函數(shù)連續(xù)性及其間斷點(diǎn)的探析

周麗佳 王品 張占美

摘要：本文分析了高等數(shù)學(xué)中連續(xù)性的概念，對(duì)間斷點(diǎn)的判斷及常見錯(cuò)誤通過經(jīng)典例題的形式進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：連續(xù)性;間斷點(diǎn)

函數(shù)的連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念，連續(xù)性反映了自然現(xiàn)象連續(xù)變化的共同特性。古典物理學(xué)有一句格言：自然界中一切都是連續(xù)的。高等數(shù)學(xué)中所研究的主要對(duì)象也是連續(xù)函數(shù)。

一、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義

函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義主要兩種形式。

定義1：設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，如果趨近于零時(shí)，的極限值是0，即，那么，函數(shù)在點(diǎn)處就是連續(xù)的。

定義1刻畫了函數(shù)連續(xù)的本質(zhì)—自變量的微小變化引起的只能是函數(shù)值的微小變化。連續(xù)的這一定義也解釋了眾多自然現(xiàn)象。例如汽車在行駛過程中，雖然做的是變速運(yùn)動(dòng)，但是當(dāng)時(shí)間間隔非常非常短時(shí)，速度的變化就會(huì)非常小。再例如一天中溫度差異很大，但是如果時(shí)間間隔非常短時(shí)，溫差就會(huì)很小等等。

定義2：設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，若極限值與函數(shù)值相等，即，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的。

這兩個(gè)都是函數(shù)在一點(diǎn)處的定義，那這兩個(gè)定義有什么關(guān)系呢？定義1的關(guān)系式中，令，則當(dāng)趨近于0時(shí)，與有什么關(guān)系呢？顯然趨近于。那么，關(guān)系式如何變形？趨近于0可以換成趨近于，可以換成，于是，我們得到，由于是常數(shù)值，它的極限就是它本身，因此，得到，從而得出。通過分析我們可以看出，定義2其實(shí)就是對(duì)定義1進(jìn)行了形式上的改寫。但是，在實(shí)際判定函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，我們通常采用定義2。利用定義2我們可以歸結(jié)為要判斷函數(shù)在一點(diǎn)處是否連續(xù)需滿足三個(gè)條件。一是看定義，看函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義。二是求極限，求函數(shù)在該點(diǎn)的極限值。三是作判斷，判斷函數(shù)在該點(diǎn)的極限值是否等于函數(shù)值。三個(gè)條件缺一不可！

二、函數(shù)連續(xù)性的判斷

接下來我們用定義討論一下函數(shù)在處的連續(xù)性。

這是一個(gè)分段函數(shù)，用定義2來判定，仍然要參照三個(gè)條件。

看定義：在函數(shù)的第一段，因此函數(shù)在處有定義，其實(shí)，分段函數(shù)從解析式中就可以看出分段點(diǎn)出是否有定義，所以無需特別討論定義;求極限：分段點(diǎn)處的極限應(yīng)該如何求解呢？將這一點(diǎn)分別代入它左右兩側(cè)的解析式，分別求左右極限。左極限如何代？代入小于0的第二段，極限值是1，而右極則代入大于0的第一段，極限值是0，左右極限雖然都存在，但卻不相等，因此極限不存在，不滿足第二個(gè)條件，所以函數(shù)在處不連續(xù)。

數(shù)學(xué)講究數(shù)形結(jié)合，再?gòu)暮瘮?shù)圖像上來看，在小于0的左側(cè)，函數(shù)是一條單調(diào)遞增的直線，處及其右側(cè)呢？是正弦函數(shù)的一部分，從圖像上明顯看出，函數(shù)在處不連續(xù)。

雖然函數(shù)在處不連續(xù)，但是其實(shí)，函數(shù)在處的右極限值是與它的函數(shù)值相等的，此時(shí)，我們稱函數(shù)在處右連續(xù)。從中，我們可以總結(jié)出右連續(xù)的定義：如果函數(shù)在某一點(diǎn)的右極限存在，且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則稱函數(shù)在這一點(diǎn)右連續(xù)。

那么，這道題的結(jié)論，除了不連續(xù)，我們還可以進(jìn)行更進(jìn)一步的判定，是什么呢？由于函數(shù)在處的右極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，因此，函數(shù)在處右連續(xù)。

同樣，如果將函數(shù)圖像稍加改動(dòng)，讓函數(shù)在處的左極限與該點(diǎn)的函數(shù)值相等，那么我們稱，函數(shù)在處左連續(xù)。對(duì)比右連續(xù)，左連續(xù)又該如何定義呢？如果函數(shù)在某一點(diǎn)的左極限存在，且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，函數(shù)在這一點(diǎn)左連續(xù)。

回到原來的函數(shù)圖像，如果將函數(shù)圖像的左半部份下移一個(gè)單位，此時(shí)圖像在處就連續(xù)了，在這種情況下，無論以怎樣的方式趨近于0，它的極限值都等于函數(shù)值。其中，這種情況就是我們剛才所說的左連續(xù)、右連續(xù)，由此，我們得出函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：左連續(xù)且右連續(xù)。

