函數(shù)的概念與性質(zhì)中的易錯點剖析

■謝邦城

下面對函數(shù)的概念與性質(zhì)中的易錯點進行歸納剖析,希望幫助同學(xué)們突破這些易錯點,牢固掌握函數(shù)知識,逐步培養(yǎng)正確的解題思維模式。

易錯點1:忽視函數(shù)定義域的限制作用

易錯點2:忽視單調(diào)區(qū)間與單調(diào)區(qū)間子集的意義

例2若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+4的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],則實數(shù)a的取值范圍是____。

錯解:函數(shù)f(x)圖像的對稱軸方程為x=1-a。由于函數(shù)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,所以1-a≥4,即a≤-3。故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-3]。

剖析:上述解法忽視了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與單調(diào)區(qū)間子集的意義。

正解:因為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,4],且函數(shù)的對稱軸方程為x=1-a,所以1-a=4,可得實數(shù)a=-3。

易錯點3:分式類函數(shù)研究單調(diào)性缺少分類意識

正解:f(x)=,當a>0時,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-a),(-a,+∞);當a<0 時,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-a),(-a,+∞)。要使函數(shù)在(2,+∞)上為減函數(shù),需滿足a<0。由題意可得2≥-a,即a≥-2。綜上可知,實數(shù)a的取值范圍是 [-2,0)。

易錯點4:抽象函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用中忽視整體變量的范圍

例4已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3,3)上的減函數(shù),且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,求x的取值范圍。

錯解:由f(x)是奇函數(shù),可得f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2)。由f(x)在(-3,3)上是減函數(shù),可得x-3>3-x2,解得x>2或x<-3。又f(x)是定義在(-3,3)上的函數(shù),所以2

剖析:上述解法只考慮了奇函數(shù)與單調(diào)性,沒有考慮整體變量所在的區(qū)間。