基于平均數(shù)的橢圓周長近似公式

劉 植， 王青山， 陳曉彥

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

橢圓作為圓錐曲線的一員，自古希臘阿波羅尼奧斯(Apollonios， 262-190 BC)以來就是數(shù)學(xué)的重心.這個出于人類理智思索的美麗想象，到了文藝復(fù)興時代由于John Kepler的創(chuàng)見而達到高峰.隨著微積分的飛速發(fā)展，得到了精確計算橢圓面積的初等公式，卻沒有找到精確計算橢圓周長的初等公式.事實上，橢圓的周長是一個積分(事實上因為橢圓的緣故我們稱之為橢圓積分)，這是一個超越函數(shù)，所以在實際應(yīng)用中必須訴諸于近似公式.

為敘述方便，這里設(shè)a,b為一橢圓的半長軸和半短軸的長，L(a,b)表示該橢圓的周長.利用積分方法計算橢圓周長時，結(jié)論表示為第二類橢圓積分，其原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示，因此橢圓沒有精確計算周長的初等公式，只能展開為無窮級數(shù)的形式[1].1742年，蘇格蘭數(shù)學(xué)家Colin Maclaurin(1698-1746)首先給出按離心率展開的橢圓周長級數(shù)表達式

也即

(1)

在機械制圖中常用“四圓心法”作橢圓的近似圖形，這種方法是用四段圓弧來代替完整的橢圓周，用圓弧的長代替橢圓弧的長，從而求出橢圓周長的近似值.黃[2]和李[3]分別研究“四圓心法”并得到了橢圓周長的近似計算公式

何[4]通過改進上述公式，使其相對誤差降低了10%.周[5]給出計算橢圓周長近似值的另一種作圖解法，將橢圓弧近似為一直線段，并導(dǎo)出了相應(yīng)的近似計算公式.此外，張[6]研究了另一種直角三角形幾何作圖法求解橢圓周長，也給出了相應(yīng)近似計算的公式.然而，上述基于幾何作圖方法得到的若干近似公式誤差較大，只適用于精度要求不高的場合.

為了構(gòu)造具有更高精度且形式簡單的近似公式，本文構(gòu)造了基于調(diào)和平均數(shù)的橢圓周長近似公式，結(jié)合現(xiàn)有其他基于平均數(shù)的近似公式，利用加權(quán)平均的方法得到橢圓周長的一個新的高精度近似公式，與現(xiàn)有其他基于平均數(shù)方法的近似公式相比，計算精度得到很大提升.

2 基于調(diào)和平均數(shù)的橢圓周長近似公式

調(diào)和平均數(shù)是一類重要的平均數(shù)，常用在相同距離但速度不同時平均速度的計算問題中.可以利用調(diào)和平均數(shù)方法構(gòu)造橢圓周長的近似公式如下：以橢圓兩個半軸a和b的調(diào)和平均數(shù)

展開即得

類似的，文獻[7]與文獻[11]中基于平均數(shù)的近似公式也可展開為級數(shù)形式

3 基于平均數(shù)的橢圓周長高精度近似公式

注意到L0,L1,L2以及L3展開式中的前兩項均與精確公式(1)是一致的，若將他們重新優(yōu)化組合，可以得到精度更高的近似計算公式.為此，可設(shè)

Lij=αLi+(1-α)Lj(i,j=0,1,2,3).

確定參數(shù)α的值使得新近似公式Lij的精度盡可能高.由此可得

事實上，L12即為Peano在1889年給出的近似公式[12]，也是目前普遍采用的近似公式之一.用類似方法，可得到具有更高精度的近似公式

通過比較容易看出，L01,L12,L23均與精確公式(1)的前四項一致；L012和L123均與精確公式(1)的前六項一致；而L0123與精確公式(1)的前八項是完全一致的，也是本文得到精度最高的近似公式.

各近似公式間的關(guān)系如下圖，在實際應(yīng)用中可以根據(jù)誤差要求選擇適當?shù)墓浇朴嬎銠E圓的周長.

圖1 基于平均數(shù)的橢圓周長近似公式關(guān)系圖

由于上述級數(shù)都是按離心率展開的，故近似計算公式對離心率小的橢圓(通常稱為圓橢圓)效果更好，對離心率大的橢圓(通常稱為扁橢圓)來說收斂較慢，逼近效果較差.

4 數(shù)值實例

為檢驗本文方法的有效性，比較各公式間的差異，針對不同數(shù)據(jù)的橢圓利用近似公式分別計算周長，具體數(shù)值如下表：

根據(jù)表1，a=b時，各種方法都能得到精確的周長；橫向從左往右隨著a與b之間差距的擴大，各公式的精度越來越差；縱向從上往下隨著近似公式的重新組合，各公式的精度越來越好；L0123已經(jīng)具有相當高的精度.

表1 橢圓周長表

表中數(shù)值是應(yīng)用MATLAB取15位有效數(shù)字計算的，因此，精度超過15位的誤差數(shù)值表示為0.由表2可以看出，用本文方法得到的近似公式L012、L123和L0123計算地球子午線長度時，已經(jīng)達到相當高的精度，這說明本文得到的高精度近似公式是簡單、有效的.

表2 子午線長度近似計算誤差對比

5 結(jié) 論

本文利用調(diào)和平均數(shù)方法構(gòu)造了一個橢圓周長的近似計算公式，雖然直接以上述公式計算誤差較大，但通過加權(quán)優(yōu)化組合以后得到的新公式的誤差大幅減少，其中L0123是基于平均數(shù)方法中具有最高精度的近似公式.數(shù)值實例表明，該公式是有效的.

致謝作者對貴刊審稿人提出的寶貴意見表示衷心感謝，文[7]和[11]對作者的寫作有了很大的啟發(fā)，對此表示感謝.