利用結(jié)構(gòu)基因法研究非線性周期性板結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能

賈貽然， 韓靈芝， 雷金成， 劉子順

(西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，國(guó)際應(yīng)用力學(xué)中心，西安 710049)

1 引 言

近年來(lái)隨著工程技術(shù)的飛快發(fā)展，人們對(duì)結(jié)構(gòu)的比強(qiáng)度[1]、比剛度及抗疲勞性[2]提出了更高的要求，研究人員通過(guò)選取不同的原材料或者合理的結(jié)構(gòu)來(lái)設(shè)計(jì)力學(xué)性能更好的復(fù)合材料。如橡膠類的超彈性材料[3]，具有良好的柔軟性、延展性[4]和高彈性[5,6]等優(yōu)異性能，廣泛應(yīng)用于復(fù)合材料的設(shè)計(jì)中[7]。復(fù)合材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)與其力學(xué)性能關(guān)系密切，當(dāng)結(jié)構(gòu)特征尺寸遠(yuǎn)大于微觀尺度時(shí)，可以在宏觀尺度上使用均質(zhì)材料代替非均質(zhì)材料，通過(guò)微觀尺度求解實(shí)際模型的等效力學(xué)性能是雙尺度研究的關(guān)鍵問(wèn)題。采用結(jié)構(gòu)基因法求解實(shí)際周期性結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能的優(yōu)勢(shì)在于通過(guò)在微觀尺度上分析各相材料，在結(jié)構(gòu)基因和實(shí)際模型的等效均質(zhì)模型之間進(jìn)行交互，可以減少大量建模時(shí)間和計(jì)算時(shí)間。

求解等效力學(xué)性能的方法是基于均勻化的思想發(fā)展而來(lái)，即尋找一種均勻材料代替原來(lái)的非均勻材料。目前，學(xué)者們已經(jīng)提出了多種求解復(fù)合材料等效力學(xué)性能的模型及方法，主要包括代表性體積單元法(RVE)[8,9]、間接均勻化法[10,11]、二尺度展開(kāi)法[12,13]及多級(jí)別有限元法(FE2)[14,15]等。本文方法主要是基于代表性體積單元法(RVE)和多級(jí)別有限元法(FE2)發(fā)展而來(lái)的。(1) RVE法的主要思想為直接平均思想，通過(guò)在周期性結(jié)構(gòu)中提取代表性體積單元，施加拉伸和剪切等加載，得到不同加載情況下的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，場(chǎng)量對(duì)體積進(jìn)行直接平均計(jì)算得出等效應(yīng)力和等效應(yīng)變，通過(guò)兩者之間的關(guān)系求解出均質(zhì)板的等效剛度矩陣。(2) FE2法求解的中心思想為在宏觀尺度上每一個(gè)高斯積分點(diǎn)處關(guān)聯(lián)一個(gè)微觀模型。通過(guò)宏觀模型求解微觀模型時(shí)，將高斯積分點(diǎn)處的應(yīng)變作為邊界條件，研究微觀模型的局部變形。從微觀尺度向宏觀尺度的轉(zhuǎn)變是通過(guò)微觀模型的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)均勻化實(shí)現(xiàn)的。

本文通過(guò)將RVE法和FE2法結(jié)合起來(lái)，可以預(yù)測(cè)非線性周期性復(fù)合板結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)性能，概念清晰，易于理解。本文將這種方法命名為結(jié)構(gòu)基因法，就像將生物基因定義為控制生物生長(zhǎng)發(fā)育的基本單位，把基因一詞擴(kuò)展到非生物學(xué)領(lǐng)域，將周期性結(jié)構(gòu)中包含整體結(jié)構(gòu)中的所有組成成分和形狀的基本構(gòu)件塊稱為結(jié)構(gòu)基因[16,17]。

2 計(jì)算理論

在微觀力學(xué)的研究中，實(shí)際周期性板結(jié)構(gòu)的研究可以分為對(duì)等效二維均質(zhì)板結(jié)構(gòu)和多相微觀結(jié)構(gòu)兩部分的研究。兩尺度分離如圖1所示，域Ω表示宏觀尺度模型，域ω表示結(jié)構(gòu)基因。利用微觀結(jié)構(gòu)的等效力學(xué)行為來(lái)表示宏觀結(jié)構(gòu)中相對(duì)應(yīng)連續(xù)點(diǎn)的行為，這就是多尺度問(wèn)題的中心思想。

