余撓對與余傾斜模

吳德軍, 移晨剛

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

傾斜模與余傾斜模是同調(diào)代數(shù)與代數(shù)表示論的重要研究對象.傾斜理論最早出現(xiàn)在Bernstein等[1]證明Gabriel定理中,提出了反射函子和Coxeter函子,并給出了傾斜模的相關(guān)定理.Brenner等[2]給出了傾斜模的定理.傾斜模在對偶函子的作用下即為余傾斜模,傾斜模與余傾斜模是代數(shù)表示論中一個重要的分支.

余撓對是由Salce在阿貝爾群范疇[3]和在模的近似理論的深入研究中提出[4].記KC=A∩B是余撓對C=(A,B)的核.設(shè)M是R-模.則ProdM表示同構(gòu)于模M的直積的直和項所構(gòu)成的模類.對于任意的余撓對C=(A,B),若A是余傾斜類,則對n-余傾斜模C,KC=ProdC[4].汪建等[5]給出了完備遺傳余撓對的核是傾斜模的直積的直和項的充分條件.受此結(jié)論的啟發(fā)，本文給出完備遺傳余撓對的核是余傾斜模的直積的直和項的充分條件.

1 預(yù)備知識

在本文中,R是具有單位元的任意環(huán),R-Mod是左R-模范疇.先給出涉及到的一些符號、定義和性質(zhì),參見文獻(xiàn)[4,6].

符號.設(shè)C是R-Mod的全子范疇,n是非負(fù)整數(shù).類C⊥,⊥C,C⊥∞和⊥∞C的定義如下：

對于C={C},用C⊥,⊥C,C⊥∞和⊥∞C依次代替{C}⊥,⊥{C},{C}⊥∞和∞⊥{C}.

余撓對.設(shè)A和B是在R-Mod中的類.稱E=(A,B)是余撓對[3-4],若滿足A=⊥B,且B=A⊥.

設(shè)C是模類,則C?⊥(C⊥),且C?(⊥C)⊥.若E=(A,B)是余撓對,則稱KC=A∩B為C的核.

稱余撓對(A,B)是完備的[4],若滿足下面兩個條件中的一個條件:

1) 對任意的R-模M,存在正合序列0→M→B→L→0,其中B∈B,且L∈A.

2) 對任意的R-模M,存在正合序列0→D→C→M→0,其中C∈A,且D∈B.

純內(nèi)射模.稱左R-模M是純內(nèi)射模[6],若對每個R-模的純正合列0→T→N,有Hom(N,M)→Hom(T,M)→0是正合的.用PI表示純內(nèi)射模類.顯然,每個內(nèi)射模是純內(nèi)射模.

引理1設(shè)R是環(huán),M是純內(nèi)射模.則(⊥∞M,(⊥∞M)⊥)是完備遺傳余撓對.

在下文中,對于R-模M,記KM=⊥∞M∩(⊥∞M)⊥.由引理1知,C=(⊥∞M,(⊥∞M)⊥)時,KC=KM.關(guān)于余撓對更詳細(xì)的內(nèi)容,可參考文獻(xiàn)[4,6].

Gorenstein內(nèi)射模.稱R-模G為Gorenstein內(nèi)射模[7],若存在內(nèi)射模正合序列

使得

1)G?ker(f0);

2) 對任意的內(nèi)射模L,HomR(L,E)是正合的.

顯然,每個ker(fi)和coker(fi)都是Gorenstein內(nèi)射模.

設(shè)n是非負(fù)整數(shù).R-模G的Gorenstein內(nèi)射維數(shù)GidRG≤n當(dāng)且僅當(dāng)存在R-模正合序列0→G→G0→…→Gn→0,其中Gi是Gorenstein內(nèi)射模,0≤i≤n[7].由文獻(xiàn)[7]命題2.7知,R-模G∈GIn當(dāng)且僅當(dāng)G的第n個上合沖Ω-nG是Gorenstein內(nèi)射模.由文獻(xiàn)[7]定理2.29知,若idRM<∞,則GidRM=idRM,并且任意的內(nèi)射維數(shù)有限的Gorenstein內(nèi)射模是內(nèi)射模.

以下,GIn={G|GidRG≤n,G∈R-Mod}.若R-模G∈GIn當(dāng)且僅當(dāng)G的第n個上合沖Ω-nG是Gorenstein內(nèi)射模.

引理2設(shè)G是R-模,M是純內(nèi)射模,n是非負(fù)整數(shù).則下述論斷成立：

2) 若G∈In,則(⊥∞G)⊥?In.

3) 若M∈GIn,則(⊥∞M)⊥?GIn.

強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模[9].若存在內(nèi)射R-模的正合序列

滿足:

(1)M?ker(f)；

(2) 任意的內(nèi)射R-模L,用Hom(-,L)作用上面正合序列仍保持正合,則稱M是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模.

