“心有靈犀一點(diǎn)通”
——淺析高中數(shù)學(xué)解題中常用的四大數(shù)學(xué)思想

◎于 祥 (揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225000)

筆者認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)中很多解題思想和方法只要稍稍變形，就能和常用的四大數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生密切聯(lián)系.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師需要結(jié)合四大數(shù)學(xué)思想的定義、特點(diǎn)和作用，把數(shù)學(xué)解題思想和方法變形成為符合數(shù)學(xué)思想的相關(guān)內(nèi)容，從而優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，降低教學(xué)難度.下面，筆者將以分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程以及化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法為例進(jìn)行分析，文中涉及的教學(xué)實(shí)例請(qǐng)參照人教版高中數(shù)學(xué)教材.

一、四大數(shù)學(xué)思想對(duì)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的作用

(一)降低學(xué)生的解題難度

對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)，有一些數(shù)學(xué)習(xí)題并不是自己努力想、努力做就能夠做出來(lái)的，只有依靠數(shù)學(xué)思想才能解決，所以四大數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用實(shí)則是大幅度降低了學(xué)生的解題難度，使之在解題過(guò)程中能保證大致的思路是正確的，不會(huì)出現(xiàn)一些根本性的錯(cuò)誤.

(二)提高學(xué)生的解題能力

高中數(shù)學(xué)練習(xí)題不同于初中，難度非常大，而且有特定的解題思路和方法，四大數(shù)學(xué)思想是基于高中數(shù)學(xué)題目所總結(jié)出來(lái)的解題利器，如果學(xué)生能充分理解并應(yīng)用好這些數(shù)學(xué)思想，在解題時(shí)就能得心應(yīng)手，久而久之就能大幅度提升自己的解題能力.

二、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中四大數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用基礎(chǔ)

(一)轉(zhuǎn)變教學(xué)要求

新課改要求學(xué)生要實(shí)現(xiàn)邏輯思維、邏輯分析能力上的有效突破，故現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)教育除了要讓學(xué)生學(xué)習(xí)硬知識(shí)外，還需要學(xué)習(xí)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，而后者將比前者更加重要.所謂“一通百通”，解題方法和規(guī)律總結(jié)能力的提升將使學(xué)生從容面對(duì)不同類型的問(wèn)題，繼而有效提高學(xué)習(xí)成績(jī)和應(yīng)試水平.因此，為實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教育“要成績(jī)”“要能力”的雙重目標(biāo)，教師在應(yīng)用四大數(shù)學(xué)思想之前必須要主動(dòng)轉(zhuǎn)變教學(xué)要求，將數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)擺在首位，不要只注重學(xué)生的解題結(jié)果，而是注重其解題思路和方法.

(二)把“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”

所謂“要我學(xué)”其實(shí)是一種“被動(dòng)學(xué)”，學(xué)生只能根據(jù)教師設(shè)定的教學(xué)計(jì)劃去理解、分析、探究知識(shí)，知其然而不知其所以然，雖然能在短時(shí)間內(nèi)積累大量知識(shí)，但其思維能力卻沒(méi)有任何長(zhǎng)進(jìn)和突破.反觀“我要學(xué)”則完全不同，它是一種“主動(dòng)學(xué)”，學(xué)生根據(jù)教師設(shè)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，根據(jù)自身的學(xué)習(xí)水平把握學(xué)習(xí)進(jìn)度，同時(shí)還能夠和他人交流以獲得新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，雖然在短時(shí)間內(nèi)無(wú)法積累大量知識(shí)，但卻容易形成良好的學(xué)習(xí)思維和習(xí)慣，學(xué)習(xí)心態(tài)也會(huì)發(fā)生積極轉(zhuǎn)變.

三、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中四大數(shù)學(xué)思想的實(shí)踐應(yīng)用

(一)分類討論思想

1.何為分類討論思想

分類討論思想簡(jiǎn)而言之就是先分類再討論，這種方式可幫助學(xué)生理清思路，降低分析難度.以集合為例，按照集體元素的個(gè)數(shù)可分為有限集、無(wú)限集、空集三種，而按照集合之間的關(guān)系可分為子集、交并集、補(bǔ)集.利用分類討論思想，學(xué)生就能更加全面地認(rèn)識(shí)集合的特性.

