問題支架：在算理和算法之間搭橋

王蜜 卜驥

【摘 要】培養(yǎng)學(xué)生的計算能力是小學(xué)階段需要完成的重要目標(biāo)之一，也是小學(xué)生必須形成的一種學(xué)習(xí)素養(yǎng)。計算課中，算理和算法的教學(xué)是一節(jié)課的核心內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生計算能力的重要通道。算理是指計算過程中的道理，主要解決“為什么這樣算”的問題;算法是指計算的方法，主要解決“怎么算”的問題。也就是說算理是算法賴以成立的數(shù)學(xué)原理，是算法的理論依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】計算能力 數(shù)學(xué)問題 算理 算法

透徹地理解算理是掌握計算方法的前提條件，也是學(xué)生提高計算能力的重要保障。在教學(xué)中，如果只注重算法的講解，不注重學(xué)生對算理的理解，那么學(xué)生對計算的理解是淺薄的，學(xué)生的思維也得不到有效的發(fā)展。怎樣才能更好地溝通算理與算法的聯(lián)系呢？

一、預(yù)設(shè)問題：讓學(xué)生自主探究曉理曉法

數(shù)學(xué)問題設(shè)計的好壞，是一節(jié)數(shù)學(xué)課高效、生動與否的關(guān)鍵，只有設(shè)計好了數(shù)學(xué)問題，學(xué)生才能在不斷地分析、探索中有所獲。在計算教學(xué)算理、算法的探究過程中，教師的引導(dǎo)十分關(guān)鍵，指向性明確的數(shù)學(xué)問題可以更好地幫助學(xué)生快速理解計算原理，明確算法。

1.讓“理”“法”有個良好的生長環(huán)境

在計算教學(xué)中， 教學(xué)情境的設(shè)計應(yīng)盡量貼近學(xué)生的生活實際， 我們可以選擇一些發(fā)生在學(xué)生身邊的事例或?qū)W生熟悉的素材作為教學(xué)內(nèi)容，再設(shè)計適合學(xué)生解決的問題，讓計算教學(xué)蘊于情境之中，使枯燥的數(shù)學(xué)知識融入生活之中。

如在蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“小數(shù)加減法”一課的教學(xué)中，教師出示在超市購買零食的情境，“媽媽買了一罐薯片花了4.5元，又買了一瓶半價后是2.25元的飲料，需要付給營業(yè)員多少元？”學(xué)生們都有購物的經(jīng)驗，馬上將自己置身于超市購物環(huán)境下，想到要用4.5+2.25這個算式來解決，那怎么算呢？因為4.5元就是4元5角，2.25元是2元2角5分，想到將4元與2元相加，5角與2角相加，再加上5分，其實也就是相同數(shù)位上的數(shù)相加。有了這樣的實際環(huán)境作依托，算理就顯得更好理解了，只有相同數(shù)位上的數(shù)對齊了，也就是小數(shù)點對齊了，才能做到相同計數(shù)單位上的數(shù)相加，才能正確運算。

算理是合理運算的依據(jù)，算法是正確計算的基礎(chǔ)。學(xué)生只有真正理解了運算的道理，才能更好、更快地掌握計算的方法。

2.讓“理”“法”有個良好的生長過程

基于核心素養(yǎng)的計算教學(xué)，怎樣才能更好地在算理和算法間建立聯(lián)系？筆者認(rèn)為：學(xué)生的自主探究、自主推理、自主歸納是獲得自我成長經(jīng)驗的有效途徑。在探究算法前，教師不要急于帶著學(xué)生一起探究，而應(yīng)該設(shè)計巧妙的數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生在操作、思考中一步步主動明算理、知算法、主動獲得知識的建構(gòu)。

如在蘇教版數(shù)學(xué)六年級上冊“分?jǐn)?shù)與整數(shù)乘法”一課的教學(xué)中，出示完問題“做一朵綢花要3— 10米綢帶，做3朵這樣的花需要多少米綢帶？”，并列出算式后，教師沒有馬上要求學(xué)生計算，而是先問：“3— 10米是多少？”學(xué)生回答：“3— 10米就是把1米平均分成10份，表示這樣的3份?！苯處煷藭r出示一條線段表示1米，先將線段平均分成10份，找到3— 10米后做上了標(biāo)記，接著提出問題：“請你先在這一條線段上像這樣表示出3個3— 10米，再看看是多少米？”學(xué)生畫好后馬上發(fā)現(xiàn)計算3×3— 10時可以把它轉(zhuǎn)化成3個3— 10相加，是3+3+3— 10，也就是3×3— 10=9— 10。從圖中，還能清楚地看到3— 10里含有3個1— 10，3個3— 10里就有9個1— 10，也就是9— 10。