由上面定義知,所有的內(nèi)射R-模是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模在直積下封閉.文獻(xiàn)[9]定理2.7,證明了一個R-模是Gorenstein內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)它是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模的直和項.通過該證明過程，可以給出下面的引理.

R-Mod的全子范疇C稱為厚子范疇,若C在直和項下封閉,并且具有三分之二性質(zhì):對R-模正合序列0→A→B→C→0,其中任意兩項在C中,則第三項也在C中[10].

內(nèi)射余撓對[11].設(shè)A是有足夠多內(nèi)射模的阿貝爾模范疇.稱完備余撓對(W,F)是內(nèi)射余撓對,若滿足W是厚子范疇,且W∩F與內(nèi)射模對象的類一致.

引理4對于任意的強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射R-模N,下述論斷成立：

1)⊥N是R-Mod的厚子范疇；

2) 若N是純內(nèi)射模,(⊥N,(⊥N)⊥)是內(nèi)射余撓對.

2) 由文獻(xiàn)[4]推論3.2.12知，(⊥N,(⊥N)⊥)是完備余撓對.另一方面，由1)知⊥N是厚子范疇.又因為內(nèi)射模是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,所以由文獻(xiàn)[11]命題3.6即證.

余傾斜模.左R-模C稱為余傾斜模[4],如果滿足：

(C1) idRC≤n;

(C3) 存在r≥0和長正合序0→Cr→…→C0→W→0，其中Ci∈ProdC,i≤k,W是R-Mod的內(nèi)射余生成子.

若n≤ω,并且C∈In的余傾斜模,則C稱為n-余傾斜模.類⊥∞C(?R-Mod)是由C誘導(dǎo)出的n-余傾斜模類.顯然,(⊥∞C,(⊥∞C)⊥)是遺傳余撓對,稱為由C誘導(dǎo)的n-余撓對.由文獻(xiàn)[12]定理4.2的證明，可以得到下面的引理.

引理5設(shè)C=(A,B)是環(huán)R上的完備遺傳余撓對.若A是n-余傾斜模,則對于余傾斜R-模C,有KE=ProdC.

2 主要定理的證明

引理6設(shè)G是R-模,n是正整數(shù).則下列條件等價：

1) GidRG≤n;

2) 存在R-模正合序列

其中:idREj≤n,使得對任意的內(nèi)射R-模L,有

2)?1) 要證明GidRG≤n,即證明Ω-nG是Gorenstein內(nèi)射模.考慮正合序列0→coker(fm+2)→Em→coker(fm+1)→0.由文獻(xiàn)[6]引理8.2.2知,可以構(gòu)造交換圖,如圖1所示.

其中:行和列都是正合的,Ft,k是內(nèi)射模.因為對所有的n≥0,idREm≤n,所以Ω-nEm是內(nèi)射模.記Ω-nG=Ω-ncoker(f1),則有下面正合的交換圖,如圖2所示.

圖1 交換圖

Fig.1 Commutative diagram

…→Ω-nEm→Ω-nEm-1→…→Ω-nE0→Ω-nG→0

Ω-ncokerfm+1

0 0

圖2 交換圖

Fig.2 Commutative diagram

引理7設(shè)R是環(huán),C=(A,B)是R-模完備遺傳余撓對.如果KE?In,B?GIn和G∈B,那么存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模N∈B,使得Ω-nG是N的直和項.

證明設(shè)G∈B,因為(A,B)是完備余撓對,所以存在R-模正合序列

Ω-ncokerfm+1

0 0

其中:coker(h-j)是Gorenstein內(nèi)射模,并且coker(h-j)∈B,j≥1.另一方面，Ω-nG是Gorenstein內(nèi)射模,且Ω-nG∈B,所以存在R-模正合序列

其中:Ej是內(nèi)射模,coker(hj)是Gorenstein內(nèi)射模,并且coker(hj)∈B,j≥1.

將E-和E+連接起來,獲得內(nèi)射模正合序列

使coker(hj)是Gorenstein內(nèi)射模,且coker(hj)∈B.設(shè)N=∏coker(hj),則由引理3知,N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,故N∈B,且Ω-nG是N的直和項.

命題1設(shè)M是純內(nèi)射模，n是非負(fù)整數(shù).則下列條件等價：

1) 存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模N∈(⊥∞M)⊥,使得Ω-nM是N的直和項;

2) (⊥∞M)⊥?GIn,KM?In.

2)?1) 由引理1知,C=(⊥∞M,(⊥∞M)⊥)是完備遺傳余撓對,再由條件知,B=(⊥∞M)⊥?GIn,KM?In,則由引理7可證.

注1假設(shè)M是純內(nèi)射模且idRM≤n,N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模.Ω-n(M⊕N)可認(rèn)為是Ω-nM⊕N.因為Ω-nM是內(nèi)射模,所以顯然Ω-nM⊕N∈(⊥∞(M⊕N))⊥是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模.因此,M⊕N滿足命題1的條件1).

