Davey-Stewartson系列的無(wú)色散化探討

廖顯金， 易 戈

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要介紹一些數(shù)學(xué)符號(hào)，DS系列的概念和性質(zhì).為了定義DS系列，首先介紹兩列擬微分算子：

類似KP系列的定義，記

這里及下文，下標(biāo)“+”表示取擬微分算子的純微分部分，而“-”表示取擬微分算子的負(fù)部.p和q是復(fù)變量tmn的未知函數(shù).

定理1下列線性系統(tǒng)：

(1a)

ψz=qφ，

(1b)

(1c)

(1d)

的相容性條件等價(jià)于如下關(guān)于復(fù)函數(shù)p和q的方程組：

(2a)

(2b)

其中A*表示A的共軛算子.相容性系統(tǒng)(1)即為DS系列，而無(wú)窮多的(2+1)維的非線性偏微分方程(2)就是DS系列的流方程.特別地，t22流就是經(jīng)典的DS系統(tǒng).

(3a)

(3b)

引理2微分算子Am和Bn滿足：

3 DS系列的半經(jīng)典極限

按照標(biāo)準(zhǔn)的無(wú)色散方法，考慮對(duì)DS系列中的變量作如下標(biāo)量尺度變換：

?→ -iε?，→ -iε， ?tmn→ -iε?tmn，

(4)

其中i是虛數(shù)單位，ε是大于0的實(shí)參數(shù).在這種尺度變換下，線性系統(tǒng)(1)自然成為如下含有參數(shù)ε的系統(tǒng)：

(5a)

-iεψz=qφ，

(5b)

(5c)

(5d)

參照文獻(xiàn)[9]的方法，將未知函數(shù)q，p和特征函數(shù)φ，ψ表示成標(biāo)準(zhǔn)的WKB form：

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

S=f-g.

(7)

將(6a)、(6b)、(6c)和(6d)代入到(5a)和(5b)，令ε→0，可得

(8)

對(duì)于(8)式，聯(lián)立其中的兩個(gè)方程，消去φ0和ψ0，得

(9)

為了敘述簡(jiǎn)便，在考慮(5c)和(5d)的無(wú)色散極限之前，先引入如下符號(hào)：

式子(5d)不好直接處理，為了利用算子的性質(zhì)，考慮對(duì)等式(1d)兩邊關(guān)于變量z求導(dǎo)，則可得

又由引理1中的(3a)，有

(10)

將(8)式代入上式，消去ψ0fz后，有

(11)

類似對(duì)(5d)的處理過(guò)程，由(5c)經(jīng)過(guò)無(wú)色散極限后，可得

(12)

于是，綜上所述，線性系統(tǒng)(1)經(jīng)過(guò)無(wú)色散極限后，得到三個(gè)哈密頓-雅可比型的非線性方程，即(8)、(11)和(12).因?yàn)镈S系列的流方程(2)源于線性系統(tǒng)(1)的相容性條件，所以(8)、(11)和(12)應(yīng)當(dāng)解釋為無(wú)色散DS系列的哈密頓-雅可比型的非線性Lax表示.

由(8)、(11)和(12)可以得到無(wú)色散DS系列的流方程，即DS系列的流方程(2)無(wú)色散化的結(jié)果.事實(shí)上，p，q的WKB form是用指數(shù)形式來(lái)表示復(fù)函數(shù)，由兩個(gè)實(shí)函數(shù)u和S來(lái)表示p，q.于是，無(wú)色散DS系列的流方程是關(guān)于u和S的非線性方程.

根據(jù)(7)，有

(13)

對(duì)(8)兩邊關(guān)于tmn求導(dǎo)，即有

utmn=F(u，S)，

(14)

其中F(u，S)表示的是有關(guān)u和S的函數(shù).

于是，由(8)、(11)和(12)得到了兩個(gè)關(guān)于u和S的非線性方程(13)、(14).非線性方程(13)和(14)即為無(wú)色散DS系列的流方程.

4 實(shí) 例

例1當(dāng)m=n=2時(shí)，記t22=t，則

則可算得

(15)

(15)即為經(jīng)典的無(wú)色散DS系統(tǒng).

例2當(dāng)m=n=3時(shí)，記t33=t，則

于是，(11)、(12)為

則可算得

(16)

(16)是無(wú)色散DS系列的t33流，與無(wú)色散DS系統(tǒng)(15)相像.

5 結(jié) 論

本文研究了DS系列的無(wú)色散極限，給出了無(wú)色散DS系列的哈密頓-雅可比型的非線性Lax表示和無(wú)色散DS系列的流方程.構(gòu)造無(wú)色散DS系列的哈密頓向量場(chǎng)Lax對(duì)將是未來(lái)需要進(jìn)一步研究的工作.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).