功能梯度圓柱殼的彈塑性屈曲

張靖華, 鄭 武

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

圓柱殼由于其出色的力學(xué)性能在工程中廣受歡迎，再加上功能梯度材料可有效降低熱應(yīng)力集中、力學(xué)性能具有可設(shè)計(jì)性[1-2]，所以功能梯度材料圓柱殼的力學(xué)特性受到國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注，尤其薄壁結(jié)構(gòu)不可避免的穩(wěn)定性問題已有很多研究成果.

結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性一直都是固體力學(xué)領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容，通常經(jīng)歷由靜載到動(dòng)載、由彈性到塑性的研究歷程.針對(duì)FGM圓柱殼的彈性靜態(tài)穩(wěn)定性，Sun等[3-4]基于Hamilton原理，使用辛方法分別研究了熱機(jī)耦合載荷作用下功能梯度圓柱殼的屈曲特性和考慮溫度依賴時(shí)扭轉(zhuǎn)載荷作用下FGM圓柱殼的屈曲特性，表明邊界條件、體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、梯度材料特性和溫升分布對(duì)屈曲行為有顯著影響.Shen和Noda[5]對(duì)熱環(huán)境中受軸向和徑向復(fù)合載荷作用下有限長(zhǎng)剪切變形功能梯度圓柱殼的后屈曲問題進(jìn)行了分析.結(jié)果表明，溫度場(chǎng)和體積分?jǐn)?shù)對(duì)FGM殼體的后屈曲性能有顯著影響，但對(duì)FGM殼體在復(fù)合加載條件下的缺陷敏感性影響較小.Pham等[6]采用解析法研究了功能梯度涂層圓柱殼的熱-機(jī)屈曲和后屈曲行為，數(shù)值算例表明外弦對(duì)殼體的熱機(jī)械屈曲和后屈曲行為有較大的影響.Amir和Soheil[7]在擴(kuò)展有限元法的框架下，采用八節(jié)點(diǎn)退化殼單元對(duì)含裂紋的功能梯度圓柱殼進(jìn)行特征值屈曲分析，并研究了裂紋長(zhǎng)度、角度、材料梯度指數(shù)、圓柱殼長(zhǎng)寬比、內(nèi)壓等參數(shù)對(duì)特征值屈曲的影響.

工程結(jié)構(gòu)常常會(huì)受隨時(shí)間變化的機(jī)械或熱載荷作用.當(dāng)結(jié)構(gòu)受到動(dòng)載荷時(shí)，對(duì)其穩(wěn)定性分析靜態(tài)理論已不適用，必須從更復(fù)雜更深入的動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，研究其動(dòng)力穩(wěn)定性問題.對(duì)于FGM圓柱殼的彈性動(dòng)態(tài)屈曲問題，Gao等[8]解決了正交各向異性FGM圓柱殼在縱向等速作用下的非線性動(dòng)力屈曲，證實(shí)不同速度、初始缺陷、阻尼比、非均勻參數(shù)對(duì)FGM圓柱殼非線性動(dòng)力屈曲行為都有影響.Bich等[9]研究了偏心FGM圓柱殼非線性動(dòng)力屈曲問題.Mirzavand[10]研究了表面粘結(jié)壓電作動(dòng)器的功能梯度圓柱殼在熱載荷和外加作動(dòng)器電壓共同作用下的動(dòng)態(tài)熱后屈曲行為.Zhang等[11]研究了熱沖擊載荷下功能梯度圓柱殼的彈性動(dòng)力屈曲問題.Shariyat[12-13]分析了受熱沖擊、軸壓和外壓聯(lián)合作用時(shí)FGM圓柱殼的復(fù)雜屈曲和在復(fù)雜的熱-電-機(jī)組合載荷作用下，集成表面粘貼傳感器和作動(dòng)器層的非理想梯度材料圓柱殼的動(dòng)態(tài)屈曲問題.結(jié)果說明體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、溫度梯度、層序和自適應(yīng)反饋控制對(duì)屈曲載荷有一定的影響.

