極限與商群

劉蔚萍

(華中科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074)

1 引 言

其中F′(x)=f(x)，C(I)={F(x)|F(x)在I上處處可導(dǎo)}，性質(zhì)R表示“在I上有相同的導(dǎo)函數(shù)”.可以看出，在上升到代數(shù)系統(tǒng)理論高度后，不定積分不僅可以是教科書上的定義，還可以有另外新的更嚴(yán)密精確的定義.

受到這個(gè)啟發(fā)，對(duì)于微積分中的其它概念，是否也可以用同余類來(lái)分析？基于這個(gè)思考，本文將微積分中的極限概念與代數(shù)系統(tǒng)理論建立了聯(lián)系，為微積分提供了一種新的研究思路，得到了一些結(jié)論.這些結(jié)果有助于對(duì)極限存在的一元函數(shù)集合的代數(shù)構(gòu)造有更深刻的認(rèn)識(shí).

在微積分的教學(xué)中，這種新的研究方法有助于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、嚴(yán)格的邏輯推理和創(chuàng)新能力，以及對(duì)微積分相關(guān)概念更深刻的理解.

2 主要結(jié)果

定義1[3]設(shè)非空集合A，記性質(zhì)為R, ?a,b∈A，如果a,b要么有性質(zhì)R，要么沒(méi)有性質(zhì)R，二者必居其一且僅居其一，則稱性質(zhì)R為集合A的一個(gè)關(guān)系，稱a,b有關(guān)系R，記為aRb.

定義2[3]若集合A上的一個(gè)關(guān)系R滿足

(i) 自反性aRa，(?a∈A)；

(ii) 對(duì)稱性aRb?bRa, (?a,b∈A)；

(iii) 傳遞性aRb,bRc?aRc， (?a,b,c∈A),

則稱關(guān)系R為A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

定理1設(shè)集合A={f(x)|在同一極限過(guò)程中，limf(x)存在},則在同一極限過(guò)程中，兩函數(shù)極限相等這個(gè)性質(zhì)R是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

證顯然，由關(guān)系的定義1，在同一極限過(guò)程中，兩函數(shù)極限相等這個(gè)性質(zhì)R是集合A的一個(gè)關(guān)系.

下面證明關(guān)系R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

(i) 因?yàn)?f(x)∈A,顯然limf(x)=limf(x)，即f(x)Rf(x)，所以自反性成立；

(ii) ?f(x),g(x)∈A，因?yàn)閒(x)Rg(x),即在同一極限過(guò)程中，limf(x)=limg(x) ? limg(x)=limf(x)，所以g(x)Rf(x),對(duì)稱性成立；

(iii)?f(x),g(x)，h(x)∈A，若f(x)Rg(x),g(x)Rh(x)，即在同一極限過(guò)程中，limf(x)=limg(x),limg(x)=limh(x) ? limf(x)=limh(x)即f(x)Rh(x)，所以傳遞性成立.

由定義2知，R是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.證畢.

定義3[3]a是集合A的元素，集合A中所有與a等價(jià)的元素構(gòu)成的集合，稱為等價(jià)類，記為[a]R={x|aRx,x∈A}，a稱為等價(jià)類[a]R的代表元.

等價(jià)類[a]R是集合A的子集.在研究集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，用等價(jià)類把集合分成子集.

顯然，等價(jià)類中任意一個(gè)元素是該類的一個(gè)代表元.因?yàn)閍的等價(jià)類[a]R中的任何兩個(gè)元素都等價(jià).?b,c∈[a]R，有aRb,aRc，由等價(jià)關(guān)系R的對(duì)稱性，有aRb?bRa，又aRc，由等價(jià)關(guān)系R的傳遞性，有bRc，所以等價(jià)類中的任何兩個(gè)元素都等價(jià).因此等價(jià)類中任何一元與等價(jià)類中的任何元素都等價(jià)，所以等價(jià)類中任意一元是該類的一個(gè)代表元.

上面定理1證明了在同一極限過(guò)程中，兩函數(shù)極限相等這個(gè)性質(zhì)R是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.集合A={f(x)|limf(x)存在},所以以f(x)為代表元的等價(jià)類為

[f(x)]R={g(x)|f(x)Rg(x)，即在同一極限過(guò)程中，limf(x)=limg(x),g(x)∈A}.

顯然等價(jià)類[f(x)]R是集合A的子集.

定義4[1]由集合A中所有等價(jià)類構(gòu)成的集合{[a]R|a∈A}，稱為A對(duì)等價(jià)關(guān)系R的商集，記為A/R，所以商集A/R={[a]R|a∈A}.

