的條件，這是在“求同”思維的驅(qū)使下利用“多多轉(zhuǎn)換”的辯證思維過(guò)程。由此，單位化作為認(rèn)知事物的方式，若在數(shù)學(xué)課程中挖掘體現(xiàn)單位化的內(nèi)容，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷單位化的認(rèn)知過(guò)程，不僅有助于學(xué)生理解“平均”與“平均的平均”，還將發(fā)展學(xué)生的求同思維與辯證思維。