圖1 周期性異質(zhì)復(fù)合材料宏觀模型和微觀模型的概念

(1)

基于更新的拉格朗日公式，在分析中需要不斷修改參考構(gòu)型，當(dāng)前構(gòu)型(t+dt)是基于參考構(gòu)型(t)計(jì)算得到的。在商業(yè)有限元軟件ABAQUS中，通常使用應(yīng)變率的形式定義材料的本構(gòu)關(guān)系，應(yīng)變率計(jì)算可表示為

(2)

在邊界?Ωu(狄利克雷邊界)上的邊界條件可以通過(guò)式(3)定義。

(3)

在邊界?Ωq(紐曼邊界)上的邊界條件可以通過(guò)式(4)定義,

(4)

虛功可以通過(guò)式(5)表達(dá),

(5)

式中∶表示張量雙點(diǎn)積運(yùn)算,δ分別表示微小應(yīng)變和微小位移，λ為拉格朗日乘子，一般等于1?？烧J(rèn)為式(5)是與平衡方程等效的積分弱形式。

(6)

(7)

在本文的假設(shè)中，如果結(jié)構(gòu)基因存在非線彈性相，則模型整體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非線性，所以可以將宏觀模型等效為非線彈性模型，材料行為可表示為

(8)

通過(guò)施加周期性邊界條件假定結(jié)構(gòu)基因處于整體模型中。施加的周期性邊界條件需要使得相鄰結(jié)構(gòu)基因滿足下列連續(xù)性邊界條件，一為相鄰結(jié)構(gòu)基因連續(xù)且產(chǎn)生變形后不可分離，二為結(jié)構(gòu)基因相對(duì)面或相對(duì)邊上相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)變形的位移相同。滿足上述兩個(gè)邊界條件才會(huì)假定結(jié)構(gòu)基因位于一個(gè)完整的周期性連續(xù)體中。在結(jié)構(gòu)基因邊界上引入的周期性邊界條件可表示為

(9)

在雙尺度分析中，非線性問(wèn)題的結(jié)構(gòu)基因可以通過(guò)式(10)迭代的形式表達(dá)。

(10)

該模型中包含兩個(gè)基本假設(shè)。

假設(shè)1 通過(guò)微觀力學(xué)分析時(shí)，在ξ=x/X?1時(shí)有效(x為微觀模型長(zhǎng)度，X為宏觀模型長(zhǎng)度)。通過(guò)微觀尺度求解的等效力學(xué)性能獨(dú)立于宏觀尺度下的加載情況及幾何形狀，是材料的內(nèi)在屬性。

假設(shè)2 如果在微觀結(jié)構(gòu)中存在非線性材料相，該復(fù)合材料為非線性周期性復(fù)合材料，不可以通過(guò)簡(jiǎn)單的等效剛度矩陣或者等效柔度矩陣來(lái)描述其等效力學(xué)性能[18,19]。

3 有限元求解

在商業(yè)有限元軟件ABAQUS中，有很多種方法來(lái)描述所使用的材料屬性，對(duì)于超彈性材料來(lái)說(shuō)，本文可以直接賦予本構(gòu)模型參數(shù)，還可以編寫(xiě)UMAT或輸入通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲取的一系列名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)。在本文的計(jì)算中，將ABAQUS假定為試驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)結(jié)構(gòu)基因進(jìn)行單軸拉伸試驗(yàn)，通過(guò)平均化的思想求解加載過(guò)程中每一個(gè)分析步下的名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)[20]。通過(guò)結(jié)構(gòu)基因法求解非線性復(fù)合周期性板結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能的具體流程如圖2所示。

圖2 求解等效力學(xué)性能的流程

求解流程主要是基于商業(yè)軟件ABAQUS及二次開(kāi)發(fā)腳本Python實(shí)現(xiàn)的，假設(shè)結(jié)構(gòu)基因中各相材料均為各向同性材料，且在x向和y向分布相同，則將結(jié)構(gòu)基因沿x向和y向周期性排布之后構(gòu)成的周期性復(fù)合板結(jié)構(gòu)可以在宏觀尺度上等效為各向同性均質(zhì)板。在ABAQUS中，可以將試驗(yàn)名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)擬合成超彈性材料本構(gòu)模型，本文的方法充分利用該功能，將ABAQUS作為黑箱，擬合出穩(wěn)定又精確的應(yīng)變能函數(shù)。