由定義4知，商集A/R的元素是等價(jià)類[a]R，即A的子集.

定義5[3]若集合A的一個(gè)子集族π(A)={Ai|Ai?A,Ai≠?,i∈I}，滿足

(ii) 若Ai≠Aj(?i,j∈I)，則Ai∩Aj=?，

則稱π(A)是集合A的一個(gè)分類.

文獻(xiàn)[3]已經(jīng)證明了這個(gè)定理：設(shè)R是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，對(duì)?a∈A，等價(jià)類

[a]R={x|aRx,x∈A}，

則商集A/R={[a]R|a∈A}是A的一個(gè)分類.

由此定理，可得到如下推論1.

推論1設(shè)集合A={f(x)|在同一極限過(guò)程中，limf(x)存在},R是在同一極限過(guò)程中，兩函數(shù)極限相等這個(gè)性質(zhì)，則商集A/R={[f(x)]R|?f(x)∈A}是集合A的一個(gè)分類，其中[f(x)]R是以f(x)為代表元的等價(jià)類[f(x)]R={g(x)|f(x)Rg(x),g(x)∈A}.

證由前面定理1已證，性質(zhì)R是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，以f(x)為代表元的等價(jià)類為

[f(x)]R={g(x)|f(x)Rg(x),g(x)∈A}.

由文獻(xiàn)[3]已經(jīng)證明了的上述定理知，商集

A/R={[f(x)]R|?f(x)∈A}

是集合A的一個(gè)分類.

這樣就清楚了商集A/R={[f(x)]R|?f(x)∈A}的代數(shù)結(jié)構(gòu)，是集合A的一個(gè)分類.

定義6[1]設(shè)非空集合A中有二元運(yùn)算°，如果集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R在該運(yùn)算下仍被保持，即

aRb,cRd? (a°c)R(b°d)， ?a,b,c,d∈A,

則稱等價(jià)關(guān)系R為集合A中關(guān)于運(yùn)算°的同余關(guān)系.此時(shí)，以a為代表的等價(jià)類[a]R也叫做a的同余類.同余類間的運(yùn)算記為

[a]R°[b]R=[a°b]R， ?a,b∈A.

因?yàn)橥囝愐彩堑葍r(jià)類，又等價(jià)類是子集，所以同余類也是子集.當(dāng)有同余關(guān)系，同余類間(子集間)就有運(yùn)算，同余類的運(yùn)算可歸結(jié)為代表元的運(yùn)算，且同余類也類似等價(jià)類不依賴代表元的選擇.

定理2設(shè)集合A={f(x)|在同一極限過(guò)程中，limf(x)存在},定義集合A中的二元運(yùn)算±×÷為通常意義下兩函數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算，則在同一極限過(guò)程中，兩函數(shù)極限相等這個(gè)性質(zhì)R是集合A關(guān)于二元運(yùn)算±×÷的一個(gè)同余關(guān)系R.除法時(shí)要求分母的極限不等于零.

證由上面定理1已證在同一極限過(guò)程中，兩函數(shù)極限相等這個(gè)性質(zhì)R是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系R.下面證明R是同余關(guān)系.

首先證明二元運(yùn)算為+時(shí)定理2成立.

?f1,f2∈[f(x)]R，所以f1Rf2,即limf1=limf2.?g1,g2∈[g(x)]R，所以g1Rg2,即limg1=limg2，且f1,f2,g1,g2∈A，故limf1,limf2,limg1,limg2都存在，所以極限四則運(yùn)算法則[4]成立，有

lim(f1+g1)=limf1+limg1=limf2+limg2=lim(f2+g2).

即(f1+g1)R(f2+g2).故兩函數(shù)極限相等這個(gè)性質(zhì)R是集合A關(guān)于二元運(yùn)算+的一個(gè)同余關(guān)系.由極限四則運(yùn)算法則[4]，類似可證，對(duì)于二元運(yùn)算-×÷，定理2成立.證畢.

在定理2證明同余關(guān)系時(shí)，需要用到微積分中的知識(shí)極限四則運(yùn)算法則.

由定理2知，兩函數(shù)極限相等是集合A關(guān)于二元運(yùn)算±×÷的一個(gè)同余關(guān)系R，此時(shí)等價(jià)類[f(x)]R是同余類，商集A/R={[f(x)]R|f(x)∈A}的元素是同余類，同余類之間有二元運(yùn)算.

若在集合A中有二元運(yùn)算°，則稱(A,°)是一代數(shù)系統(tǒng)，(A/R,°)是商代數(shù)，其中A/R是商集.

