一類具有適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程m點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解

趙 微

(大慶師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 黑龍江 大慶 163712)

近幾十年來(lái)，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的研究受到了許多學(xué)者的關(guān)注，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1-5].Tian[1]運(yùn)用Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了一類Riemann-Liouvill分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題，得到了多個(gè)正解存在的結(jié)果.王永慶等[2]運(yùn)用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了一類Riemann-Liouvill分?jǐn)?shù)階微分方程m點(diǎn)邊值問(wèn)題，得到了正解的存在性.Khali等[3]定義了一種新的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義，稱為“適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)”，Adbel等[4]進(jìn)一步深入研究了這種適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì).董曉玉等[5]討論了上面這種具有“適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)”的兩點(diǎn)分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題，得到了相關(guān)問(wèn)題正解的存在性.上述文獻(xiàn)大多采用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理或者Leggett-Williams解定理，得到了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題正解存在的結(jié)果.費(fèi)祥歷等[6]引入了一種新定義的泛函，其中凹泛函、凸泛函都滿足這種泛函的定義.并在此基礎(chǔ)上，建立了關(guān)于這種泛函形式的錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，推廣或改進(jìn)了己有的許多結(jié)果.如薛益民等[7]運(yùn)用的范數(shù)形式的錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理，包含在這種新的泛函形式中.因此該定理的應(yīng)用范圍更廣泛一些.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究如下m點(diǎn)適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題：

Dvu(t)+h(t)f(u(t))=0, 0

(1)

u(0)=u′(0)=0

(2)

(3)

式中:Dv、Dα、Dαi是適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，0<αi<α≤2

1 準(zhǔn)備工作

為方便起見(jiàn)，首先給出一些必要的定義和引理，推導(dǎo)出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分方程的格林函數(shù)，并給出格林函數(shù)的一些性質(zhì).

定義1[5]連續(xù)函數(shù)f∶(0,+∞)→R的α∈(n,n+1]階適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

由適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，可知α=1時(shí)，適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)就是傳統(tǒng)的一階導(dǎo)數(shù)的定義.

定義2[5]連續(xù)函數(shù)f∶(0,+∞)→R的α∈(n,n+1]階分?jǐn)?shù)積分定義為

其中：In+1是n+1重積分算子.

引理1[5]設(shè)α∈(n,n+1]，u∈C(0,+∞)具有α階適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，則

IαDαu(t)=u(t)+C0+C1t+…+Cntn

其中：Ci∈R,i=0,1,2,…,n.

引理2給定y∈C[0,1]，則關(guān)于問(wèn)題Dvu(t)+y(t)=0，0

其中

證明由引理1，可得上述問(wèn)題的通解如下:

根據(jù)式(2)可知，c0=c1=0.另一方面，參考文獻(xiàn)[10]中Dα(tp)=ptp-α，則可從式(3)中得到

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得

于是有

引理3令G(t,s)為引理2中所給，這里稱其為格林函數(shù).則它滿足：

證明1) 當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí)，

當(dāng)0≤t≤s≤1時(shí)，

由k(ηi,s)≤1，則可得

為方便，做如下假設(shè)：

(H2)f∶[0,+∞)→[0,+∞)是連續(xù)的.

定義算子:

引理4設(shè)條件(H1),(H2)滿足，則A∶P→P全連續(xù).

證明由引理3及算子A的定義，有

且

則顯然知A∶P→P全連續(xù).如果A有不動(dòng)點(diǎn)u≠0，則u是問(wèn)題(1～3)的正解.

定義3(Property A)[6]稱P上非負(fù)連續(xù)泛函ρ∶P→[0,+∞)滿足PropertyA，如果

ρ(λx)<ρ(x)，?x∈P{0}，λ∈[0,1)

顯然，ρ(0)<ρ(x)，?x∈P{0}.

注1由上述定義3可知，凹泛函、凸泛函、次線性泛函都滿足Property A[6].因此這類定義的泛函范圍更廣一些.

2)ρ(Tx)≥ρ(x)且Tx≠x，?x∈P∩?Ω.

則必有i(T,P∩Ω,P)=0.

2 主要結(jié)論

定理1假設(shè)(H1,H2)滿足，如果存在常數(shù)a和b，0

?b2l≤u≤b2l-1

?u≤a2l-1

則問(wèn)題(1～3)至少存在一個(gè)正解.

證明根據(jù)定理?xiàng)l件，注意到u≤b2l-1，則有

令

于是ρ∶P→[0,+∞)是非負(fù)連續(xù)泛函且ρ(u)=0?u=0，當(dāng)u∈P{0}時(shí)，

λ∈[0,1)

說(shuō)明ρ滿足PropertyA.

取Ω1={u∈C[0,1]|ρ(u)

因此，有

根據(jù)引理6可以得到

i(A,P∩Ω1,P)=0

(4)

如果u∈P∩Ω2，則有

假設(shè)A在P∩?Ω2上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn).

如果u∈P∩?Ω2，根據(jù)引理3，有

根據(jù)引理5可知：

i(A,P∩Ω2,P)=1

(5)

由式(4)和式(5)易得

定理2假設(shè)(H1)，(H2)滿足，如果存在常數(shù)a和b，0

?u≤8b3l-1

?8a3l≤u≤8a3l-1

則問(wèn)題(1～3)至少存在一個(gè)正解.

證明根據(jù)定理?xiàng)l件，注意到

8b3l-1<8l2a3l-1=8a3l

令

于是ρ∶P→[0,+∞)是非負(fù)泛函且ρ(0)=0.

上述意味著ρ∶P→[0,+∞)是非負(fù)連續(xù)泛函.

進(jìn)一步可以得到ρ(u)=0?u=0，且

?u∈P{0}，λ∈[0,1)

說(shuō)明ρ滿足PropertyA.

假設(shè)A在P∩?Ω1上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則由引理5得

i(A,P∩Ω1,P)=1

(6)

再根據(jù)引理3有

假設(shè)A在P∩?Ω2上沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，則根據(jù)引理6有

i(A,P∩Ω2,P)=0

(7)

注2本文應(yīng)用了兩個(gè)不同的滿足Property A的泛函.通過(guò)計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)，得到了適型分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題(1～3)至少有一個(gè)正解存在的結(jié)果.值得指出的是，在定理1中所用的泛函既非凸泛函也非凹泛函，這類泛函較以往所用的范圍更廣.如薛益民等[10]運(yùn)用的Guo-Krasnosel’skii’s不動(dòng)點(diǎn)定理，是非負(fù)連續(xù)泛函，就包含在這種新定義的泛函中，也可以用本文中提到的這類新泛函不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)證明解的存在性.

例1考慮如下的分?jǐn)?shù)階微分方程：