具體操作步驟如下。

(1) 在ABAQUS中建立結(jié)構(gòu)基因部件，為結(jié)構(gòu)基因中每一相賦予材料屬性并合理劃分網(wǎng)格。

(2) 運(yùn)行二次開(kāi)發(fā)語(yǔ)言Python編寫(xiě)的前處理腳本，從流程圖可以看出，主要包括施加周期性邊界條件、施加位移及約束剛體位移。周期性邊界條件的施加主要為在周期性排布方向上面和邊的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)保存為獨(dú)立的集，分別通過(guò)約束方程施加多點(diǎn)約束。在模擬單軸拉伸試驗(yàn)時(shí)，需要在ABAQUS中建立多個(gè)分析步，并在每一個(gè)分析步設(shè)置合理的位移值，以保證總的拉伸值符合實(shí)際模型的實(shí)際變形。在ABAQUS中對(duì)結(jié)構(gòu)基因進(jìn)行單軸拉伸時(shí)，還需要約束其剛體位移。

(3) 在ABAQUS中進(jìn)行求解，處理非線性問(wèn)題時(shí)，容易出現(xiàn)不收斂的情況，所以需要監(jiān)控計(jì)算時(shí)的分析步數(shù)量。運(yùn)行二次開(kāi)發(fā)語(yǔ)言Python編寫(xiě)的后處理腳本，主要通過(guò)處理計(jì)算結(jié)果文件，得出每一個(gè)分析步下的名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)。

(4) 建立與實(shí)際模型尺寸相當(dāng)?shù)木|(zhì)板模型，將上一步得出的一系列名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)作為材料屬性輸入到模型中，并通過(guò)這些數(shù)據(jù)擬合出合理的本構(gòu)模型。ABAQUS可以自動(dòng)評(píng)估擬合出的本構(gòu)是否穩(wěn)定，如果超彈性模型不穩(wěn)定，可以根據(jù)實(shí)際模型的變形選擇另一種本構(gòu)模型或者修改第二步設(shè)置的分析步數(shù)量和每一個(gè)分析步下的拉伸值，來(lái)獲取更多的名義應(yīng)變和名義應(yīng)力數(shù)據(jù),在ABAQUS中重新評(píng)估擬合出的本構(gòu)模型是否穩(wěn)定。

(5) 在宏觀均質(zhì)板中添加載荷，研究模型的宏觀響應(yīng)。如果需要研究局部問(wèn)題，可以將高斯積分點(diǎn)處的應(yīng)變作為邊界條件賦予微觀模型，來(lái)觀察局部變形。

在通過(guò)結(jié)構(gòu)基因法研究?jī)沙叨冉换?wèn)題時(shí)，有幾個(gè)注意事項(xiàng)。

(1) 單軸拉伸時(shí)結(jié)構(gòu)基因的收斂問(wèn)題。為了獲取更多的數(shù)據(jù)，可以通過(guò)修改網(wǎng)格、設(shè)置不同的求解器等方法來(lái)改善模型的收斂問(wèn)題。

(2) 驗(yàn)證通過(guò)名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)擬合的本構(gòu)模型穩(wěn)定性問(wèn)題。通過(guò)增加分析步的量及降低每一個(gè)分析步設(shè)置的位移量來(lái)保證獲取足夠多的樣本數(shù)據(jù)，測(cè)試擬合出穩(wěn)定的本構(gòu)方程。

4 數(shù)值計(jì)算模型

4.1 實(shí)際模型與等效模型對(duì)比

考慮一種周期性排布的復(fù)合板結(jié)構(gòu)，基體是普通的超彈性橡膠材料，增強(qiáng)體為線彈性材料。本文已經(jīng)提出一個(gè)假設(shè)，如果結(jié)構(gòu)基因中存在非線性相，整體結(jié)構(gòu)可視為非線性結(jié)構(gòu)?；w材料選用的模型為Mooney-Rivlin模型，本構(gòu)方程如式(11)所示，系數(shù)值為C10=3.2,C01=0.8,D1=0，增強(qiáng)體為線彈性材料，材料屬性為E=68.3 MPa,μ=0.3。

W=C10(I1-3)+C01(I2-3)

(11)

