口算教學(xué)：術(shù)與理同在，技與能共長

陸衛(wèi)英 房小科

摘要：為了充分地了解區(qū)域小學(xué)生的口算能力，從2013年春學(xué)期開始，連續(xù)六年對全區(qū)小學(xué)2012級(jí)學(xué)生進(jìn)行跟蹤調(diào)研，針對發(fā)現(xiàn)的一些問題，圍繞口算教學(xué)開展序列化、專題化的研討，旨在建立各年級(jí)、各口算類型的常模數(shù)據(jù)庫，構(gòu)建區(qū)域口算達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)學(xué)生走向自由、自動(dòng)化的口算，走向靈活、創(chuàng)新性的口算。實(shí)踐表明，術(shù)與理同在，在算理理解的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法的口算教學(xué)頗有成效。

關(guān)鍵詞：口算能力;區(qū)域調(diào)研;口算教學(xué)

口算亦稱心算，是指在計(jì)算過程中，不寫出豎式，也不借助計(jì)算工具，將中間運(yùn)算結(jié)果保留在記憶中，直接通過思維活動(dòng)說出計(jì)算結(jié)果的一種算法。它是數(shù)的運(yùn)算形式之一。對運(yùn)算能力的構(gòu)成，曹培英立足小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，提出了“四面體結(jié)構(gòu)模型”。該模型揭示：基本口算（主要指20以內(nèi)加減和表內(nèi)乘除）是其他口算和任何筆算、估算不可須臾離開的運(yùn)算反應(yīng);對小學(xué)生而言，基本口算反應(yīng)與進(jìn)一步的算法、算理共同構(gòu)成運(yùn)算能力的底部。可見，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，口算教學(xué)是基礎(chǔ)。

一、小學(xué)階段的口算教學(xué)內(nèi)容

依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中運(yùn)算能力培養(yǎng)的要求，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材對口算教學(xué)內(nèi)容的編排也發(fā)生了一些變化。首先，適當(dāng)調(diào)整口算知識(shí)體系，如把“一位數(shù)乘、除兩位數(shù)”的口算從第二學(xué)段前移到了第一學(xué)段。其次，分類推進(jìn)口算知識(shí)呈現(xiàn)方式。教材中的口算內(nèi)容主要分為三大板塊。一是基本口算，如“表內(nèi)乘、除法”等?；究谒闶瞧渌谒愫退泄P算都需要的口算，教材是單獨(dú)安排單元教學(xué)的。二是常用口算，如“兩位數(shù)加、減一位數(shù)”等。常用口算對筆算有很大影響，教材中有些安排在筆算前面教學(xué)，也有的安排在筆算后面教學(xué)。三是其他口算?！墩n標(biāo)》對這類口算沒做明確、具體的要求，但它是筆算和估算的基礎(chǔ)。因此，教材一方面在相應(yīng)的估算、筆算中有目的地安排了其他口算內(nèi)容;另一方面，在小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中，不再以例題教學(xué)的方式呈現(xiàn)，而一般以習(xí)題題組的方式編排其他口算內(nèi)容。學(xué)生需要掌握的這三類口算內(nèi)容，基本口算主要在一、二、三年級(jí)，常用口算主要在二、三、四年級(jí)，其他口算主要在五、六年級(jí)。

