輔助函數(shù)在數(shù)學(xué)分析解題中的應(yīng)用

◎童雷雷 王良晨 (重慶郵電大學(xué)理學(xué)院，重慶 400065)

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程，內(nèi)容比較抽象，習(xí)題解答的技巧性較強(qiáng)，而函數(shù)思想在數(shù)學(xué)分析解題中發(fā)揮著重要作用，尤其是輔助函數(shù)的構(gòu)造，往往能把相對(duì)復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，適用于解決一些不易直接從條件推導(dǎo)出結(jié)論的題目，如閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有界性、介值定理的證明，某些區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)性的證明，方程組根的存在性證明，微分中值定理、積分中值定理的證明，極限、定積分的計(jì)算，等式或不等式的證明，條件極值等等.然而，輔助函數(shù)的構(gòu)造技巧性比較強(qiáng)，又沒有固定的構(gòu)造方法，其構(gòu)造過程需充分利用猜想、歸納、類比、化歸思想、逆向思維等數(shù)學(xué)思想，針對(duì)不同的題目，是否需要構(gòu)造輔助函數(shù)以及構(gòu)造什么樣的輔助函數(shù)就成為解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵.因此，歸納一些適合通過構(gòu)造輔助函數(shù)解答的題型，讓學(xué)生掌握一些構(gòu)造輔助函數(shù)的方法和技巧，利于學(xué)生打開解題的思路，節(jié)約解題時(shí)間，也能為數(shù)學(xué)專業(yè)老師備課提供一些幫助.在本文中，我們將歸納總結(jié)幾類需要構(gòu)造輔助函數(shù)解答的題型，并針對(duì)相應(yīng)的題型介紹一些輔助函數(shù)的構(gòu)造方法.

一、涉及微分中值定理的題型

在一些中值存在性問題的證明題中，題目給出的條件與需要證明的結(jié)論之間沒有直接的邏輯關(guān)系，直接利用題目給出的條件，不能或不易得出結(jié)論，這就需要借助已有知識(shí)，構(gòu)造一個(gè)從未知到已知的橋梁，即嘗試通過構(gòu)造輔助函數(shù)并結(jié)合羅爾定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理等理論工具進(jìn)行解答.

例1[1]假設(shè)f(x)在[0,π/2]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在(0,π/2)上二階可導(dǎo)，且滿足f(0)=0,f(1)=3,f(π/2)=1.

證明：存在ξ∈(0,π/2),使得f′(ξ)+f″(ξ)tanξ=0.

由于f(0)=0,f(1)=3，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知存在α∈(0,1),使得f(α)=1.

又由于f(π/2)=1，由羅爾定理知存在η∈(α,π/2)使得f′(η)=0，即F(η)=0.

所以,F(x)在[0,η]上滿足羅爾定理的條件，故存在ξ∈(0,η)?(0,π/2),使得F′(ξ)=f′(ξ)cosξ+f″(ξ)sinξ=0 兩邊同除cosξ,即得證.

證明：設(shè)g(x)=ex.因函數(shù)f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件，所以存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)(b-a)=f(b)-f(a).

由于f(x),g(x)滿足柯西中值定理的條件，故存在η∈(a,b)使得

若結(jié)論中需要證明的是形如f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)的形式，則我們可將結(jié)論進(jìn)行變形，得到f(ξ)g″(ξ)-f″(ξ)g(ξ)=0，從而得其原函數(shù)F(x)=f(x)g′(x)-f′(x)g(x),即為要構(gòu)造的輔助函數(shù).

對(duì)于需要利用柯西中值定理解答的題目，在構(gòu)造輔助函數(shù)的時(shí)候需要格外注意觀察結(jié)論的形式，通過逆序思維構(gòu)造輔助函數(shù).如果結(jié)論中含有函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)(二階、三階或更高階導(dǎo)數(shù))時(shí)，我們還可以考慮用泰勒公式構(gòu)造輔助函數(shù).