本算例中，實(shí)際研究的周期性板結(jié)構(gòu)如圖3所示，結(jié)構(gòu)基因的尺寸為1 mm×1 mm×1 mm的立方塊，其中增強(qiáng)體的半徑為0.3 mm，增強(qiáng)體的體積率為0.283。

圖3 周期性復(fù)合板結(jié)構(gòu)及其結(jié)構(gòu)基因

首先將結(jié)構(gòu)基因和立方橡膠塊在ABAQUS中模擬單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，設(shè)定多個(gè)分析步，獲取每個(gè)分析步下的名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)。因?yàn)榇嬖诔瑥椥韵鹉z材料，為了避免不收斂現(xiàn)象并實(shí)時(shí)監(jiān)控計(jì)算進(jìn)程，可以把每一個(gè)分析步下的位移增量值設(shè)置為較小的值。研究結(jié)構(gòu)基因及立方橡膠塊的原因?yàn)橛^察兩者之間名義應(yīng)力及名義應(yīng)變曲線變化趨勢(shì)是否一致，從而初步判斷結(jié)構(gòu)基因法對(duì)于非線性問(wèn)題計(jì)算的準(zhǔn)確性。

圖4分別為模擬單軸拉伸實(shí)驗(yàn)下，獲取的幾種不同情況下的名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)的擬合曲線。在計(jì)算非線性問(wèn)題時(shí)，非常容易出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象，當(dāng)劃分網(wǎng)格數(shù)量較少時(shí)，拉伸到一定長(zhǎng)度就會(huì)因?yàn)橛?jì)算不收斂而中斷計(jì)算，獲取的名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)較少。當(dāng)網(wǎng)格劃分較合理時(shí)，拉伸長(zhǎng)度較大，獲取的數(shù)據(jù)更多。在本節(jié)中，同時(shí)也對(duì) 1 mm×1 mm×1 mm的均質(zhì)橡膠立方塊進(jìn)行單軸拉伸。將三種情況下的計(jì)算結(jié)果繪制于圖4，可以看出，超彈性基體材料和線彈性增強(qiáng)體材料所構(gòu)成復(fù)合材料的曲線變化趨勢(shì)和均質(zhì)超彈性材料的曲線變化趨勢(shì)一致。

圖4 模擬單軸拉伸實(shí)驗(yàn)下的應(yīng)力應(yīng)變曲線

在ABAQUS中評(píng)估上述數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)通過(guò)這些數(shù)據(jù)擬合出的本構(gòu)模型是較為穩(wěn)定的。將上述求解出的本構(gòu)模型賦予等效均質(zhì)板作為其材料屬性，通過(guò)三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)對(duì)實(shí)際周期性板結(jié)構(gòu)和擬合出的不同等效均質(zhì)板進(jìn)行機(jī)械性能的研究，對(duì)實(shí)際計(jì)算結(jié)果和等效計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析結(jié)構(gòu)基因法求解的準(zhǔn)確性。等效理論選取的本構(gòu)模型主要為Mooney-Rivlin模型、Neo Hooken模型、Ogden 模型和Yeoh模型。本文分別列出實(shí)際模型和上述三種等效模型的計(jì)算結(jié)果，并進(jìn)行對(duì)比分析，主要提取計(jì)算結(jié)果為三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)下實(shí)際板和等效均質(zhì)板的最大應(yīng)力。圖5為模擬三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)下實(shí)際模型位移云圖，圖6為模擬三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)下等效均質(zhì)模型位移云圖。

圖5 實(shí)際模型的位移云圖

圖6 等效均質(zhì)模型的位移云圖

圖7分別給出了實(shí)際周期性板結(jié)構(gòu)和等效的不同本構(gòu)模型均質(zhì)板在受到不同載荷時(shí)三點(diǎn)彎曲實(shí)驗(yàn)下的最大應(yīng)力。通過(guò)數(shù)據(jù)分析可知，隨著載荷的增大，板最大應(yīng)力也逐漸增大，在變形較大時(shí)，實(shí)際模型和等效均質(zhì)模型的計(jì)算結(jié)果差值略大，但在可接受的范圍內(nèi)。通過(guò)將四種本構(gòu)模型進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)Neo Hooken模型和Ogden模型的計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確，Mooney-Rivlin模型誤差略大，是因?yàn)镸ooney-Rivlin模型只考慮線性部分的應(yīng)變能量。在變形較大(應(yīng)變>0.45)，且只有單軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，選擇多項(xiàng)式模型和Ogden模型計(jì)算更易收斂，計(jì)算效率和精度更高。通過(guò)計(jì)算，不同載荷下實(shí)際周期性板結(jié)構(gòu)和等效均質(zhì)板結(jié)構(gòu)上最大應(yīng)力的差值均低于10%，證明通過(guò)結(jié)構(gòu)基因法求解非線性周期性板結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能較為精確。

