數(shù)形結(jié)合的教學(xué)新探索

錢(qián)春燕

【摘 要】“數(shù)”與“形”是貫穿義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材的兩條主線(xiàn)。數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，將“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩者“結(jié)合”，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具象化、繁雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)潔化。教師應(yīng)感知數(shù)形各有所長(zhǎng)，感受數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與價(jià)值，達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁、融會(huì)貫通的目的，最終發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 幾何直觀 抽象

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與價(jià)值

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求學(xué)生能獲得數(shù)學(xué)的基本思想，是新課標(biāo)“四基”目標(biāo)之一。數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。數(shù)學(xué)家華羅庚以“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非”對(duì)此精辟詮釋?zhuān)该髁藬?shù)形結(jié)合包含的兩個(gè)方面：“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”。具體地說(shuō)，就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要參照問(wèn)題背景、數(shù)量關(guān)系、圖形特征等條件，或使“數(shù)”的問(wèn)題，借助于“形”去研究;或?qū)ⅰ靶巍钡膯?wèn)題，借助于“數(shù)”去思考。數(shù)形結(jié)合思想可以使數(shù)學(xué)問(wèn)題由抽象變?yōu)榫呦?，由繁雜變得簡(jiǎn)潔。

二、數(shù)形結(jié)合思想的現(xiàn)狀與應(yīng)用

小學(xué)生的邏輯思維能力較為薄弱，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)卻必須面對(duì)數(shù)學(xué)抽象性的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，因而無(wú)論是教材的編排，還是課堂教學(xué)，都在想方設(shè)法地使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題以易于學(xué)生理解的方式呈現(xiàn)，常見(jiàn)的方法是借助直觀的幾何圖形，提供恰到好處的解決方案。

借助直觀模型解釋抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法。曾有專(zhuān)家指出，某些教學(xué)現(xiàn)象與數(shù)學(xué)意義上“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)涵并不一致，沒(méi)有真正體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)涵。比如，低年級(jí)研究?jī)蓴?shù)相差多少的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有的教師會(huì)安排學(xué)生通過(guò)擺兩種圖片來(lái)幫助理解兩數(shù)的相差關(guān)系，其實(shí)此處的圖片嚴(yán)格意義上來(lái)講，并不能算數(shù)形結(jié)合中的“形”，理由是這一方法并沒(méi)有關(guān)注到幾何圖形的特性，沒(méi)有賦予圖片本身形狀與大小的量化特征，甚至不用圖片而用任意兩種實(shí)物也能起到異曲同工的作用。倘若結(jié)合“數(shù)尺”或“數(shù)軸”來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)的順序，那么就把數(shù)和形（數(shù)尺或數(shù)軸）建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就會(huì)便于比較數(shù)的大小以及進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。

義務(wù)教育階段，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的例子比比皆是，能正確把握數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是教師應(yīng)具備的能力。例如，數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算以及較為復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的解決，常常運(yùn)用“數(shù)尺”“數(shù)軸”或“數(shù)線(xiàn)”將抽象的“數(shù)”或運(yùn)算直觀形象化，體現(xiàn)“以形助數(shù)”。而對(duì)于幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，很多時(shí)候只憑直接觀察難以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和特點(diǎn)，需要引入數(shù)據(jù)來(lái)表示，如常見(jiàn)圖形的周長(zhǎng)、面積和體積的計(jì)算等，體現(xiàn)“以數(shù)解形”。因此，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中意義重大。

三、數(shù)形結(jié)合思想的探索與開(kāi)發(fā)

數(shù)形結(jié)合使代數(shù)的精確性與幾何的直觀性和諧共生。筆者祈盼能有更多的創(chuàng)新變化，便嘗試在小學(xué)生認(rèn)知范疇內(nèi)充分發(fā)掘素材，適度拓展延伸，讓數(shù)形結(jié)合思想更豐滿(mǎn)。筆者以一道數(shù)學(xué)題為例，展開(kāi)數(shù)形結(jié)合的相關(guān)思考與探索。