二、涉及一些不等式證明或者方程根的存在性問題的題型

在處理一些不等式證明相關(guān)的習(xí)題時(shí)，需適當(dāng)?shù)貙⒉坏仁揭祈?xiàng)，通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性、拉格朗日中值定理或函數(shù)的凸凹性，比較不等式兩邊的大小，證明不等式.此外，通過構(gòu)造輔助函數(shù)也能證明某些等式成立.

證明：設(shè)F(x)=xp+(1-x)p,則F′(x)=pxp-1-p(1-x)p-1=p[xp-1-(1-x)p-1].

當(dāng)x<1/2時(shí)，F(xiàn)′(x)<0.當(dāng)x>1/2時(shí)，F(xiàn)′(x)>0.當(dāng)x=1/2時(shí)，F(xiàn)′(x)=0.

在證明方程組根的存在性問題時(shí)，也常通過構(gòu)造輔助函數(shù)，利用連續(xù)函數(shù)的介值定理或羅爾定理證明解的存在性.

顯然F(0)=F(1)=0，由羅爾定理，在(0,1)上至少有一點(diǎn)ξ，使得F′(ξ)=0，即F′(x)=a0xn+a1xn-1+…+an=0在(0,1)上至少有一個(gè)根ξ.

三、通過構(gòu)造輔助函數(shù)，補(bǔ)充連續(xù)性條件

在運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解答題目的過程中，會(huì)遇到缺少某個(gè)條件的情況，比如利用含參變量積分的性質(zhì)計(jì)算某些極限或積分問題時(shí)，要求含參變量積分的被積函數(shù)連續(xù)或要求被積函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)連續(xù)(若是參變量反常積分，還需再加上一致收斂的條件)，此時(shí)積分運(yùn)算與極限運(yùn)算、求導(dǎo)運(yùn)算可交換.利用這些性質(zhì)解答一些積分或極限問題時(shí)，需嚴(yán)謹(jǐn)?shù)仳?yàn)證這些條件是否滿足，如果不滿足，我們要構(gòu)造一個(gè)既能滿足所缺條件又與所證結(jié)論相聯(lián)系的輔助函數(shù).

解：構(gòu)造輔助函數(shù)

因?yàn)閷?duì)任意的x∈[0,1]有

在利用所學(xué)定理或已有的結(jié)論解答某些題目時(shí)，需嚴(yán)謹(jǐn)?shù)仳?yàn)證這些定理或結(jié)論所應(yīng)滿足的條件，當(dāng)某些條件缺失時(shí)，需通過輔助函數(shù)補(bǔ)充.類似的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法也適用于推廣的羅爾中值定理的證明.

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)

則F(x)滿足羅爾定理的條件，至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=f′(ξ)=0.

結(jié)束語(yǔ)

現(xiàn)有的許多教材，在通過構(gòu)造輔助函數(shù)進(jìn)行解題時(shí)，通常會(huì)直接給出輔助函數(shù).由于數(shù)學(xué)題型多變，學(xué)生常常把握不住輔助函數(shù)的具體構(gòu)造方法和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于哪些類型的題目適合通過構(gòu)造輔助函數(shù)來求解，常常也會(huì)模糊不清的，不能很好地將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行融合，長(zhǎng)此以往，學(xué)生漸漸會(huì)失去學(xué)習(xí)的信心和興趣.因此，高校教師需要調(diào)整或改進(jìn)教學(xué)方法，在講授相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，積極引導(dǎo)和幫助學(xué)生建立知識(shí)的銜接，注意整理不同輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，學(xué)會(huì)總結(jié)解題技巧，積累解題經(jīng)驗(yàn).通過構(gòu)造輔助函數(shù)解題，既能使學(xué)生更好地熟悉和掌握所學(xué)知識(shí)，又利于打開解題思路，提高解題能力，還能培養(yǎng)良好的觀察能力及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，提高學(xué)習(xí)效率.