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的口算類型共有57種，一至六年級(jí)具體如下：一年級(jí)10種，分別是“10以內(nèi)的加減”“20以內(nèi)的進(jìn)位加”“20以內(nèi)的退位減”“100以內(nèi)的整十?dāng)?shù)加減整十?dāng)?shù)”“100以內(nèi)的兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)” “100以內(nèi)的兩位數(shù)減整十?dāng)?shù)”“100以內(nèi)的兩位數(shù)加一位數(shù)（不進(jìn)位）” “100以內(nèi)的兩位數(shù)減一位數(shù)（不退位）” “100以內(nèi)的兩位數(shù)加一位數(shù)（進(jìn)位）” “100以內(nèi)的兩位數(shù)減一位數(shù)（退位）”;二年級(jí)10種，分別是“表內(nèi)乘法”“表內(nèi)除法”“兩位數(shù)加減一位數(shù)（不進(jìn)位，不退位）”“兩位數(shù)加減一位數(shù)（進(jìn)位，退位）”“兩位數(shù)加兩位數(shù)（不進(jìn)位）”“兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位）”“兩位數(shù)減兩位數(shù)（不退位）”“兩位數(shù)減兩位數(shù)（退位）”“整百數(shù)加整十?dāng)?shù)及整千數(shù)加整百數(shù)”“幾百幾十減幾十及幾千幾百減幾百”;三年級(jí)12種，分別是“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)”“整百數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）”“兩位數(shù)乘一位數(shù)（進(jìn)位）”“乘加”“整十?dāng)?shù)除以一位數(shù)”“整百數(shù)除以一位數(shù)”“幾百幾十除以一位數(shù)”“兩位數(shù)除以一位數(shù)”“簡單的同分母分?jǐn)?shù)加減”“兩位數(shù)乘10”“整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)”;四年級(jí)7種，分別是“幾十或幾百幾十除以幾十”“幾十幾或幾百幾十乘幾”“幾十幾或幾百幾十除以幾”“幾十幾乘幾十”“幾百乘幾十”“兩步乘加”“幾百幾十乘幾十”;五年級(jí)10種，分別是“小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù)加減”“小數(shù)位數(shù)不同的小數(shù)加減”“整數(shù)與小數(shù)加減”“小數(shù)乘整數(shù)”“一個(gè)數(shù)乘10、100、1000……的計(jì)算規(guī)律”“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”“一個(gè)數(shù)除以10、100、1000……的計(jì)算規(guī)律”“小數(shù)乘小數(shù)”“除數(shù)是小數(shù)的除法”“異（同）分母分?jǐn)?shù)加減”;六年級(jí)8種，分別是“立方的口算”“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”“百分?jǐn)?shù)加法”“百分?jǐn)?shù)減法”。這57種口算類型基本集中在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)的運(yùn)算”知識(shí)板塊，涵蓋整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算，涉及加、減、乘、除四則運(yùn)算。

二、關(guān)于小學(xué)生口算能力的區(qū)域跟蹤調(diào)研

（一）調(diào)研背景

為了充分地了解區(qū)域小學(xué)生的口算能力，從而更好地開展口算教學(xué)，從2013年春學(xué)期開始，我們連續(xù)六年對全區(qū)小學(xué)2012級(jí)學(xué)生進(jìn)行跟蹤調(diào)研，旨在建立各年級(jí)、各口算類型的常模數(shù)據(jù)庫，構(gòu)建區(qū)域口算達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)。

（二）調(diào)研對象與方法

每年的口算能力跟蹤調(diào)研由全區(qū)統(tǒng)一組織，調(diào)研時(shí)間一般固定在每學(xué)年的春學(xué)期。調(diào)研前不做通知，調(diào)研題全程保密，調(diào)研后及時(shí)組織閱卷小組進(jìn)行抽樣閱卷（調(diào)研學(xué)生數(shù)在150人以上的學(xué)校抽樣15%左右，調(diào)研學(xué)生數(shù)在150人以下的學(xué)校抽樣25%左右）。六年來，對2012級(jí)學(xué)生口算能力跟蹤調(diào)研的情況詳見表1。

（三）調(diào)研結(jié)果與分析

1.各年級(jí)口算速度匯總。

下頁表2顯示，三、四年級(jí)時(shí)學(xué)生的口算速度相對比較快，每分鐘平均能答對17道題以上;一、二、五、六年級(jí)時(shí)學(xué)生的口算速度差不多，每分鐘平均能答對13道題以上。

2.各年級(jí)口算得分占比匯總。

從表3可知，五個(gè)分?jǐn)?shù)段中，“中間段”（5分鐘內(nèi)答得“61-70分”）學(xué)生的占比最大。以一年級(jí)為例，調(diào)研卷共設(shè)152道題，按答對1題得1分計(jì)算，抽樣的675份答卷中，5分鐘內(nèi)答得“80分以上”的學(xué)生占18.8%，答得“71-80分”的學(xué)生占15.6%，答得“61-70分”的學(xué)生占34.4%，答得“51-60分”的學(xué)生占28.1%，答得“50分”的學(xué)生占3.1%。再結(jié)合表2數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，一、二、五年級(jí)學(xué)生的口算速度表現(xiàn)為“兩頭小，中間大”的特點(diǎn);三、四年級(jí)學(xué)生的口算速度表現(xiàn)為“聚焦高分段”的特點(diǎn)，六年級(jí)學(xué)生的口算速度則表現(xiàn)為“聚焦低分段”的特點(diǎn)?？偠灾慌鷮W(xué)生一至六年級(jí)的口算速度無規(guī)律可循，不是隨著年級(jí)的升高而增加的，而是由教材知識(shí)體系編排的口算類型決定的。