學(xué)生在動手操作、自我探究、互相交流的過程中深刻地體會到了為什么在計算分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的時候，要固定分母不變，將分?jǐn)?shù)的分子乘整數(shù)作為計算結(jié)果的分子。教師此時不用刻意去強調(diào)怎么算，學(xué)生已經(jīng)慢慢掌握了必然的算法，也理解了需要這樣算的道理。

二、“支解”問題：讓學(xué)生知其然也知其所以然

在新課改背景下，如何實現(xiàn)從教師“教”到學(xué)生“會”的轉(zhuǎn)變？如何實現(xiàn)從學(xué)生的“形會”到“理會”的提升？針對學(xué)生的年齡特點，我們要設(shè)計有層次的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生知其然也知其所以然，進而達到以“理”馭“法”、“理”“法”相融的要求。

1.化大為小，給學(xué)生打破砂鍋問到底的機會

有時，在較難的數(shù)學(xué)計算教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生感到找不到思路的時候，我們不妨嘗試將較難的數(shù)學(xué)問題逐步分解，將大問題逐步化小，幫助學(xué)生克服困難，找到解決方法，在思維轉(zhuǎn)化的過程中慢慢理解算理、學(xué)會算法。

如在蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“除數(shù)是小數(shù)的除法”一課的教學(xué)中，對問題“一塊橡皮0.39元，3.56元最多可以購買幾塊橡皮？”列出算式3.56÷0.39后，不會計算的學(xué)生可能會產(chǎn)生畏難情緒，此時，教師先不要急著讓學(xué)生列豎式計算，可以先引導(dǎo)學(xué)生估計一下得數(shù)大約是多少，讓學(xué)生看到希望，試著計算3.6÷0.4的得數(shù)，從而得到結(jié)果大約是9。那具體答案到底是多少呢？可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，相機提問：“怎樣把復(fù)雜的小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成簡單的、我們會計算的算式？”引導(dǎo)后可能有學(xué)生會想到進行單位轉(zhuǎn)化，把3.56元看成356分，0.39元看成39分;還有學(xué)生會想到利用商不變的規(guī)律，將被除數(shù)和除數(shù)同時擴大100倍。這樣，復(fù)雜的小數(shù)除法就轉(zhuǎn)化成了我們學(xué)過的整數(shù)除法，問題得到解決。

在計算教學(xué)中，估算能力的培養(yǎng)也是一項重要的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過估算，可以訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)算式整體把握的能力，再通過進一步分析，化難為易，開拓了學(xué)生的解題思路，同時也實現(xiàn)了教師對單一與開放辯證的把握目標(biāo)，降低了學(xué)生計算的難度，提高了學(xué)生計算的水平，同時也延伸了計算的實用價值。

2.從形到理，給學(xué)生柳暗花明又一村的希望

在探究算理和算法時，教師可以想辦法有效地將“數(shù)”與“形”進行結(jié)合，讓學(xué)生在“視覺沖擊”和“理性分析”中發(fā)散思維，由現(xiàn)象到本質(zhì)的引領(lǐng)，促使學(xué)生將算理和算法有機結(jié)合，從而實現(xiàn)計算教學(xué)的輕負高效。

如在蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“乘法分配律”一課的教學(xué)中，如果能在運算律的推導(dǎo)過程中出示格子圖（見圖1），并提出要求：“你會用不同顏色的色塊在格子圖表示7×6和3×6嗎？”學(xué)生在清楚地看到每個算式在格子圖中對應(yīng)的部分后發(fā)現(xiàn)，7×6+3×6的大小其實和（7+3）×6所表示的大小是一樣的，所以在計算7×6+3×6這樣的三步計算時，我們可以先算7+3=10，再算10×6，使計算更加簡便。這種形象直觀的方法，更利于學(xué)生理解算理，明理得法。

