基于微分變換法的變截面壓桿臨界載荷分析*

楊文秀，滕兆春

（蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

0 引言

壓桿的臨界載荷是衡量壓桿承載能力的重要指標(biāo).關(guān)于受壓彈性桿件及其穩(wěn)定性［1-2］的相關(guān)研究，大多是針對等截面均質(zhì)材料壓桿進(jìn)行［3-5］.隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和設(shè)計理念的更新，多樣化、美觀化和經(jīng)濟(jì)化的變截面桿已開始在工程中大量使用［6］，工程人員根據(jù)桿件不同部位的受力情況或結(jié)構(gòu)需要，進(jìn)而設(shè)計出不同大小的截面，以確保其具有良好的承載能力，如在實際工程中已廣泛使用的高壓輸電塔、通訊信號塔、火力發(fā)電煙囪、機(jī)翼和水壩等，都采用了變截面的設(shè)計理念，也吸引很多學(xué)者對其力學(xué)特性進(jìn)行研究［7-8］.在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題中，等截面壓桿臨界載荷的求解已有Euler 公式或經(jīng)驗公式可以使用，而在變截面壓桿穩(wěn)定性問題中，由于其控制微分方程為4 階變系數(shù)常微分方程，要得到相應(yīng)的解析解較為困難，因此，一般采用近似方法進(jìn)行求解.馬寶平等［6］采用改進(jìn)的WKB（Wenzel?Kramers?Brillouin）法，推導(dǎo)了兩端簡支邊界條件下變截面壓桿相應(yīng)的積分表達(dá)式，從而得到若干不同變截面壓桿臨界載荷的數(shù)值解，并與有限差分法的結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了方法的可靠性；洪振德［9］基于駐勢能值原理，利用能量法推出了兩端簡支變截面壓桿穩(wěn)定臨界載荷的計算公式；侯祥林等［10］針對不同約束條件下，變截面壓桿穩(wěn)定性臨界載荷的計算問題，結(jié)合非線性微分方程數(shù)值算法及最優(yōu)化方法，再根據(jù)邊界條件滿足的函數(shù)關(guān)系與位型條件構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，給出一種變截面壓桿臨界載荷和穩(wěn)定位型的優(yōu)化求解算法；樓夢麟和李建元［11］依據(jù)Ritz 展開原理，采用模態(tài)攝動法建立了求解變截面壓桿臨界力的半解析解方法，并給出不同截面變化情況下，計算兩端簡支壓桿臨界載荷的數(shù)值算例.通過分析已有文獻(xiàn)可知，變截面壓桿臨界載荷的計算大多采用有限單元法、有限差分法、能量法、模態(tài)攝動法和傳遞矩陣法等.這些方法中，有的需要較為復(fù)雜的前處理或公式推導(dǎo)，有的則對邊界條件的處理較為單一，很難全面地解決工程中各種不同約束的變截面壓桿.

本文引入一種半解析方法——微分變換法（differential transformation method，DTM）對變截面壓桿穩(wěn)定的臨界載荷進(jìn)行分析求解，其過程相比其他方法簡單且精度較高，也適合編程計算［12-14］.DTM 是一種基于Taylor 級數(shù)的函數(shù)變換，不僅能將線性微分方程變換為代數(shù)方程進(jìn)行求解，而且還能將非線性的微分方程變換成代數(shù)方程求解，因而是一種非常實用且頗有價值的方法［15］.目前，國內(nèi)外還未見采用DTM 分析變截面壓桿穩(wěn)定性的相關(guān)報道，因此，本文采用DTM 分析變截面壓桿臨界載荷問題.根據(jù)微段受力及靜力平衡關(guān)系，建立變截面壓桿穩(wěn)定性的控制微分方程，并將控制微分方程和邊界條件進(jìn)行無量綱化.采用DTM 將無量綱化后的控制微分方程和邊界條件進(jìn)行微分變換，得到包含無量綱臨界載荷的代數(shù)特征方程.通過編程計算得出4 種不同邊界條件下，變截面壓桿的臨界載荷，并給出變截面壓桿的臨界載荷值與截面變化系數(shù)之間的關(guān)系曲線.

1 DTM

DTM 是一種基于Taylor 級數(shù)，以多項式形式逼近精確解的方法，常用來求解微分方程或微分方程組.對于變系數(shù)微分方程所描述的變參數(shù)系統(tǒng)和非線性微分方程所描述的非線性系統(tǒng)，也可以采用DTM進(jìn)行有效求解.經(jīng)DTM 變換，可將原微分方程（組）和問題邊界條件轉(zhuǎn)換為適合計算機(jī)編程的代數(shù)方程（組）.原函數(shù)f(x)經(jīng)過微分變換為F[ ]k的定義為［12，14］