2.分類討論的一般步驟

研究對(duì)象指的是問(wèn)題的核心，需要討論研究的主體是什么，可不可以細(xì)分，每一部分有何特點(diǎn)等等.先將研究主體進(jìn)行分類，然后集中討論每一類中的問(wèn)題.在實(shí)際教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生按照先分類再討論的方式進(jìn)行分析，從易到難逐層深入，就能讓學(xué)生掌握分類討論的核心.

3.分類討論的實(shí)際案例

在教學(xué)“隨機(jī)事件的概率”時(shí)，有這樣一道題：“一個(gè)袋子中有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)大小相同的球，隨機(jī)抽取三次，按抽取順序組成123的概率是多少？”在計(jì)算概率的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生先分類后討論.根據(jù)題目要求，實(shí)則是求1，2，3三個(gè)數(shù)組合成不同數(shù)的個(gè)數(shù)，其中三個(gè)數(shù)的組合就是整體研究對(duì)象，那么就可以分為個(gè)位、十位、百位三個(gè)研究部分.分類進(jìn)行討論就是對(duì)每一個(gè)研究部分進(jìn)行分析，比如百位數(shù)是1，那么十位數(shù)和個(gè)位數(shù)就不能是1，而2，3兩個(gè)數(shù)誰(shuí)占十位、誰(shuí)占個(gè)位則需要繼續(xù)細(xì)分討論.歸納整體結(jié)果就是在分類討論的基礎(chǔ)上把結(jié)果匯總出來(lái)，得出正確的答案.

(二)數(shù)形結(jié)合思想

1.何為數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)形結(jié)合”作為新時(shí)代數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新方式，分為“數(shù)”和“形”兩部分，通過(guò)數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題，可以將一些抽象性的、枯燥的數(shù)學(xué)文字轉(zhuǎn)化為生動(dòng)、直觀的圖形，最大限度地降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，也極大地提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力.數(shù)形結(jié)合思想的核心是“以形化數(shù)，以數(shù)代形”，數(shù)學(xué)中“數(shù)”和“形”本就是密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)中的圖表、圖形等都可以看成“形”，而公式、定理等都可以看成“數(shù)”，以計(jì)算空間幾何體的表面積和體積為例，空間幾何體就是“形”，而空間幾何體的表面積和體積則為數(shù)，數(shù)形結(jié)合，能讓學(xué)生更加直觀地想象空間幾何體的長(zhǎng)、寬、高等屬性，也能通過(guò)公式更容易解得空間幾何體的表面積和體積.

2.數(shù)形結(jié)合的兩種方式

“以數(shù)助形”即以數(shù)代形，比如計(jì)算正方形的面積，我們用眼是看不出面積的，必須要借助公式進(jìn)行計(jì)算.“以形助數(shù)”即以形代數(shù)，就是以圖形直觀展示抽象的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系.在高中階段，最典型的就是用數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系表示某個(gè)函數(shù)方程.

3.數(shù)形結(jié)合的實(shí)際案例

在學(xué)習(xí)“一元二次不等式(組)”時(shí)，教師為學(xué)生設(shè)置以下問(wèn)題：“一元二次不等式(x-3)(x+1)<0是否有解？如果有，這個(gè)不等式有多少個(gè)正整數(shù)解？”從題目難度上分析，題目相對(duì)較簡(jiǎn)單，但是這里主要考查學(xué)生對(duì)“不等式解集的數(shù)軸表示”的理解，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到結(jié)果為-1

(三)函數(shù)與方程思想

1.何為函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想作為四大數(shù)學(xué)思想中最重要也是最普遍的一類教學(xué)思想，幾乎在每堂課中都能夠用到.函數(shù)與方程思想是簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)算法、反映數(shù)理邏輯的最好方式，因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用最為廣泛，所以幾乎能和所有的高中數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合.數(shù)學(xué)題目中有著非常多的未知數(shù)求解題，結(jié)果即為未知數(shù)x，通過(guò)未知數(shù)x構(gòu)造合乎邏輯的數(shù)學(xué)方程，進(jìn)而通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算推導(dǎo)，這就是函數(shù)與方程思想的內(nèi)核，所以以函數(shù)與方程思想求解未知數(shù)是數(shù)學(xué)教師常用的方法.

