基于波前整形的光經(jīng)過無序介質(zhì)聚焦的方法研究

劉愷欣，王宇航，王梓豪，辛 煜

（南京理工大學(xué)光學(xué)工程系，江蘇 南京 210094）

光經(jīng)過無序介質(zhì)的聚焦以及成像一直是光學(xué)領(lǐng)域的熱點(diǎn)和亟待解決的難題。使光波發(fā)生多次散射的介質(zhì)為無序介質(zhì)，無序介質(zhì)在人們生活中普遍存在，小到常見的牛奶、墻面、紙張、油漆，大到生物組織、大氣、海洋、亞波長(zhǎng)顆粒等都是無序介質(zhì)。與在確定性均勻介質(zhì)中的傳播不同，光波在無序介質(zhì)中的自由傳播會(huì)受到介質(zhì)內(nèi)部隨機(jī)分布的顆粒的阻礙，從而發(fā)生多次散射，導(dǎo)致光的波矢方向和相位發(fā)生隨機(jī)改變，最終使出射光場(chǎng)形成一系列散斑。

光波經(jīng)過無序介質(zhì)后形成的散斑場(chǎng)看似失去了入射光場(chǎng)的穩(wěn)定分布，但其實(shí)光的相干性并沒有被破壞，換言之，無序介質(zhì)只是對(duì)入射光進(jìn)行了編碼，入射光所攜帶的信息并沒有丟失。

如果能找到一種方法，對(duì)出射光場(chǎng)進(jìn)行“譯碼”，即克服無序介質(zhì)對(duì)入射光的多次散射、實(shí)現(xiàn)光經(jīng)過無序介質(zhì)的聚焦，便能獲得入射光場(chǎng)所攜帶的信息，那么這將會(huì)在海洋探測(cè)、遙感、生物醫(yī)學(xué)成像、腫瘤的診斷和探測(cè)等多個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生重大影響，因此研究光經(jīng)過無序介質(zhì)的聚焦問題具有非常大的價(jià)值和意義。

為了克服無序介質(zhì)對(duì)光的多次散射帶來的影響，實(shí)現(xiàn)光通過無序介質(zhì)的聚焦，人們做出了各種努力。近年來，傳輸矩陣法、相位共軛法和波前整形法三種光場(chǎng)調(diào)控方法相繼被提出和研究。在無序介質(zhì)內(nèi)部存在于入射光場(chǎng)無關(guān)的通道，因此可以用一個(gè)傳輸矩陣來描述某種特定的無序介質(zhì)內(nèi)光的傳輸特性。2010 年，GIGAN 等人利用SLM（空間光調(diào)制器）和CCD 首次在實(shí)驗(yàn)上測(cè)得了某無序介質(zhì)樣品的傳輸矩陣。相位共軛法則是利用相位共軛光的全息記錄，再現(xiàn)入射光場(chǎng)信息。

波前整形法是不需要實(shí)際測(cè)量傳輸矩陣的光場(chǎng)調(diào)控方法，以出射光場(chǎng)的光強(qiáng)信息作為反饋信號(hào)，利用SLM 迭代優(yōu)化入射波前的相位信息，直至在出射光場(chǎng)的目標(biāo)點(diǎn)聚焦。本文主要介紹兩種光經(jīng)過無序介質(zhì)聚焦的波前整形方法，分別是順序優(yōu)化方法和分區(qū)方法，針對(duì)這兩種方法都設(shè)計(jì)了仿真實(shí)驗(yàn)，得到了分別用兩種方法實(shí)現(xiàn)的聚焦光場(chǎng)，證明了這個(gè)方法的有效性。接下來對(duì)兩種方法的聚焦效果進(jìn)行了分析，并進(jìn)行了多點(diǎn)聚焦和SLM 可調(diào)制區(qū)域數(shù)量變化的嘗試。

1 順序優(yōu)化方法

順序優(yōu)化方法指逐個(gè)像素地調(diào)制SLM（空間光調(diào)制器）的相位信息，使入射光的相位滿足某種特定需要，從而在出射光場(chǎng)的特定一點(diǎn)實(shí)現(xiàn)聚焦。

假設(shè)入射到SLM（空間光調(diào)制器）上第n個(gè)區(qū)域光波的復(fù)振幅可寫成經(jīng)無序介質(zhì)后出射到CCD探測(cè)器上第m個(gè)探測(cè)區(qū)域的復(fù)振幅記為其中SLM 所利用的像素為N個(gè)，CCD 探測(cè)器所用的像素為M個(gè)。順序優(yōu)化方法的基于出射光場(chǎng)是來源于SLM（空間光調(diào)制器）的N個(gè)像素調(diào)制的入射光經(jīng)無序介質(zhì)散射后得到的線性組合，可被描述成如下形式：