（一）以形助數(shù)，抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題豁然開(kāi)朗

對(duì)于1+3+5+…+97+99這道題，有的學(xué)生能套用高斯求和公式求出結(jié)果，但經(jīng)不起追問(wèn)，無(wú)法解釋公式的內(nèi)涵。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要知其然，更要知其所以然。教師設(shè)計(jì)主題活動(dòng)，旨在希望學(xué)生能運(yùn)用化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想，融入操作，再現(xiàn)計(jì)算過(guò)程，為問(wèn)題的解決開(kāi)辟簡(jiǎn)捷的通道，從而找出規(guī)律。

主題一：探索1+3+5+…+97+99的和是多少。

思考1：將多個(gè)奇數(shù)相加變?yōu)閺膬蓚€(gè)數(shù)相加開(kāi)始：1+3，1+3+5，1+3+5+7……

思考2：算式變簡(jiǎn)單了，又該從何下手？

思考3：借助小正方形“拼”算式，或者在方格紙上“畫(huà)”算式，是否能找到其中的規(guī)律？（如圖1）

面對(duì)“從1開(kāi)始，連續(xù)多個(gè)奇數(shù)相加”這一數(shù)學(xué)問(wèn)題，多數(shù)學(xué)生首先想到借助圖形進(jìn)行“拼”算式的方法。當(dāng)用小正方形繼續(xù)往下拼的時(shí)候，學(xué)生明顯能感受到圖1中第四種方法的優(yōu)越性，自主討論交流得出：加法算式的結(jié)果就是小正方形的個(gè)數(shù)，也就是大正方形的面積，可以用“邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)”算出結(jié)果。學(xué)生初步探索出規(guī)律：從1開(kāi)始，有幾個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加，對(duì)應(yīng)的大正方形邊長(zhǎng)也是幾，和就是幾的平方。（如圖2）1+3+5+…+97+99這道題中有50個(gè)奇數(shù)，可以想象成一個(gè)邊長(zhǎng)為50的大正方形，和就是50的平方，問(wèn)題迎刃而解。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，“數(shù)形結(jié)合”使得抽象問(wèn)題直觀化，起到化難為易的作用。

筆者最初思量究竟該選擇什么圖形拼算式，若基于古希臘人慣用的小石子研究數(shù)的習(xí)慣，一開(kāi)始的研究可以考慮用小圓片“拼”算式，然而不可否認(rèn)，用小正方形代替小圓片，學(xué)生更容易聯(lián)想到拼成大正方形。為了便于繼續(xù)研究，考慮到多邊形面積計(jì)算中常見(jiàn)的圓木、鋼管等堆砌問(wèn)題，都是用“（頂層根數(shù)+底層根數(shù)）×層數(shù)÷2”來(lái)求出總根數(shù)，即學(xué)生已經(jīng)有能力把握梯形面積公式與此之間的關(guān)聯(lián)，教師可由此展開(kāi)延伸設(shè)計(jì)。

除了圖1中的第四種拼法，其他拼法如果換成小圓片繼續(xù)往下拼，是否能發(fā)現(xiàn)其他規(guī)律呢？學(xué)生能直觀感知出這兩種拼法都能得到一個(gè)梯形，用梯形的面積計(jì)算公式“（上底+下底）×高÷2”來(lái)計(jì)算，即（1+99）×50÷2=2500，也完全可行。（如圖3）

那學(xué)生一知半解的高斯求和公式是否也能用“形”來(lái)解釋?zhuān)炕卮鹗强隙ǖ?。?和99拼成一行，3和97拼成一行，接著拼下去，能得到一個(gè)長(zhǎng)方形，用長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式“長(zhǎng)×寬”列出算式 100×（50÷2）=2500，同樣可以得到結(jié)果。（如圖4）

數(shù)的問(wèn)題通過(guò)拼圖形的變換，將學(xué)生自主構(gòu)造奇數(shù)列之和直觀模型的難點(diǎn)消弭于無(wú)形，讓學(xué)生在感知規(guī)律的基礎(chǔ)上感受并體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵與價(jià)值。