3.各口算類型的正確率匯總。

根據(jù)區(qū)域2012級(jí)學(xué)生一至六年級(jí)各口算類型的正確率情況（如下頁表4所示），31種口算類型正確率在95%以上，18種口算類型正確率在90%-95%之間，8種口算正確率在90%以下。正確率低于90%的口算類型有：二年級(jí)的“兩位數(shù)減兩位數(shù)（退位）”，三年級(jí)的“兩位數(shù)除以一位數(shù)”，五年級(jí)的“一個(gè)數(shù)除以10、100、1000……的計(jì)算規(guī)律”“小數(shù)乘小數(shù)”“除數(shù)是小數(shù)的除法”“異（同）分母分?jǐn)?shù)加減”等，六年級(jí)的“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”等。數(shù)據(jù)說明，學(xué)生的整數(shù)口算正確率比較高，小數(shù)口算相比整數(shù)、分?jǐn)?shù)口算略差一些。

三、思考與實(shí)踐

一般來說，口算能力的形成要經(jīng)過“明理—會(huì)算—熟練—靈活”四個(gè)階段。其中，明理，是指遇到一種新的口算類型時(shí)要理解算理;會(huì)算，是指要著重評(píng)價(jià)正確率，而不對速度提過高的要求;經(jīng)過一段時(shí)間之后逐步達(dá)到熟練的程度，要有速度的要求;但熟練了還不能表明已經(jīng)具有了良好的口算能力，還要能面對具體的問題選擇最合適的方法，這就是最高階段——靈活。綜合區(qū)域2012級(jí)學(xué)生六年的口算調(diào)研結(jié)果與分析，針對發(fā)現(xiàn)的一些問題，我們圍繞口算教學(xué)開展了序列化、專題化的研討，形成了以下思考與實(shí)踐：

（一）組織教學(xué)探索活動(dòng)，讓術(shù)與理同在

針對2014年區(qū)域調(diào)研中發(fā)現(xiàn)的二年級(jí)學(xué)生“兩位數(shù)減兩位數(shù)（退位）”口算正確率不高（88.80%）的現(xiàn)象，我們分別在二、三年級(jí)做了一次補(bǔ)充調(diào)查，結(jié)果如下：三年級(jí)學(xué)生“兩位數(shù)加減兩位數(shù)”口算的速度、正確率高于二年級(jí)學(xué)生，但他們對口算方法的掌握情況與二年級(jí)學(xué)生相比并沒有明顯的優(yōu)勢。參與調(diào)查的二、三年級(jí)學(xué)生中，分別都只有10%的學(xué)生能想到把其中一個(gè)兩位數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，再與第二個(gè)兩位數(shù)相加減（教材編排的口算方法），其余90%的學(xué)生都習(xí)慣把兩個(gè)兩位數(shù)分別拆分成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，然后用筆算方法計(jì)算出得數(shù)。這次調(diào)查表明，教師的口算教學(xué)更關(guān)注算法，因?yàn)橐罁?jù)算法一步步計(jì)算即可算出結(jié)果。

《課標(biāo)》在“教學(xué)建議”中指出，在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。口算教學(xué)既要教術(shù)，也要教理?！靶g(shù)”即算法，“理”即算理。沒有算理的算法是機(jī)械的，不成算法的算理是空洞的，二者聯(lián)通才能轉(zhuǎn)化成口算能力。

通過一段時(shí)間的教學(xué)探索，我們歸納出有效的口算教學(xué)應(yīng)該包括五個(gè)層次：問題啟思（醞釀算法）、自主探究（探究算法）、收集資源（生成算法）、序列交流（交流算法）、歸納完善（優(yōu)化算法）。具體流程是：面對新算法，首先讓學(xué)生自主嘗試，引領(lǐng)一部分學(xué)生依據(jù)原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)算出正確結(jié)果;然后，在后續(xù)結(jié)構(gòu)化的學(xué)生作業(yè)資源呈現(xiàn)和對比中，通過層層遞進(jìn)的序列交流，讓更多的學(xué)生領(lǐng)悟新算法。經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生不僅知道怎樣口算，而且明白為什么這樣口算。

同時(shí)，針對口算教學(xué)的不同內(nèi)容，我們還梳理出了口算算理課、口算復(fù)習(xí)課、口算整理課、口算拓展課等課型。不同的課型教學(xué)要求和教學(xué)目標(biāo)有所不同。比如，口算復(fù)習(xí)課要具有三個(gè)“意識(shí)”：一是建立口算達(dá)標(biāo)、過關(guān)檢測的意識(shí)，二是單元目標(biāo)高于新授課時(shí)目標(biāo)的意識(shí)，三是留給學(xué)生獨(dú)立“執(zhí)筆訓(xùn)練”時(shí)間的意識(shí)。再如，口算拓展課是基于學(xué)生某一個(gè)學(xué)段的口算水平，圍繞一個(gè)主題展開的。如二年級(jí)“認(rèn)識(shí)萬以內(nèi)的數(shù)”之后的一節(jié)口算拓展課《湊整巧算》，主要是通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生加深對“十進(jìn)位值制”的理解，發(fā)現(xiàn)加法算式中只要兩個(gè)加數(shù)個(gè)位湊成“10”，得數(shù)就比兩個(gè)加數(shù)十位相加的數(shù)多“10”的靈活口算規(guī)律。不同課型的口算教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生走向自由、自動(dòng)化的口算，走向靈活、創(chuàng)新性的口算。