式（1）中：An和分別為來自于第n個(gè)像素的光束的振幅和相位，無序介質(zhì)的散射作用則用未測(cè)量的透射傳輸矩陣元素tmn 替代。

順序優(yōu)化方法的優(yōu)化思想如圖1 所示，順序優(yōu)化方法的思路是：用CCD 探測(cè)出射光場(chǎng)的光強(qiáng)為反饋信號(hào)，控制SLM（空間光調(diào)制器）上單一像素的相位從0～2π變化，當(dāng)CCD接收到的目標(biāo)點(diǎn)的光強(qiáng)最大時(shí)保持該像素此時(shí)相位不變，并將此時(shí)的相位存儲(chǔ)為該像素最優(yōu)相位值。如此循環(huán)，直至找到每個(gè)像素的最優(yōu)相位，使所有像素保持其最優(yōu)相位，最終便可實(shí)現(xiàn)出射光場(chǎng)在目標(biāo)點(diǎn)的聚焦。

圖1 順序優(yōu)化方法的優(yōu)化思想

根據(jù)順序優(yōu)化方法的思路，利用計(jì)算機(jī)軟件MATLAB設(shè)計(jì)了仿真實(shí)驗(yàn)，利用MATLAB 生成一個(gè)隨機(jī)矩陣t來模擬傳輸矩陣，利用MATLAB 計(jì)算得到該隨機(jī)矩陣t×t′如圖2 所示，說明該隨機(jī)矩陣中的每個(gè)列向量之間都不具有相關(guān)性，符合傳輸矩陣的特點(diǎn)。最終仿真得到了如圖3 所示的聚焦結(jié)果。相比于圖3（a）所顯示的優(yōu)化前的出射的散斑場(chǎng)，從圖3（c）可以看出利用順序優(yōu)化方法可得到非常好的聚焦結(jié)果。

圖2 隨機(jī)矩陣各列向量之間不具有相關(guān)性

圖3 順序優(yōu)化方法的數(shù)值仿真

2 分區(qū)優(yōu)化方法

采用順序優(yōu)化方法需要遍歷每個(gè)像素，計(jì)算量極大，花費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)，效率較低。基于傳輸矩陣的通道信息，本文主要介紹一種效率更高的波前整形方法。

與透射傳輸矩陣類似，可以用一個(gè)反射傳輸矩陣r來代替光經(jīng)過無序介質(zhì)的反射過程，那么反射光與入射光的關(guān)系可表示成如下形式：

對(duì)傳輸矩陣做奇異值分解，即可得到其反射本征通道：

式（3）中：U、V都為酉矩陣，分別對(duì)應(yīng)于入射光場(chǎng)和反射光場(chǎng)的本征通道；Σ為對(duì)角陣，對(duì)角元素σi表示對(duì)應(yīng)本征通道的振幅反射率。

對(duì)于σi，U和V的第i個(gè)列向量，Vi和Ui為對(duì)應(yīng)的入射和出射本征通道。自由入射的光波是入射本征通道的線性疊加，則有：

式（4）中：N為本征通道的總數(shù)；ci是由Ein和vi的乘積決定的標(biāo)量系數(shù)。從統(tǒng)計(jì)角度看，入射波由所有特征通道組成，使得ci的絕對(duì)平方的集合的平均值無論如何都是相同的，與i無關(guān)。

將入射光場(chǎng)隨機(jī)分為2 個(gè)部分，如圖4 所示，分別為第1 部分和第2 部分。

圖4 入射光場(chǎng)的分區(qū)

入射光場(chǎng)的光波由來自2 個(gè)部分的光波線性疊加而成的，若第2 部分的光波相位偏移了，那么此時(shí)反射光場(chǎng)和其總強(qiáng)度可分別表示成如下形式：

由于每個(gè)本征通道所貢獻(xiàn)的強(qiáng)度是具有相同的周期為2π的Δφ的正弦函數(shù)，所以總強(qiáng)度也是Δφ的正弦函數(shù)，因此，可以將總強(qiáng)度寫成如下形式：

式（5）中：φ1，2是由第1 部分和第2 部分的選區(qū)決定的相位，將Δφ取值為-φ1，2，可以使總光強(qiáng)為最大值。入射光場(chǎng)分區(qū)迭代過程如圖5 所示，重復(fù)選擇分區(qū)，總反射率和光強(qiáng)會(huì)隨著迭代次數(shù)的增多而變強(qiáng)，從而實(shí)現(xiàn)聚焦。

圖5 入射光場(chǎng)分區(qū)迭代過程示意圖

根據(jù)分區(qū)優(yōu)化方法的思想，在計(jì)算機(jī)上利用MATLAB編寫程序仿真。首先對(duì)入射光場(chǎng)進(jìn)行分區(qū)，對(duì)某一分區(qū)進(jìn)行全場(chǎng)相移，保持另一分區(qū)的信息不變。采用四步相移的方法，即 相 移 步 長(zhǎng) 為π/2 ， 記 錄 4 次 相 移 的 光 強(qiáng)求取式（5）中的系數(shù)A、B、φ12，。最后令Δφ=-φ1，2，此時(shí)就完成了一次優(yōu)化。重復(fù)上述迭代過程，隨著迭代次數(shù)的增加，在一定次數(shù)范圍內(nèi)光強(qiáng)會(huì)逐步增強(qiáng)。

