以幾何直觀內(nèi)化運(yùn)算規(guī)律

陳雅 華麗芳

摘要：教學(xué)《乘法分配律》一課，利用幾何直觀，帶領(lǐng)學(xué)生不斷辨析乘法分配律的本質(zhì)意義，抽絲剝繭，理解并內(nèi)化運(yùn)算規(guī)律。教學(xué)中，有匹配問題情境的直觀呈現(xiàn)，讓學(xué)生在“形”中提升對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí);有凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)“合著算”和“分開算”算式的結(jié)構(gòu)特征與內(nèi)在聯(lián)系印刻入心;有發(fā)展模型意識(shí)的抽象呈現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷富有層次的表征過程后，順理成章地用語言、文字和符號(hào)歸納總結(jié)乘法分配律。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;乘法分配律;問題情境;數(shù)學(xué)本質(zhì);模型意識(shí)

“乘法分配律”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，教學(xué)目標(biāo)為：（1）在解決實(shí)際問題的過程中通過觀察、類比、猜想、舉例、驗(yàn)證、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)現(xiàn)、概括、理解乘法分配律;（2）在具身體驗(yàn)中感悟探索規(guī)律的一般過程，培養(yǎng)模型思想，發(fā)展抽象思維，積累建模經(jīng)驗(yàn);（3）感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)乘法分配律的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感。其中，教學(xué)重點(diǎn)是乘法分配律和數(shù)形結(jié)合思想，教學(xué)難點(diǎn)是探索規(guī)律的一般過程?！冻朔ǚ峙渎伞芬徽n教學(xué)，可以利用幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，不斷辨析乘法分配律的本質(zhì)意義，抽絲剝繭，理解并內(nèi)化運(yùn)算規(guī)律。具體教學(xué)過程與評(píng)析如下：

一、教學(xué)過程

（一）在解決實(shí)際問題中初步感知規(guī)律

1.購買運(yùn)動(dòng)服問題。

師今天我們來學(xué)習(xí)乘法分配律。（出示下頁圖1）我們先來解決一個(gè)問題：學(xué)校有10名同學(xué)參加趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，需要訂購統(tǒng)一的運(yùn)動(dòng)服，一共多少元？你從中知道了哪些信息？

生一件上衣60元，一條褲子40元，買10套，求一共多少元。

師請(qǐng)同學(xué)們?cè)诒咀由狭谐鼍C合算式并計(jì)算。

（學(xué)生計(jì)算。）

生（60+40）×10=1000（元）。我是先算出一套運(yùn)動(dòng)服多少元，再乘10套。

師（出示圖2）我們可以把一個(gè)三角形看作一件上衣，一個(gè)正方形看成一條褲子。他是先把一件上衣和一條褲子合著算的。

生60×10+40×10=1000（元）。我是先分別求出10件上衣的價(jià)格和10條褲子的價(jià)格，再相加。

師（出示圖3）也就是先分開算，再加起來。

師仔細(xì)觀察這兩個(gè)算式，其解題思路不同，運(yùn)算順序也不同，但我們發(fā)現(xiàn)，結(jié)果卻是——一樣的。[板書：（60+40）×10=60×10+40×10]我們可以畫上等號(hào)，把它們連接起來。

2.啦啦隊(duì)人數(shù)問題。

師再來看第二個(gè)問題。（出示圖4）啦啦隊(duì)分成了紅、藍(lán)兩隊(duì)，從圖中你知道了哪些信息？

生紅隊(duì)一行有4人，藍(lán)隊(duì)一行有5人，都各有3行。

師（出示圖5）用這樣的點(diǎn)子圖表示，理解嗎？一共有多少個(gè)隊(duì)員，可以怎么列式？

生（4+5）×3。

生4×3+5×3。

師這兩個(gè)算式分別在算什么？

生第一個(gè)算式是先算一行有多少個(gè)隊(duì)員，再乘3行。

生第二個(gè)算式是把紅隊(duì)的人數(shù)和藍(lán)隊(duì)的人數(shù)分開算。

師（出示圖6）這兩個(gè)算式相等嗎？為什么？

生相等。我算出結(jié)果都是27。

生（4+5）×3可以看成9個(gè)3;4×3+5×3表示4個(gè)3與5個(gè)3的和，也是9個(gè)3。

師[板書：（4+5）×3=4×3+5×3]計(jì)算也好，乘法的意義也好，都能夠說明這兩個(gè)算式是相等的。（出示圖7）如果再增加三行，現(xiàn)在可以列成哪兩個(gè)算式，它們相等嗎？