以上研究?jī)H限于FGM圓柱殼的彈性屈曲.若結(jié)構(gòu)厚度尺寸較大，內(nèi)部應(yīng)力也較大，同時(shí)由于作為FGM重要組分的金屬是塑性材料，它的存在極易使結(jié)構(gòu)在應(yīng)力較大的區(qū)域產(chǎn)生塑性變形，發(fā)生彈塑性屈曲破壞.目前關(guān)于FGM圓柱殼彈塑性屈曲問題的研究成果較少，Zhang等[14]研究了具有徑向壓力的梯度材料圓柱殼在軸壓作用下的彈塑性屈曲行為.Huang和Han[15]基于Donnell理論和功能梯度材料J2流動(dòng)本構(gòu)關(guān)系，研究了功能梯度材料圓柱殼在軸壓作用下的彈塑性屈曲行為，并研究了材料非線性、尺寸參數(shù)和冪律指數(shù)對(duì)屈曲的影響.Huang等[16]用半逆解法分析了FGM圓柱殼在扭轉(zhuǎn)載荷作用下的屈曲行為，揭示了功能梯度材料的組成分布、尺寸參數(shù)和彈塑性材料特性對(duì)屈曲行為的影響.Xu等[17]研究了彈塑性功能梯度圓柱殼的屈曲后變形和應(yīng)變變化歷程，討論了殼體厚度和組成分布對(duì)后屈曲行為的影響.在Hamilton體系下研究FGM圓柱殼的軸壓彈塑性屈曲尚未見文獻(xiàn)報(bào)道，本文將基于線性混合強(qiáng)化彈塑性模型，用辛求解方法求靜力軸向壓縮作用下功能梯度圓柱殼的臨界載荷以及塑性流動(dòng)區(qū)域，并分析了材料梯度指數(shù)，幾何尺寸對(duì)于臨界載荷及塑性流動(dòng)區(qū)域的影響.

1 問題描述及解析分析

考慮FGM圓柱殼，長(zhǎng)為l，殼體中曲面到中軸線的距離R，厚度為h，如圖1所示，右端承受軸向靜態(tài)壓力N.并建立如圖所示坐標(biāo)原點(diǎn)位于左側(cè)中軸線上的柱坐標(biāo)系.

圖1 功能梯度圓柱殼示意圖Fig.1 Schematic diagram of the FGM cylindrical shells

1.1 材料特性描述

功能梯度材料通常由金屬和陶瓷制成，假設(shè)陶瓷組分的體積分?jǐn)?shù)滿足冪函數(shù)分布特征，陶瓷相和金屬相體積分?jǐn)?shù)分別用Vc和Vm表示，其滿足以下關(guān)系：

(1)

基于混合強(qiáng)化彈塑性模型，功能梯度圓柱殼的彈性模量E(z)、屈服極限σY(z)、強(qiáng)化模量H(z)如下：

式中:Em、Hm、Vm、σYm分別代表金屬的彈性模量、強(qiáng)化模量、體積分?jǐn)?shù)和屈服極限，Ec和Vc分別代表陶瓷的彈性模量和體積分?jǐn)?shù)，q=0.045Ec.材料泊松比取為μ=0.3.

1.2 基本方程

根據(jù)經(jīng)典殼理論，殼體上任一點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)閇9]

(5)

式中：κx、κθ分別是x方向和θ方向的曲率，中曲面上應(yīng)變與位移之間的關(guān)系為[15]

(6)

雙向應(yīng)力狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系[11]：

(7a)

(7b)

1.3 正則方程

當(dāng)圓柱殼屈曲時(shí)，在該靜態(tài)機(jī)械加載作用下單位長(zhǎng)度應(yīng)變能表示為

(8)

(9)

(10)

根據(jù)Hamilton原理，可得到對(duì)偶正則方程：

(11)

(12)

Q=C1eλ1X+C2eλ2X+C3eλ3X+C4eλ4X

(13)

式中：C1、C2、C3、C4為待定系數(shù)，λi(i=1,2,3,4)為特征方程Jλ4+ηλ2+ξ=0的四個(gè)根，

1.4 分叉條件

(14)