定義7[5]設(shè)非空集合A中有二元運(yùn)算°，且運(yùn)算滿足：

(i) 封閉性?a,b∈A，有(a°b)∈A；

(ii) 結(jié)合律?a,b,c∈A，有(a°b)°c=a°(b°c)；

(iii) 幺元律存在e∈A,?a∈A，有a°e=e°a=a,稱e為幺元；

(iv) 逆元律?a∈A,?b∈A，使a°b=b°a=e,稱b為a的逆元，記作b=a-1，則稱代數(shù)系統(tǒng)(A,°)為一個(gè)群.

定理3設(shè)集合A={f(x)|在同一極限過(guò)程中，limf(x)存在},定義集合A中的二元運(yùn)算±為通常意義下兩函數(shù)的加減，則代數(shù)系統(tǒng)(A,±)為一個(gè)群.

證對(duì)于二元運(yùn)算±.

(i) 封閉性 ?f(x),g(x)∈A，所以在同一極限過(guò)程中，limf(x)存在，limg(x)存在,由極限四則運(yùn)算法則，有l(wèi)im[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)存在，故f(x)±g(x)∈A,所以封閉性成立；

(ii) 結(jié)合律 ?f(x),g(x),h(x)∈A，顯然[f(x)±g(x)]±h(x)=f(x)±[g(x)±h(x)]，結(jié)合律成立；

(iii) 幺元律 ?幺元e=0∈A， ?f(x)∈A，有f(x)±0=0±f(x)=f(x)，所以幺元律成立；

(iv) 逆元律 對(duì)于二元運(yùn)算+，?f(x)∈A, ?b=-f(x)∈A，使

f(x)+[-f(x)]=[-f(x)]+f(x)=0=e

所以逆元b=-f(x).

對(duì)于二元運(yùn)算-，?f(x)∈A，?b=f(x)∈A，使f(x)-f(x)=f(x)-f(x)=0=e，所以逆元b=f(x),逆元律成立.由定義7知，(A,±)為一個(gè)群.證畢.

定義8[5]稱由商代數(shù)(A/R,°)構(gòu)成的群為商群.

文獻(xiàn)[5]中給出了這個(gè)定理：設(shè)A是非空集合，°是集合A上的二元運(yùn)算，代數(shù)系統(tǒng)(A,°)是群，R是集合A關(guān)于二元運(yùn)算°的同余關(guān)系，則商代數(shù)(A/R,°)是群.

由此定理，可得到如下推論2.

推論2設(shè)集合A={f(x)|在同一極限過(guò)程中，limf(x)存在}，定義集合A中的二元運(yùn)算±為通常意義下兩函數(shù)的加減，性質(zhì)R為集合A中兩函數(shù)極限相等，則商代數(shù)(A/R,±)是商群.

證上面定理3已經(jīng)證明代數(shù)系統(tǒng)(A,±)構(gòu)成一個(gè)群，定理2已經(jīng)證明兩函數(shù)極限相等的性質(zhì)R是集合A關(guān)于二元運(yùn)算±的一個(gè)同余關(guān)系，由文獻(xiàn)[5]中給出的上述定理知，商代數(shù)(A/R,±)是群.由定義8知，商代數(shù)(A/R,±)是商群.

3 結(jié) 論

本文在微積分中引入代數(shù)系統(tǒng)理論，對(duì)一元函數(shù)的集合A關(guān)于極限相等的性質(zhì)，進(jìn)行代數(shù)結(jié)構(gòu)分析.證明了函數(shù)極限相等是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，基于此等價(jià)關(guān)系，證明了商集

A/R={[f(x)]R|?f(x)∈A}

是集合A的一個(gè)分類.證明了函數(shù)極限相等是一個(gè)同余關(guān)系，進(jìn)而證明了由極限存在的一元函數(shù)集合A所構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)(A,±)是一個(gè)群，由商集A/R構(gòu)成的商代數(shù)(A/R，±)是一個(gè)商群.這樣對(duì)一元函數(shù)集合的代數(shù)構(gòu)造有了一個(gè)大致的了解.這對(duì)微積分教學(xué)的外延有一定的幫助.

在研究集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，用等價(jià)類把集合分成子集.當(dāng)子集之間有運(yùn)算，就涉及同余類概念.當(dāng)集合的元素之間帶有運(yùn)算，也就涉及群的概念.

致謝感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本人的啟示；感謝審稿老師對(duì)本文提出的寶貴修改意見(jiàn)，使該文內(nèi)容更清晰和豐滿.