生相等。都解決同一個(gè)問題，也都表示9個(gè)6。

[教師板書：（4+5）×6=4×6+5×6。]

3.發(fā)現(xiàn)規(guī)律特征。

師（指板書）我們得到了這樣3個(gè)等式。請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生每組兩個(gè)算式計(jì)算結(jié)果都相同。

生每組兩個(gè)算式中的三個(gè)數(shù)都相同。

生每組算式都是乘了一個(gè)相同的數(shù)。

生左邊都是先算兩個(gè)數(shù)的和再相乘，右邊都是兩個(gè)數(shù)分別與一個(gè)數(shù)相乘再相加。

生左邊都是合著算的，右邊都是分開算的。

（教師板書：合著算，分開算。）

[評(píng)析：課始，教師帶領(lǐng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中，初步感知乘法分配律在生活中的原型。同時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合來對(duì)算式進(jìn)行闡釋，使學(xué)生理解既可以合著算，又可以分開算，在多維角度中對(duì)得到的三組等式進(jìn)行意義解讀。然后，教師放手讓學(xué)生通過觀察、比較，逐步發(fā)現(xiàn)三組等式的共性特征。在全班交流中，教師引導(dǎo)學(xué)生提煉出原型的特征，加深對(duì)原型的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。]

（二）在仿寫建模中穩(wěn)步表征規(guī)律

師通過橫著和豎著觀察和比較，我們發(fā)現(xiàn)了這些等式的特點(diǎn)。那是不是具有這些特點(diǎn)的兩個(gè)算式都相等呢？

生我覺得都相等。

生我覺得不一定相等。

師到底誰的猜想是對(duì)的呢？我們需要進(jìn)行驗(yàn)證，可以怎么驗(yàn)證？

生舉更多的例子。

師拿出學(xué)習(xí)單，想一想、算一算，各自列出具有這些特點(diǎn)的一組算式。

（學(xué)生交流展示。）

生（3+8）×9=3×9+8×9。

生（12+30）×78=12×78+30×78。

師我們來看這兩位同學(xué)的舉例，符合我們發(fā)現(xiàn)的這些特點(diǎn)嗎？等式成立嗎？怎么證明成立的？有寫到等式不成立的嗎？

生沒有。

師[板書：（7+0）×8=7×8+0×8]老師也寫了一個(gè)。你們瞧，等式成立嗎？

生等式成立。

師如果時(shí)間允許的話，我們還能再舉更多的算式，舉得完嗎？

生舉不完。

師那你能用一個(gè)等式表示出這個(gè)規(guī)律嗎？

生（a+b）×c=a×c+b×c。

師用字母式將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表達(dá)了出來，很好！

[評(píng)析：在發(fā)現(xiàn)三組原型本質(zhì)特征的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生猜想：是否具有這些特征的兩個(gè)算式都相等？學(xué)生在嘗試舉例中，發(fā)現(xiàn)結(jié)果都相等。教師適時(shí)補(bǔ)充含0的一組算式，充分暴露學(xué)生理解的盲區(qū)，幫助學(xué)生形成更完整的認(rèn)知。學(xué)生由之前學(xué)習(xí)運(yùn)算律的經(jīng)驗(yàn)，自然而然想到可以用字母式來表示乘法分配律。]