方程(14)有非零解，此時(shí)系數(shù)行列式為0，即

(15)

1.5 屈服條件

根據(jù)Mises屈服條件，當(dāng)結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)力σi達(dá)到屈服極限的時(shí)候，材料發(fā)生塑性變形.即

σY-σi=0

(16)

對(duì)處于雙向應(yīng)力狀態(tài)下的FGM圓柱殼，等效應(yīng)力可表示為

(17)

基于截面等應(yīng)變假設(shè)，即圓柱殼發(fā)生屈曲時(shí)的臨界狀態(tài)下，橫截面上的各點(diǎn)應(yīng)變相同，滿足以下表達(dá)式：

(18)

聯(lián)立式(1,16～18)可求得彈塑性分界面位置s:

(19)

為了更清楚地分析圓柱殼彈塑性屈曲的分界面位置隨圓柱殼厚度的變化情況，本文引入相對(duì)彈塑性界面：

(20)

2 數(shù)據(jù)計(jì)算與結(jié)果分析

本文將材料參數(shù)及方程通過Maple軟件編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.數(shù)值求得FGM圓柱殼的剛度系數(shù)和彈塑性分界面s，代入分叉條件式(15)中，此時(shí)式(15)變成一個(gè)含有未知數(shù)N的超越方程，利用Newton-Raphson法數(shù)值求出相應(yīng)的無量綱臨界載荷Ncr.

本文在具體數(shù)值計(jì)算時(shí)選脆性陶瓷材料為ZrO2，其只發(fā)生彈性變形；塑性金屬材料為Ti-6Al-4V，其可發(fā)生塑性變形，它們的彈塑性物性參數(shù)可見文獻(xiàn) [2].并將計(jì)算得數(shù)值結(jié)果以圖線形式展示出來.圖2為R/h=10、R/h=12以及R/h=14的圓柱殼，彈塑性界面s隨n的變化曲線.從計(jì)算中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n比較小的時(shí)候，即對(duì)本文所選取的功能梯度材料，由于n過小，導(dǎo)致陶瓷組分很大，而發(fā)生塑性屈曲依賴于金屬組分，故當(dāng)n過小的時(shí)候，即n<3的時(shí)候，F(xiàn)GM圓柱殼不會(huì)發(fā)生彈塑性屈曲，只會(huì)發(fā)生彈性屈曲.隨著n的增大，陶瓷組分越來越小，金屬組分越來越大，從圖中可以看出，彈塑性界面的數(shù)值會(huì)變小，即塑性流動(dòng)面由金屬面向陶瓷面靠近.隨著梯度指數(shù)變大，金屬組分越來越大，故功能梯度材料越來越易于發(fā)生塑性屈曲，因此塑性區(qū)域越來越大，最初在金屬面發(fā)生塑性變形，所以彈塑性界面由金屬面向陶瓷面靠近，塑性流動(dòng)區(qū)增大.隨著梯度指數(shù)越來越大，彈塑性界面的位置變化越來越平緩，這是由于采用冪函數(shù)表示材料組分，當(dāng)梯度指數(shù)到一定值，功能梯度材料趨近于純金屬材料，故彈塑性界面變化趨于平緩.

圖2 彈塑性界面s隨梯度指數(shù)n的變化Fig.2 The elastoplastic interface s versus power law index n

圖3為R/h=10、R/h=12以及R/h=14的圓柱殼，相對(duì)彈塑性界面S隨n的變化曲線.分析圖3可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)殼體的R/h一定時(shí)，相對(duì)彈塑性界面的數(shù)值同樣隨著n的增大而減小，該趨勢(shì)與圖2相同.由圖3可知，當(dāng)梯度指數(shù)n一定時(shí)，即同種功能梯度材料，殼體越薄，相對(duì)彈塑性界面越靠近金屬面.這是由于殼體越薄，發(fā)生彈塑性屈曲時(shí)的臨界載荷越小，故相對(duì)塑性區(qū)域越小，從而導(dǎo)致相對(duì)彈塑性界面更靠近金屬側(cè).