2.函數(shù)與方程思想的應(yīng)用范圍

函數(shù)與方程思想主要是讓學(xué)生形成以“未知推導(dǎo)已知，已知求解未知”的數(shù)學(xué)解題思維，所以凡是涉及數(shù)理計(jì)算、函數(shù)求解等題型時(shí)都可以用到函數(shù)與方程思想.縱觀高中數(shù)學(xué)知識(shí)，函數(shù)與方程思想最常用在三角函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)的求解中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目設(shè)未知數(shù)x,y,z，然后根據(jù)已知條件將未知數(shù)代入，以形成完整的求解方程.例如在解答三角形題目時(shí)，要計(jì)算出某個(gè)三角形的三邊關(guān)系，則要設(shè)三邊為x,y,z，將之帶入sin，cos和tan三類三角函數(shù)中，就能通過(guò)已知條件(例如三角函數(shù)值和三角形的一條邊)推導(dǎo)求得x,y,z，進(jìn)而計(jì)算三邊關(guān)系.

3.函數(shù)與方程思想的實(shí)際案例

(四)化歸與轉(zhuǎn)化思想——化繁為簡(jiǎn)，化難為易

1.何為化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想直白地說(shuō)就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果很難直接求解的話，就需要把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題進(jìn)行求解.化歸與轉(zhuǎn)化思想說(shuō)明了數(shù)學(xué)知識(shí)萬(wàn)變不離其宗，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，就能將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知問(wèn)題進(jìn)行求解.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸與轉(zhuǎn)化思想常被用來(lái)分析和簡(jiǎn)化復(fù)雜的問(wèn)題.例如學(xué)完了一元一次方程、因式分解等知識(shí)后，在學(xué)習(xí)一元二次方程的時(shí)候我們其實(shí)就是通過(guò)因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來(lái)解的.再到高中特殊的一元高次方程求解時(shí)，又是將其化歸為一元一次和一元二次方程來(lái)求解，更加直白地說(shuō)，就是由1+1=2，我們可以推出1+2=3，通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化思想可將其轉(zhuǎn)化為1+1+1=3這種最直接、最簡(jiǎn)單、最好理解的方式.

2.化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)際案例

在解答復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們可以通過(guò)化歸與轉(zhuǎn)化思想由已知函數(shù)推導(dǎo)出新的函數(shù)方程，之后對(duì)新的函數(shù)方程進(jìn)行分析解答，就能快速地得出答案.比如在解答題目：“f(x)=ax2+ax+a-1，當(dāng)f(x)<0的解集為R時(shí)，求a的取值范圍.”這個(gè)題目的解答過(guò)程需要用到化歸與轉(zhuǎn)化思想，然后基于函數(shù)圖像的基本性質(zhì)確定a的取值范圍.具體解答過(guò)程如下：

解：當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)=-1<0，此時(shí)符合題意，即對(duì)x屬于R恒成立，故此時(shí)f(x)<0的解集為R.而當(dāng)a≠0時(shí)，由f(x)<0的解集為R恒成立，可推導(dǎo)a<0且Δ<0，即a<0且a2-4a(a-1)<0，即a<0且-3a2+4a<0，即a<0且3a2-4a>0，解得a<0.綜上，知a的范圍是a≤0.

在這個(gè)題目中，我們將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的“a<0且Δ<0”問(wèn)題，直接列出不等式進(jìn)行求解，這樣就通過(guò)消元方式排除了“x”的干擾，以此求解a的取值范圍就變得非常容易.

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)中的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想都能讓高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)變得更有效率.只要教師能設(shè)計(jì)科學(xué)的應(yīng)用策略和方法，把握好數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識(shí)的融合點(diǎn)，就能發(fā)揮其教學(xué)作用，成為提升課堂教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的好幫手.綜上，高中數(shù)學(xué)和初中、小學(xué)數(shù)學(xué)完全不同，高中數(shù)學(xué)講究培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而非簡(jiǎn)單的理解公式、定理定義.故應(yīng)用四大數(shù)學(xué)思想可在很大程度上優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在面對(duì)問(wèn)題時(shí)懂得化繁為簡(jiǎn)、逐層深入，既能夠面面俱到地解決問(wèn)題，又能夠節(jié)省時(shí)間和精力，應(yīng)試教育背景下，高中生應(yīng)當(dāng)以提高學(xué)習(xí)成績(jī)?yōu)橹兀瑪?shù)學(xué)思想可幫助學(xué)生快速掌握解題方法和技巧，也是一種非常重要的學(xué)習(xí)工具，值得推廣學(xué)習(xí).當(dāng)然，上述分析只是筆者的淺見(jiàn)，不足之處還請(qǐng)各位讀者朋友批評(píng)指正.