（三）在動(dòng)態(tài)驗(yàn)證中內(nèi)化規(guī)律

師其實(shí)啊，我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律早就潛伏在以前的學(xué)習(xí)中了?。ǔ鍪鞠马搱D8、圖9）一起看看。

師（出示圖10）拼成的大長方形面積可以怎么求？

（學(xué)生分別介紹合著算和分開算兩種方法，教師同步展示課件，最終畫面如圖11所示。）

師老師給這個(gè)長方形施個(gè)魔法，讓它動(dòng)起來。（在“幾何畫板”軟件中演示，呈現(xiàn)圖12-圖14）使第一個(gè)數(shù)動(dòng)起來，符合嗎？

生符合。

師（在“幾何畫板”軟件中演示，呈現(xiàn)圖15-圖17）第二個(gè)數(shù)變動(dòng)，現(xiàn)在呢？（在“幾何畫板”軟件中演示，呈現(xiàn)圖18-圖20）使寬變化，現(xiàn)在這兩個(gè)算式相等嗎？（在“幾何畫板”軟件中演示，呈現(xiàn)下頁圖21-圖23）使這三個(gè)數(shù)同時(shí)變化，算式相等嗎？

生相等，求的都是大長方形的面積。

師在這里，第一個(gè)數(shù)可以是什么？第二個(gè)、第三個(gè)數(shù)呢？（出示圖24）如果這三個(gè)數(shù)變成a、b、c，兩個(gè)算式還相等嗎？

生相等。

師（出示圖25）這就是乘法分配率。

師（小結(jié)）不管這三個(gè)數(shù)怎么變，等式都成立。在求拼成后大長方形的面積時(shí)，這兩種方法間的關(guān)系也符合我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（a+b）×c=a×c+b×c。

[評(píng)析：在學(xué)生用字母表征出乘法分配律之后，教師沒有急著揭示概念，而是帶領(lǐng)學(xué)生一起回憶，喚醒學(xué)生的舊知，與本節(jié)課學(xué)習(xí)的新知串聯(lián)。這既是對(duì)之前碎片化學(xué)習(xí)的聚合，也是對(duì)新知的一種補(bǔ)充與驗(yàn)證。運(yùn)用“幾何畫板”軟件，在長方形面積的動(dòng)態(tài)變化中，引導(dǎo)學(xué)生充分理解和思考，在幾何直觀中逐步抽象出乘法分配律。]

（四）在練習(xí)鞏固中應(yīng)用規(guī)律

師（出示練習(xí)，如下）請(qǐng)同學(xué)們完成如下練習(xí)。

1.填一填。

（1）（42+35）×2=42×□+35×□;

（2）15×26+15×14 = □○（□○□）;

（3）（30+x）×y=□○□○□○□。

2.判一判：下面的等式成立嗎？

（1）（28+72）×7=28×7+72×7;

（2）40×25+4×25=40×（25+4）;

（3）74×（99+1）=74×99+1。

（學(xué)生完成后展示交流答案。）

師等號(hào)兩邊的算式不相等時(shí)，怎么改能使兩邊相等？如果讓你計(jì)算，你會(huì)選等式的哪一邊？為什么？

……

[評(píng)析：這里設(shè)計(jì)的練習(xí)，既尊重教材又超出教材，即對(duì)靜態(tài)的習(xí)題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的操作，提高練習(xí)的趣味性。第二題除了基于乘法分配律判斷和改正等式，還引導(dǎo)學(xué)生思考規(guī)律的價(jià)值，為以后學(xué)習(xí)簡便計(jì)算做鋪墊。]

（五）在總結(jié)回顧中掌握探索規(guī)律的方法

師讓我們一起來回顧一下今天的學(xué)習(xí)過程。我們是怎么一步一步概括出乘法分配律的？

生我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問題中得到了三個(gè)等式，再通過觀察、比較、猜想、驗(yàn)證，最終概括出乘法分配律。