三、延展問題：讓學(xué)生依理用法解決問題

計算教學(xué)不僅要發(fā)展學(xué)生的運算能力，還要幫助學(xué)生養(yǎng)成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成多動腦、勤思考、舉一反三的好習(xí)慣。在新授部分完成后，應(yīng)組織學(xué)生回顧在探索過程中遇到的問題及解決問題的策略方法，并通過強化訓(xùn)練加以鞏固、提煉，這有助于學(xué)生進一步理解算理、明確算法，并積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升思維品質(zhì)。

1.創(chuàng)設(shè)問題，讓學(xué)生體會“學(xué)有所用”的道理

運算技能的形成在各個階段呈現(xiàn)不同的特點，教師可運用交錯訓(xùn)練、變式訓(xùn)練的方式，堅持少而持續(xù)的計算練習(xí)，并在明晰算理、算法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)到的計算知識解決實際生活問題，從而使單薄的教學(xué)內(nèi)容變得豐盈，使枯燥的計算課變得生動有趣。“練”是訓(xùn)練，“習(xí)”是思考，在“練”的過程中，我們不僅要培養(yǎng)學(xué)生的計算能力，還要培養(yǎng)學(xué)生勤思考、多動腦的好習(xí)慣。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)減兩位數(shù)”時，教師設(shè)計了這樣一道實際問題：“二（1）班在植樹活動中植了65棵樹，二（2）班比二（1）班少植了三十幾棵，二（2）班最多植了多少棵樹？”讀完題目有的學(xué)生表示困惑，只知道二（1）班植樹的棵數(shù)，并不知道二（2）班具體比二（1）班少植了多少棵，無法計算出二（2）班植樹的棵數(shù)。此時教師鼓勵學(xué)生尋找問題中的關(guān)鍵詞，學(xué)生找到了“最多”，教師相機追問：“什么情況下二（2）班植樹棵數(shù)最多？”學(xué)生想到二（2）班比二（1）少植的棵數(shù)越少，其植的棵數(shù)就越多，而又有三十幾棵這個條件限制，那也就是當(dāng)二（2）班比二（1）班少植了31棵時，二（2）班植樹棵數(shù)最多，即65-31=34（棵），此時教師再次發(fā)問：“二（2）班最少植樹多少棵呢？”學(xué)生根據(jù)剛才的解題經(jīng)驗，想到二（2）班比二（1）班少植的棵數(shù)最大時，就可以算出二（2）班最少植樹的棵數(shù)，即65-39=26（棵）。解決完兩個問題后，教師再引導(dǎo)學(xué)生將這兩題的豎式過程進行比較，“同樣是65減三十幾，為什么有的得三十幾，有的得二十多？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)65-39屬于退位減，計算的時候需要“退一作十”。

在此題的解題過程中，不僅練習(xí)了兩位數(shù)減兩位數(shù)的豎式，而且還訓(xùn)練了學(xué)生分析、思考問題的能力，這就是“習(xí)”的作用。“習(xí)”能夠?qū)Α熬殹边M行延伸，從而深化計算的重要性。

2.創(chuàng)新問題：讓學(xué)生養(yǎng)成“求新探異”的習(xí)慣

傳統(tǒng)的練習(xí)模式有時學(xué)生只能簡單根據(jù)模仿獲得經(jīng)驗，所以我們需要設(shè)計一些開放性問題，旨在指向?qū)W生的最近發(fā)展區(qū)，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)過探索解決問題，從而對所習(xí)得的知識“理解性”掌握。這樣的活動過程，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性，最大限度地激活了學(xué)生的學(xué)習(xí)因子。

如，在教學(xué)“同分母分?jǐn)?shù)加減法”時，教師設(shè)計了一道這樣的拓展題：（ ）— 20+（ ）— 20=（ ）— 5，（ ）— （ ）+（ ）— （ ）=（ ）— （ ），學(xué)生在完成題目的過程中，不僅需要對算理、算法十分明確，還要考慮全面。

再如，在學(xué)完“乘法分配律”時，教師設(shè)計了這樣一組題目：81×69+81，810-9×81，以提高學(xué)生計算的靈活性。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅僅是學(xué)習(xí)一個個知識點，更重要的是習(xí)得數(shù)學(xué)的思維方式。計算教學(xué)中也是如此，在教學(xué)過程中，我們更多的是要思考：如何才能巧妙設(shè)計教學(xué)活動、教學(xué)問題讓學(xué)生在操作、思考、交流中高效溝通算理和算法，提升學(xué)生的思維能力，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)計算效率。