（二）構(gòu)建區(qū)域口算標(biāo)準(zhǔn)，力求人人“過關(guān)”

幫助學(xué)生形成必要的技能，無疑是數(shù)的運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)。這就要求我們的口算教學(xué)把客觀的程序性知識(shí)內(nèi)化為主體的行為經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)由詳盡的思維活動(dòng)向簡略的思維活動(dòng)的提升，從依附規(guī)則的計(jì)算變?yōu)闈撘庾R(shí)的自動(dòng)化運(yùn)算狀態(tài)。為了幫助學(xué)生逐步達(dá)成這樣的目標(biāo)，我們結(jié)合教材編排特點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生一至六年級(jí)各口算類型的平均達(dá)成水平，構(gòu)建并出臺(tái)了區(qū)域小學(xué)生口算達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，要求教師參考口算達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，引領(lǐng)學(xué)生自主訓(xùn)練、自主達(dá)標(biāo)，做到所有口算類型人人過關(guān)。以一年級(jí)為例，2013年全區(qū)一年級(jí)學(xué)生平均口算速度是每分鐘算對13.7道，2016年全區(qū)一年級(jí)學(xué)生平均口算速度是每分鐘算對13.02道，2019年全區(qū)一年級(jí)學(xué)生平均口算速度是每分鐘算對16.3道。結(jié)合幾個(gè)不同的時(shí)間段對一年級(jí)學(xué)生口算技能跟蹤調(diào)研的數(shù)據(jù)，我們初擬了區(qū)域一年級(jí)口算達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，詳見表5。

《課標(biāo)》在“評(píng)價(jià)建議”中明確了“第一學(xué)段計(jì)算技能評(píng)價(jià)要求”，而我們在綜合跟蹤調(diào)研和數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，適當(dāng)提高了要求。比如，《課標(biāo)》對“20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法口算”的速度要求是“8-10道/分鐘”，我們確定的口算達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)是“10-14道/分鐘”。

四、結(jié)語

“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是指具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義。某個(gè)具體內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后的本質(zhì)屬性，還表現(xiàn)為統(tǒng)攝具體數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)思想方法。”口算和筆算都是算法的運(yùn)算，但算法依據(jù)不同?？谒闶且罁?jù)運(yùn)算規(guī)律的運(yùn)算，更具有靈活性和多樣性。近年來，我們跟蹤調(diào)研區(qū)域小學(xué)生口算能力，綜合數(shù)據(jù)分析，持續(xù)開展口算教學(xué)研討。2020年，我們再次對區(qū)域二年級(jí)學(xué)生口算能力進(jìn)行了調(diào)研，并將口算正確率與2014年進(jìn)行了對比。從下頁表6可見，術(shù)與理同在，在算理理解的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法的口算教學(xué)頗有成效。

當(dāng)然，在努力追求區(qū)域?qū)W生口算“正確、迅速、合理、靈活”的實(shí)踐研究過程中，我們也清晰地認(rèn)識(shí)到：口算速度絕不是越快越好，口算技能培養(yǎng)也并非一朝一夕的練習(xí)所能奏效。從關(guān)注知識(shí)到培養(yǎng)能力，才是教師應(yīng)該長期思考和研究的方向。

參考文獻(xiàn)：

[1] 曹培英.跨越段層，走出誤區(qū)：“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”核心詞的實(shí)踐解讀之六——運(yùn)算能力（上）[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2014（3）.

[2] 陸衛(wèi)英，朱敏.計(jì)算教學(xué)：從知識(shí)到能力——區(qū)域小學(xué)生運(yùn)算能力的現(xiàn)狀調(diào)研與培養(yǎng)策略[J].教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2016（3）.

[3] 潘小福.小學(xué)數(shù)學(xué)教材的專業(yè)化解讀[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2017.

[4] 沈重予，王林.小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容分析與教學(xué)指導(dǎo)[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2015.

[5] 金雪根.抓住本質(zhì)突出主線促進(jìn)發(fā)展——例談關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的課堂教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2011（7/8）.