圖3 相對(duì)彈塑性界面S隨梯度指數(shù)n的變化Fig.3 The relatively elastoplastic interface S versus power law index n

圖4描繪了R/h=10、R/h=12以及R/h=14的圓柱殼，彈塑性臨界載荷Ncr隨梯度指數(shù)n的變化關(guān)系曲線.分別從圖4的三條曲線可以看出，F(xiàn)GM圓柱殼的臨界載荷隨著n的增大逐漸變小，是由于n的增大，陶瓷組分逐漸減小，金屬組分增大，發(fā)生彈塑性屈曲取決于金屬組分.金屬組分越大，整體的剛度減小，越易發(fā)生彈塑性屈曲，所以臨界載荷也逐漸減小.從圖中可以直觀地看出，當(dāng)n增大到一定值，即n>40時(shí)臨界載荷趨于常量，這是由于當(dāng)n較大時(shí)，F(xiàn)GM圓柱殼已經(jīng)非常趨近于金屬圓柱殼了，材料參數(shù)幾乎沒有變化，故臨界載荷也幾乎不變.根據(jù)該變化特性，調(diào)節(jié)功能梯度指數(shù)n可以控制FGM圓柱殼的臨界載荷，因此可根據(jù)實(shí)際工程需要，通過調(diào)節(jié)梯度指數(shù)n制造出滿足條件的FGM結(jié)構(gòu).當(dāng)n一定時(shí)，即同種FGM圓柱殼，R/h越大則臨界載荷越小，R/h越大意味著圓柱殼

圖4 臨界載荷Ncr隨梯度指數(shù)n的變化

越薄，越薄的圓柱殼則更易發(fā)生彈塑性屈曲，反之則更難.基于此，可根據(jù)工程需要，通過調(diào)整R/h的大小對(duì)FGM結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì).

表1～表3分別列出了圓柱殼長(zhǎng)度為l=R、l=1.5R、l=2R時(shí)不同梯度指數(shù)功能梯度圓柱殼的臨界載荷Ncr.通過對(duì)比這三張表可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n和R/h一定時(shí)l=R的圓柱殼臨界載荷最大，l=2R的臨界載荷最小，即同種且橫截面積相同的FGM圓柱殼，長(zhǎng)度越長(zhǎng)則臨界載荷越小，這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)整體剛度隨長(zhǎng)度的增大而減小的緣故.

表1 不同梯度指數(shù)FGM圓柱殼的臨界載荷(l=R)Tab.1 The critical loads of FGM cylinder shells with different gradient index(l=R)(×107)

表2 不同梯度指數(shù)FGM圓柱殼的臨界載荷(l=1.5R)Tab.2 The critical loads of FGM cylinder shells with different gradient index(l=1.5R)(×107)

表3 不同梯度指數(shù)FGM圓柱殼的臨界載荷(l=2R)Tab.3 The critical loads of FGM cylinder shells with different gradient index(l=2R)(×107)

3 結(jié)論

本文建立了Hamilton體系下FGM圓柱殼彈塑性屈曲問題的完整的辛求解方法，使用辛求解方法可有效便捷地研究FGM圓柱殼在軸向均勻壓縮下的彈塑性屈曲問題，通過分析彈塑性界面s、相對(duì)彈塑性界面S及臨界載荷Ncr隨n的變化關(guān)系得出如下結(jié)論：

1) 彈塑性界面s及相對(duì)彈塑性界面S隨著n的增大逐漸變小，即彈塑性界面隨著n的增大逐漸由金屬面向陶瓷面移動(dòng)，塑性流動(dòng)區(qū)增大；

2) 臨界載荷Ncr隨著n的增大逐漸變小，反之變大；

3) 對(duì)于同材料的FGM圓柱殼，R/h越大，臨界載荷反而越小，反之越大.

4) 當(dāng)梯度指數(shù)n和R/h一定時(shí)，圓柱殼長(zhǎng)度越長(zhǎng)臨界載荷越小.