師看來，大家都收獲滿滿。（出示下頁圖26）瞧，運(yùn)算律小火車也收獲了新成員呢。今天，我們通過數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)了乘法分配率。那如果再增加一個(gè)小長方形，大長方形面積是多少呢？合著算和分開算又會(huì)得到兩個(gè)什么樣的算式呢？它們之間又有什么關(guān)系呢？同學(xué)們可以運(yùn)用今天研究乘法分配律的方法繼續(xù)探究。

[評(píng)析：弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力。”課尾，教師及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生回顧反思，幫助他們梳理學(xué)習(xí)過程，提煉規(guī)律發(fā)現(xiàn)的一般過程;并且?guī)ьI(lǐng)學(xué)生整理已經(jīng)學(xué)習(xí)的運(yùn)算律，豐富知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，幫助學(xué)生形成整體思維。最后，教師拋出一個(gè)問題，鼓勵(lì)學(xué)生利用今天的所學(xué)進(jìn)行更深入的研究，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，幫助學(xué)生鞏固學(xué)到的探索規(guī)律的方法。]

二、教學(xué)總評(píng)

（一）匹配問題情境的直觀呈現(xiàn)

本節(jié)課，雖然需要對(duì)算式進(jìn)行觀察，但教師沒有生硬地提供脫離實(shí)際意義的式子，而是創(chuàng)設(shè)了豐富的現(xiàn)實(shí)情境。無論購買運(yùn)動(dòng)服還是隊(duì)形的排列，都是學(xué)生非常熟悉的生活情境，能夠助力他們理解算式表示的實(shí)際意義，從而更好地認(rèn)識(shí)和比較“合著算”和“分開算”。每一個(gè)問題情境，都有匹配的幾何直觀呈現(xiàn)，讓學(xué)生在“形”中提升對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)。

（二）凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)

深度學(xué)習(xí)與淺層學(xué)習(xí)不同，是一種基于理解的學(xué)習(xí)，重在經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程。絕大部分學(xué)生通過計(jì)算，知道了“合著算”和“分開算”結(jié)果相等，兩個(gè)算式可以用等號(hào)連接。而很少有學(xué)生會(huì)想到運(yùn)用乘法的意義——幾個(gè)幾，來解釋為什么相等。這種現(xiàn)象，也反映出之前的學(xué)習(xí)更關(guān)注結(jié)果而不是過程。于是，教師從情境圖抽象到點(diǎn)子圖，幫助學(xué)生在數(shù)一數(shù)的過程中感悟“合著算”和“分開算”背后的意義，豐富學(xué)生的多元表征經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，利用“幾何畫板”軟件，研究求大長方形面積的兩種不同算法的關(guān)系。在動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)中，學(xué)生對(duì)乘法分配律的本質(zhì)特征有了充分的直觀感受，對(duì)“合著算”和“分開算”算式的結(jié)構(gòu)特征與內(nèi)在聯(lián)系印刻入心。

（三）發(fā)展模型意識(shí)的層次呈現(xiàn)

學(xué)習(xí)從模仿開始。學(xué)生在解決“購買服裝”“隊(duì)形排列”問題的過程中，充分感知了乘法分配律的結(jié)構(gòu)特征。緊接著，學(xué)生通過仔細(xì)觀察、比較，逐步發(fā)現(xiàn)了這些算式的特點(diǎn)。教師在學(xué)生回答時(shí)相機(jī)框一框、畫一畫、圈一圈，使乘法分配律的表象躍然于黑板上，同時(shí)也清晰地投射在學(xué)生的頭腦中。在這之后的仿寫建模中，學(xué)生舉出了很多例子來驗(yàn)證，教師還舉例“（7+0）×8=7×8+0×8”這類等式，探討其是否符合乘法分配律，直逼學(xué)生的認(rèn)知盲區(qū)。學(xué)生經(jīng)歷富有層次的表征過程后，用語言、文字和符號(hào)歸納總結(jié)乘法分配律也就順理成章，從而在內(nèi)化運(yùn)算規(guī)律的同時(shí)還有效發(fā)展了模型意識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王茜，周衛(wèi)東.“乘法分配律”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（11）.