證明因為idRM≤n,所以存在正合序列

其中：Ej是內(nèi)射模.因為N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,所以存在正合序列

則有

0→M⊕N→E0⊕E→…→En⊕E→0

引理8[5](維數(shù)轉(zhuǎn)移) 設(shè)R是環(huán),n是正整數(shù),M是R-模,存在R-模正合序列0→K→Tn→…→T1→L→0,則下述論斷成立：

定理1設(shè)R是環(huán),C=(A,B)是完備遺傳余撓對,In(GIn)是內(nèi)射維數(shù)(Gorenstein內(nèi)射維數(shù))至多是n的R-模類.則對于任意正整數(shù)n,下述條件等價：

1) KC=ProdC,C是n-余傾斜模;

2) KC?In,B?GIn,KC在直積下封閉;

3) KC?In,A=⊥∞C∩⊥∞X,其中C是n-余傾斜模,X是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射R-模類;

進(jìn)而,若對于純內(nèi)射模G,A=⊥∞G,并且Ω-nG是G的第n次上合沖,則以上條件等價于:

4) A=⊥∞C∩⊥∞N,其中C是n-余傾斜模,N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,且N是純內(nèi)射模;

5) KC在直積下封閉,存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模M∈B,且M是純內(nèi)射模,使得Ω-nG是M的直和項;

6) KC在直積下封閉,存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模N∈B,且N是純內(nèi)射模,使得⊥(Ω-nG)=⊥∞N.

證明1)?2) 由假設(shè)知,A∩B=ProdC,C是n-余傾斜模,idRC≤n,所以KC?In.因此,只需證明B?GIn.設(shè)M∈B,下證GidRM≤n.因為(A,B)是完備余撓對,所以存在R-模正合序列

使得Xj∈KC,coker(fi)∈B.存在R-模正合序列0→Cn→…→C0→W→0,其中Ci∈ProdC,W是內(nèi)射余生成子.從而,對于任意內(nèi)射模WI,存在R-模正合序列

應(yīng)用引理7，對于任意L∈B,存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模NL∈B,使得Ω-nL是NL的直和項.設(shè)X={NL|L∈B},則{C}∪X?B.下證A=⊥∞C∩⊥∞X,顯然A?⊥∞C∩⊥∞X.下證A?⊥∞C∩⊥∞X.假設(shè)任意的模L∈B和H∈⊥∞C∩⊥∞NL,由文獻(xiàn)[12]定理3.11知,CogennC=⊥∞C,所以存在R-模正合序列

0→H→C′0→C′1→…→C′n-1→Kn→0

又因為C′j∈KC,0≤j≤n-1,由引理8中2)知：

L∈(⊥∞C∩⊥∞NL)⊥?(⊥∞C∩⊥∞X)⊥

因為L是B任意的模,所以B?(⊥∞C∩⊥∞X)⊥.因此，⊥∞C∩⊥∞X ?A.故A=⊥∞C∩⊥∞X.

由條件知,KC?In,則K∈In.因此

即K?(⊥∞C)⊥.顯然K∈⊥∞C.由KC=ProdC知,K∈ProdC.因此KC?ProdC.即證.

3)?4) 由條件知,對于純內(nèi)射模G,A=⊥∞G,C=(⊥∞G,(⊥∞G)⊥)是完備遺傳余撓對,用2)?3)相似的證明方法知,A=⊥∞C∩⊥∞NG,其中NG是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,使得Ω-nG是NG的直和項.

2)?5) 由引理7可證.

5)?2) 由條件知,(A,B)=(⊥∞G,(⊥∞G)⊥),KC=KG.由命題1可證.

6)?5) 由條件知,⊥∞(Ω-nG)=⊥∞N.因為N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,所以⊥N=⊥∞N.因此,⊥∞(Ω-nG)=⊥N.進(jìn)而,Ω-nG∈(⊥N)⊥?GIn,應(yīng)用引理4中2)知,(⊥N,(⊥N)⊥)是內(nèi)射余撓對.由引理7知,存在強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模M∈(⊥N)⊥,使得Ω0(Ω-nG)是M的直和項,顯然Ω0(Ω-nG)=Ω-nG.由條件知,N∈B=(⊥∞G)⊥.因此,M∈(⊥N)⊥=(⊥∞N)⊥?(⊥∞G)⊥,故M∈(⊥∞G)⊥.即證.

推論1設(shè)C是n-余傾斜模,N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射模,且N是純內(nèi)射模.則KC⊕N=ProdC.

證明記C=(⊥∞(C⊕N),⊥∞(C⊕N)⊥),A=⊥∞(C⊕N)=⊥∞C∩⊥∞N.由定理1中4)?1)即證.