圖7 不同本構(gòu)模型中受壓載荷與板上最大應(yīng)力曲線

4.2 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c等效模型對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證結(jié)構(gòu)基因法的合理性，對(duì)不同體積分?jǐn)?shù)的球形顆粒增強(qiáng)超彈性橡膠復(fù)合材料進(jìn)行單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，與實(shí)驗(yàn)值和理論值進(jìn)行對(duì)比。結(jié)構(gòu)基因是中心為球形的立方體塊，結(jié)構(gòu)基因的尺寸為1 mm×1 mm×1 mm的立方體，基體材料選用Yeoh本構(gòu)模型，本構(gòu)方程如式(12)所示，系數(shù)采用文獻(xiàn)[21]純橡膠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的參數(shù)，具體值為C10=0.2313,C20=-0.004686,C30=0.0003787，增強(qiáng)體顆粒為線彈性材料，材料參數(shù)為E=2100 MPa,μ=0.3。體積分?jǐn)?shù)分別為1.69%,3.33%和 6.44%。

W=C10(I1-3)+C20(I1-3)2+C30(I1-3)3

(12)

對(duì)三個(gè)不同體積分?jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)基因在ABAQUS中模擬單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，設(shè)定多個(gè)分析步，獲取每個(gè)分析步下的名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)。將結(jié)構(gòu)基因法的模擬值與文獻(xiàn)[21]的理論值和實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示，在顆粒體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)，模擬值與實(shí)驗(yàn)和理論結(jié)果吻合較好；當(dāng)顆粒體積分?jǐn)?shù)較大，變形載荷較小時(shí)，結(jié)果吻合較好，但是隨著變形載荷的增大，出現(xiàn)了模擬結(jié)果和理論結(jié)果大于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的情況，主要是因?yàn)樵谀M計(jì)算中，沒(méi)有考慮大變形引起的界面脫粘的情況，而且在變形較大時(shí)(大于100%)，網(wǎng)格畸變也會(huì)對(duì)結(jié)果造成很大的誤差。但是總體來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)基因法能夠準(zhǔn)確表征橡膠類材料大變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)。

圖8 顆粒增強(qiáng)橡膠復(fù)合材料模擬值、實(shí)驗(yàn)值和理論值的比較

結(jié)果證明了本文提出的方法用于研究超彈性復(fù)合材料力學(xué)性能的可靠性和可行性，計(jì)算方法簡(jiǎn)單，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

5 結(jié) 論

本文提出了一種用來(lái)求解非線性周期性板結(jié)構(gòu)等效力學(xué)性能的結(jié)構(gòu)基因法。該方法基于代表性體積單元法(RVE)和多級(jí)別有限元法(FE2)發(fā)展而來(lái)?？紤]在周期性板結(jié)構(gòu)中存在超彈性材料相時(shí)，結(jié)構(gòu)整體的等效力學(xué)性能無(wú)法僅通過(guò)彈性模量與泊松比獲得，本方法可以便捷地求取非線性周期性板結(jié)構(gòu)的等效切線剛度并實(shí)現(xiàn)變形的模擬。本方法將ABAQUS作為黑箱，對(duì)提取出的結(jié)構(gòu)基因進(jìn)行多分析步單軸拉伸實(shí)驗(yàn)，用求解出的一系列名義應(yīng)力和名義應(yīng)變數(shù)據(jù)擬合出合適的本構(gòu)模型，作為等效模型的等效力學(xué)性能。將等效切線剛度看作微觀模型和宏觀模型之間的橋梁，通過(guò)結(jié)構(gòu)基因法進(jìn)行雙尺度交互，可以節(jié)省大量建模時(shí)間和計(jì)算時(shí)間，并節(jié)省測(cè)試的成本，提高計(jì)算速度及精度。

6 附 錄

本文詳細(xì)計(jì)算的Python腳本將發(fā)布在http: //icam.xjtu.edu.cn.