（二）以數(shù)解形，創(chuàng)新求變挖掘多種可能

圖形的直觀性具有解釋規(guī)律的作用。若僅僅研究到這里結(jié)束，這種探索未免有些淺薄，因此主題二可以繼續(xù)延伸設(shè)計(jì)。主題一中出現(xiàn)的4，9，16……這些數(shù)都是兩個(gè)相同乘數(shù)的積，也叫平方數(shù)。這些平方數(shù)，都表示小正方形的總個(gè)數(shù)，都能畫(huà)成一個(gè)大正方形，所以這樣的數(shù)也稱(chēng)為正方形數(shù)。正方形數(shù)通常也會(huì)按點(diǎn)圖的方式出現(xiàn)，拼成的依舊是一個(gè)正方形（如圖5）。

主題二：選擇自己喜歡的正方形數(shù)，思考正方形數(shù)是否與其他算式也有聯(lián)系，并用其他正方形數(shù)來(lái)證明你的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生嘗試用斜線(xiàn)進(jìn)行分割，發(fā)現(xiàn)了一種新型的算式（如圖6），還有的發(fā)現(xiàn)“平方數(shù)×平方數(shù)=平方數(shù)”的規(guī)律（如圖7）。

教師借此引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，借助直觀圖，可以在思考中不斷打破常規(guī)，從不同角度感知圖形蘊(yùn)含的規(guī)律，體現(xiàn)敢于創(chuàng)新的精神。

（三）精選材料，數(shù)形結(jié)合激發(fā)深度學(xué)習(xí)

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生“見(jiàn)數(shù)想形”“因形思數(shù)”的能力。于是，筆者開(kāi)始關(guān)注、改編與設(shè)計(jì)相關(guān)問(wèn)題。就主題一而言，在現(xiàn)有實(shí)踐的基礎(chǔ)上，發(fā)展的空間還有很大。筆者由此聯(lián)想到研究“求從2開(kāi)始連續(xù)偶數(shù)的和”這一問(wèn)題（如圖8），并改編為新題：圖9中每個(gè)長(zhǎng)方形都由多個(gè)小正方形組成，根據(jù)外圍淺色的小正方形的個(gè)數(shù)，推斷第10個(gè)這類(lèi)長(zhǎng)方形中有幾個(gè)淺色小正方形。又聯(lián)想到具有民族特色的“長(zhǎng)桌宴”問(wèn)題，這種變式轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)應(yīng)用，同樣能夠展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的魅力?！伴L(zhǎng)桌宴”不管如何變化形式（如圖10），都說(shuō)明了圖形的直觀性，發(fā)揮了解釋規(guī)律、厘清算理和算法的有效性作用。

（四）相得益彰，數(shù)形文化展現(xiàn)數(shù)學(xué)魅力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了知識(shí)本身，適當(dāng)增添趣味性可以錦上添花。筆者將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，訓(xùn)練學(xué)生思維，激勵(lì)學(xué)生繼往開(kāi)來(lái)，為數(shù)學(xué)殿堂添磚加瓦。關(guān)于主題一中提及的正方形數(shù)，以古希臘畢達(dá)哥拉斯為代表的數(shù)學(xué)家就對(duì)此做過(guò)研究。通過(guò)分割，任何一個(gè)大于1的正方形數(shù)，都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”的和（如圖11）。像1，3，6，10……這樣的數(shù)稱(chēng)為“三角形數(shù)”;像1+3=4，3+6=9，6+10=16……這樣的和都是正方形數(shù)。至于對(duì)三角形數(shù)的相關(guān)拓展，筆者在此不再贅述。

也有相關(guān)資料記載，“1”表示1個(gè)點(diǎn);“2”表示2個(gè)點(diǎn)，可連成線(xiàn);“3”表示3個(gè)點(diǎn)，連成一個(gè)平面;“4”表示不同平面上的4個(gè)點(diǎn)，得到一個(gè)立體圖形（如圖12）。這說(shuō)明世界上任何事物的背后其實(shí)都隱藏著數(shù)的規(guī)律，都是以或點(diǎn)，或線(xiàn)，或面，或體這樣的形式存在的，即所謂“萬(wàn)物皆數(shù)”。

總之，以“數(shù)形結(jié)合”為主題的教學(xué)還有很大的研究空間，教師可以根據(jù)學(xué)情與教學(xué)需求，做出合適的引申與拓展的選擇，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生由“表”及“里”的理解，這對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)非常重要，同時(shí)也有可能激發(fā)學(xué)生的深度思考，這也是數(shù)學(xué)教育者研究數(shù)學(xué)的真正意義所在。

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