運(yùn)行程序得到迭代1 次和12 000 次后的聚焦圖樣，如圖6 所示。

圖6 分區(qū)算法迭代優(yōu)化波前后出射光場(chǎng)的對(duì)比圖

從圖6 可以看出，隨著迭代次數(shù)的增多，目標(biāo)點(diǎn)的光強(qiáng)顯著增強(qiáng)，聚焦效果顯著提升。目標(biāo)點(diǎn)的光強(qiáng)隨迭代次數(shù)變化的曲線如圖7 所示。從圖7 中可以看出一開始分區(qū)算法對(duì)于提高目標(biāo)點(diǎn)光強(qiáng)非常有效，但隨著迭代次數(shù)的增加，光強(qiáng)逐漸達(dá)到飽和。

圖7 目標(biāo)點(diǎn)光強(qiáng)隨迭代次數(shù)的變化

3 仿真結(jié)果討論與分析

3.1 兩種方法聚焦效果對(duì)比

兩種方法得到的模擬出射光場(chǎng)對(duì)比如圖8 所示。

圖8 兩種方法得到的模擬出射光場(chǎng)對(duì)比圖

采用順序優(yōu)化方法和分區(qū)優(yōu)化方法仿真得到的出射光場(chǎng)都達(dá)到了良好的聚焦效果，將兩種方法最終得到的最好的聚焦效果進(jìn)行對(duì)比，如圖9 所示。可以看出，采用分區(qū)優(yōu)化方法得到的出射光場(chǎng)目標(biāo)點(diǎn)的光強(qiáng)與采用順序優(yōu)化算法所得到的目標(biāo)點(diǎn)的光強(qiáng)近似一致，分區(qū)優(yōu)化得到的聚焦點(diǎn)光強(qiáng)略微高一些，即用分區(qū)優(yōu)化方法波前整形得到的出射光場(chǎng)聚焦效果相比于順序優(yōu)化方法略好，但是分區(qū)優(yōu)化方法伴隨著的是優(yōu)化次數(shù)增加，優(yōu)化時(shí)間延長(zhǎng)，為使目標(biāo)點(diǎn)光強(qiáng)略微增強(qiáng)用幾倍于順序優(yōu)化的時(shí)間顯然得不償失。

圖9 多點(diǎn)聚焦效果圖

3.2 多點(diǎn)聚焦的嘗試

除了單點(diǎn)聚焦，也可以實(shí)現(xiàn)偏離光軸中心的多點(diǎn)聚焦調(diào)制。在進(jìn)行數(shù)值仿真時(shí)，對(duì)于多目標(biāo)的規(guī)劃問題，所采用的評(píng)價(jià)方法為理想點(diǎn)法，理想點(diǎn)法中的最優(yōu)目標(biāo)是設(shè)想的最優(yōu)的解，評(píng)價(jià)最好的對(duì)象與最優(yōu)目標(biāo)的距離最近。在多點(diǎn)聚焦中，可以先設(shè)置一個(gè)極高的光強(qiáng)值I*為最優(yōu)目標(biāo)，n代表S L M 上各個(gè)像素的位置， 則理想點(diǎn)法即是令為評(píng)價(jià)指標(biāo)。

從圖9 中可以看出，隨著焦點(diǎn)數(shù)目增多，每個(gè)焦點(diǎn)的亮度都有所降低，這是因?yàn)槿肷淇偰芰坎蛔儯鵁o序介質(zhì)優(yōu)化能量分布的能力是有限的，分到每個(gè)焦點(diǎn)的能量隨焦點(diǎn)數(shù)目增多而減小，肉眼觀測(cè)直接表現(xiàn)為光強(qiáng)降低。

3.3 SLM 可調(diào)制單元數(shù)量的討論

最后利用計(jì)算機(jī)軟件MATLAB對(duì)SLM上可調(diào)制單元數(shù)量進(jìn)行了合并和劃分，研究了其可調(diào)制單元數(shù)量num 對(duì)首先達(dá)到穩(wěn)定、飽和光強(qiáng)的迭代次數(shù)的影響，如圖10 所示，從圖10（b）可以看出，隨著可調(diào)制單元數(shù)量的逐步增多，達(dá)到穩(wěn)定、飽和光強(qiáng)所需的迭代次數(shù)也在增加，即所需的迭代時(shí)間較長(zhǎng)，但最后得到的目標(biāo)點(diǎn)光強(qiáng)會(huì)顯著升高，即聚焦效果更好，這要求在迭代時(shí)間和聚焦效果中要進(jìn)行折中考慮。

圖10 不同像素?cái)?shù)量下目標(biāo)點(diǎn)光強(qiáng)隨迭代次數(shù)的變化

4 結(jié)束語

本文介紹了兩種通過波前整形使光經(jīng)過無序介質(zhì)聚焦的算法——順序優(yōu)化法和分區(qū)算法，對(duì)這兩種算法的思想進(jìn)行了介紹，并就其原理、計(jì)算機(jī)仿真設(shè)計(jì)過程以及仿真結(jié)果進(jìn)行了分析。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了多點(diǎn)聚焦以及SLM 上可調(diào)制單元數(shù)量變化的嘗試與分析。