逆變換為

由式（1）和（2）可得

由式（3）可知，微分變換法是基于Taylor 級數(shù)的展開式，但DTM 不需要對函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都進(jìn)行求解.當(dāng)m→∞時，

f（x）可以采取有限項的級數(shù)表示，即

2 變截面壓桿的控制微分方程及DTM變換

2.1 控制微分方程及邊界條件

考慮一個只在xy平面內(nèi)失穩(wěn)的細(xì)長矩形變截面壓桿（圖1）.壓桿的長度為L、寬度為b且保持不變，假設(shè)其高度（h）呈線性變化，并給定x截面處的高度為

圖1 變截面受壓桿件示意

式中h0為壓桿左端的初始高度，β為截面變化系數(shù).壓桿左端初始面積為A0=bh0，則x處的面積為

矩形截面左端初始慣性矩為I0=bh30/12，則x截面慣性矩為

選取變截面壓桿的微段dx進(jìn)行分析，忽略橫向剪切變形，并根據(jù)材料力學(xué)中基于歐拉梁理論的撓曲線近似微分方程和靜力平衡關(guān)系［3］，可得變截面壓桿穩(wěn)定性的控制微分方程為

式中w為壓桿的橫向位移，也稱為撓度；F為軸向壓載荷；E為壓桿材料的彈性模量.

引入無量綱量

得到變截面壓桿穩(wěn)定性的無量綱控制微分方程為

變截面壓桿穩(wěn)定性問題考慮簡支（S）、固定（C）和自由（F）3 種情況.無量綱化的邊界條件形式分別為：ξ=0 處，

2.2 控制微分方程及邊界條件的DTM 變換

根據(jù)DTM 定義及其基本變換關(guān)系［15］將式（8）變換為迭代式

式（17）也可以改寫為

式中Fˉ表示變量W的微分變換形式.各系數(shù)的表達(dá)式分別為：

S、C和F這3種情況邊界條件經(jīng)DTM變換后分別為：ξ=0 處，

求解兩端簡支（S?S）、一端簡支一端固定（S?C）時，將式（18）分別代入式（19）和（22）、式（19）和（23），設(shè)，得到含有無量綱臨界載荷（λcr）的特征方程如下：

式中Xnij(i，j=1，2)是迭代n次求出的含有λcr的多項式，將其簡化為矩陣形式

要使式（25）存在非零解，則

求解兩端固定（C?C）時，將式（18）分別代入式（20）和（23），設(shè)同理，可得出含有λcr特征方程的矩陣形式

要使式（27）存在非零解，則

要使式（29）存在非零解，則

通過求解式（26）、（28）和（30）可得出不同邊界條件下變截面壓桿的λcr.

3 計算結(jié)果及分析

應(yīng)用MATLAB 商用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行編程［16］，可得到式（18）在表示不同邊界條件式（19）～（23）下變截面壓桿的λcr.為了驗證研究問題數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性以及DTM 在計算中的有效性與精度，給出了變截面壓桿的截面變化系數(shù)(β)為0 時，也就是將變截面壓桿退化到等截面壓桿，采用DTM 求解不同邊界條件下λcr的數(shù)值結(jié)果，并將DTM 所得數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)［17］中等截面壓桿λcr的解析解及文獻(xiàn)［18，10］的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較（表1）.由表1 可知，DTM 的計算結(jié)果相比其他計算方法得出的數(shù)值解更接近解析解，可見本文計算方法的正確性和可行性，同時也說明DTM 具有非常高的計算精度.

表1 等截面梁的無量綱臨界載荷比較

截面變化系數(shù)(β)在0～0.4 范圍內(nèi)，S?S、C?C、S?C和F?C 4 種不同邊界條件下λcr與β的關(guān)系曲線如圖2所示.4 種邊界條件下壓桿的λcr均隨β的增大而增大，并幾乎成線性變化，即增大β能提高壓桿的穩(wěn)定性.同時表明，在不同約束強(qiáng)度的邊界條件下，λcr隨約束強(qiáng)度的增強(qiáng)而增大，這一點與等截面壓桿完全一致.

圖2 不同邊界條件下變截面壓桿的無量綱臨界載荷與截面變化系數(shù)之間的關(guān)系曲線

4 結(jié)論

本文基于細(xì)長壓桿撓曲近似微分方程理論，建立了變截面壓桿失穩(wěn)時的控制微分方程，并將控制微分方程和邊界條件依次進(jìn)行無量綱化和DTM 變換，計算得到不同邊界條件下變截面壓桿的λcr，并對4 種邊界條件下λcr與β的規(guī)律進(jìn)行分析討論，結(jié)論如下：

（1）當(dāng)β=0 時，將變截面壓桿控制微分方程退化到采用DTM 求解等截面壓桿無量綱臨界載荷，并將其數(shù)值解與解析解進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)精度較高.

（2）在同一種類型約束邊界條件下，λcr隨β的增大而增大，即增大β能提高壓桿的穩(wěn)定性.

（3）DTM 具有非常高的計算精度并且更適合計算機(jī)編程求解，該方法可為工程結(jié)構(gòu)中變截面壓桿臨界載荷的計算和分析提供條件.