浙江省專升本高等數(shù)學(xué)考試導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容分析初探

◎金友良 (麗水職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 麗水 323000)

自從2005年起，浙江省全日制專升本考試試卷開(kāi)始獨(dú)立組卷，至今已有16年.通過(guò)全日制專升本統(tǒng)考統(tǒng)招，選拔優(yōu)秀的高職應(yīng)屆畢業(yè)生升入普通本科院校進(jìn)行兩年制的繼續(xù)深造，修完所需的課程，畢業(yè)時(shí)頒發(fā)普通高等院校的本科學(xué)歷證書(shū)和學(xué)士證書(shū)，享受與普通全日制四年制本科畢業(yè)生相等的待遇,這為高職院校畢業(yè)生繼續(xù)深造提供了一條快捷之路.

為了高職院校中有志繼續(xù)深造的優(yōu)秀畢業(yè)生考入自己心儀的普通本科院校，筆者作為一名高職院校的數(shù)學(xué)教師，連續(xù)多年開(kāi)設(shè)全日制專升本高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)輔導(dǎo)課程，對(duì)浙江省全日制專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱進(jìn)行認(rèn)真的研讀，對(duì)歷年浙江省全日制專升本高等數(shù)學(xué)考題進(jìn)行了系統(tǒng)地、有針對(duì)性地分析，從中總結(jié)考試熱點(diǎn)，分析解題規(guī)律，為高職畢業(yè)生專升本復(fù)習(xí)輔導(dǎo)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究和討論函數(shù)及其曲線的某些幾何特征.通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的思想、方法和技巧，為將來(lái)的靈活應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，因此導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題目在專升本考試中占有重要的地位，題型涉及選擇、填空、計(jì)算及綜合題.由于學(xué)生的應(yīng)用能力較弱，尤其是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)化問(wèn)題更弱，導(dǎo)致這部分內(nèi)容失分較多，影響學(xué)生的考試成績(jī).針對(duì)這一現(xiàn)象，本文對(duì)從2005年起至2020年浙江省全日制專升本高等數(shù)學(xué)考試中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用這部分題目進(jìn)行了收集、歸類和分析，整理歸納出一定的規(guī)律，希望對(duì)以后有志參加全日制專升本考試的學(xué)生能起到一定的幫助.

1 精細(xì)研讀浙江省全日制專升本高等數(shù)學(xué)考試大綱，明確導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容的基本要求

2 分析歷年導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分的考試真題，篩查出這部分內(nèi)容的考試熱點(diǎn)

3 典型試題解析

3.1 利用洛必達(dá)法則，求極限

注意：專升本考試中，“00”“∞0”型不定式求極限沒(méi)有出現(xiàn)過(guò).

3.2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)

這類題目基本每次考試都有考到，而且大多數(shù)題分值較高.如何解決這類題目，只要掌握求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值的五個(gè)步驟：確定定義域、求導(dǎo)數(shù)、求極值可疑點(diǎn)、單調(diào)極值判斷和答，掌握求曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的五個(gè)步驟：確定定義域、求一階和二階導(dǎo)數(shù)、求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)、凹凸判斷和答.

例3(2020年浙江省專升本考試計(jì)算題·23題)確定y=x2(lnx-1.5)的單調(diào)區(qū)間，并求該函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹凸區(qū)間.

解定義域?yàn)?0,+∞)，令y′=2x(lnx-1)=0，得駐點(diǎn)x=e；當(dāng)0e時(shí)，y′>0；所以函數(shù)y在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+∞)上單調(diào)遞增.令y″=2lnx=0，得x=1；當(dāng)01時(shí)，y″>0；所以函數(shù)y在(0,1)上是凸的，在(1,+∞)上是凹的，拐點(diǎn)是(1,-1.5).

3.3 利用函數(shù)的單調(diào)性，證明一些不等式

證明這類不等式，關(guān)鍵是先建立一個(gè)輔助的目標(biāo)函數(shù)，確定范圍，然后利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷它的單調(diào)性，最后利用單調(diào)性得出目標(biāo)不等式.

3.4 利用函數(shù)的單調(diào)性和極值，討論方程的實(shí)根個(gè)數(shù)

例6(2015年浙江省專升本考試計(jì)算題·20題)討論方程lnx=ax(a>0)有幾個(gè)實(shí)根.

分析先建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，得出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即實(shí)根個(gè)數(shù).

3.5 利用最值證明一些不等式

基本思路是先構(gòu)造輔助函數(shù)，確定范圍，再根據(jù)極值唯一性定理，求出輔助函數(shù)在指定范圍內(nèi)的最值，最后給出不等式的證明.

3.6 最值的實(shí)際應(yīng)用題

例8(2019年浙江省專升本考試綜合題·25題)假設(shè)某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的總成本是c(x)=2x3-12x2+30x+21(萬(wàn)元)，售出該產(chǎn)品x千件的收入是r(x)=60x(萬(wàn)元)，為了使公司取得最大利潤(rùn)，問(wèn)公司應(yīng)生產(chǎn)多少千件產(chǎn)品？

分析這是最優(yōu)化問(wèn)題，解決這類問(wèn)題關(guān)鍵要掌握五個(gè)步驟：設(shè)、列目標(biāo)函數(shù)及確定范圍、求極值可疑點(diǎn)、判斷及答.

解設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x)，則f(x)=-2x3+12x2+30x-21(x≥0)，令f′(x)=-6x2+24x+30=0，得唯一極值可疑點(diǎn)x=5，又f″(5)=-36<0，所以x=5是最大點(diǎn).

答(略).

3.7 最值的應(yīng)用與定積分應(yīng)用的綜合題

例9(2006年浙江省專升本考試計(jì)算題·10題)當(dāng)a為何值時(shí)，拋物線y=x2與三條直線x=a，x=a+1，y=0所圍成的圖形面積最小，求將此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的體積.

4 結(jié) 語(yǔ)

專升本高等數(shù)學(xué)考試中的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用內(nèi)容占整個(gè)考試題的分量還是比較重的，涉及各種題型，因此對(duì)考生來(lái)說(shuō)首先要夯實(shí)這部分的基礎(chǔ)，掌握各導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的方法或步驟，比如求單調(diào)區(qū)間和極值的五個(gè)步驟，求凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的五個(gè)步驟，解決最優(yōu)化問(wèn)題的五個(gè)步驟，證明不等式的關(guān)鍵是建立輔助目標(biāo)函數(shù)，對(duì)最值與定積分應(yīng)用的綜合題，要掌握兩方面的解題步驟等，然后再適當(dāng)復(fù)習(xí)，就能很好地解決這部分內(nèi)容的題目了.