三、間斷點(diǎn)的判斷及常見錯(cuò)誤分析

不連續(xù)的點(diǎn)我們就稱為間斷點(diǎn)，那什么原因?qū)е铝瞬贿B續(xù)呢？如果上述的三個(gè)條件有一個(gè)或一個(gè)以上不滿足，其點(diǎn)就是間斷的。換句話說間斷的原因可能有三個(gè)。一是無定義，二是無極限，三是極限值和函數(shù)值不等。依據(jù)間斷的原因，函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩大類。

判斷分段函數(shù)間斷點(diǎn)的類型是一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一大難點(diǎn)。下面通過具體的函數(shù)來進(jìn)行分析，以便加深學(xué)生的理解。

例1：討論函數(shù)分的連續(xù)性

學(xué)生在初學(xué)連續(xù)性時(shí)很容易混淆概念，他們可能注意到函數(shù)在x不等于零時(shí)，出現(xiàn)在分母位置上，所以自然以為函數(shù)在x為零這一點(diǎn)是沒有定義，所以不滿足連續(xù)的三個(gè)條件，因而函數(shù)在分段點(diǎn)處是間斷的。這一思路錯(cuò)誤在于對(duì)函數(shù)概念不清晰，把分段函數(shù)當(dāng)成了兩個(gè)獨(dú)立分開的函數(shù)來看待。

我們來看看該如何求解。首先我們來看一下這個(gè)分段函數(shù)的分段點(diǎn)是什么？自然是零點(diǎn)，函數(shù)把不為零的點(diǎn)的函數(shù)都定義為，定義，接下來看零這一點(diǎn)是否滿足連續(xù)的三個(gè)條件。第一，函數(shù)在零這一點(diǎn)有定義，且為;第二，函數(shù)的極限值為，第三，極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值。因此，函數(shù)在分段點(diǎn)處是連續(xù)的，而在其他各點(diǎn)函數(shù)都是連續(xù)的。

例2：求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判定間斷點(diǎn)的類型。

解析：這是一個(gè)分式函數(shù)，要使表達(dá)式有意義，分母需不為零。因此且，故與為間斷點(diǎn)。接下來再考察間斷點(diǎn)的類型。

由于所以是第一類間斷點(diǎn)里的可去間斷點(diǎn)。

由于，所以是第二類間斷點(diǎn)里的無窮間斷點(diǎn)。

是不是求解就算完畢了？沒有！因?yàn)檫€沒有全面的討論其它點(diǎn)。在都連續(xù)，所以間斷點(diǎn)僅有上述的兩個(gè)。

例3：求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判定其類型。

解析：這是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的分段函數(shù)，函數(shù)的分段點(diǎn)為，先考察函數(shù)在該點(diǎn)的連續(xù)性情況，由于函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)的表達(dá)式發(fā)生了變化，所以分左右極限來考察。，，可以看出函數(shù)在零左右兩側(cè)的極限不相同，故是第一類間斷點(diǎn)里的跳躍間斷點(diǎn)。那該點(diǎn)是不是唯一的間斷點(diǎn)呢？上面的分析只是討論了分?jǐn)帱c(diǎn)，這也是很多同學(xué)在求間斷點(diǎn)時(shí)很容易遺漏，我們?cè)賮砜疾煲幌潞瘮?shù)在其它點(diǎn)的情況。

當(dāng)時(shí)，，由于分母不能為零，所以當(dāng)，即是函數(shù)的間斷點(diǎn)。

當(dāng)，，同樣因?yàn)榉帜覆荒転榱悖援?dāng)，即是函數(shù)的間斷點(diǎn)。又由于不存在，故是第二類間斷點(diǎn)的震蕩間斷點(diǎn)。

例4：判斷函數(shù)的間斷點(diǎn)

很多同學(xué)得出的結(jié)論是間斷點(diǎn)有兩個(gè)，分別為和，這個(gè)答案是否正確呢？要解決這個(gè)問題，我們需要回到間斷點(diǎn)的定義。在間斷點(diǎn)的定義里有一個(gè)前提條件就是如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在的某去心領(lǐng)域內(nèi)是一定有定義的。再來看看很多同學(xué)的給出的兩個(gè)答案和，同學(xué)們之所以認(rèn)為它們是間斷點(diǎn)是因?yàn)閮蓚€(gè)點(diǎn)都使得分母為零，但是判斷間斷點(diǎn)我們還得注意間斷點(diǎn)定義中的前提條件。由于分子是，所以函數(shù)在的去心領(lǐng)域是沒有定義的，故而函數(shù)的間斷點(diǎn)只有一個(gè)即為，進(jìn)一步可以得到，所以是第二類間斷點(diǎn)里的無窮間斷點(diǎn)。

在實(shí)際的課堂教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)的連續(xù)性和間斷點(diǎn)看似內(nèi)容不算復(fù)雜，但是在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中會(huì)遇到很多困惑，解開謎團(tuán)的鑰匙其實(shí)在于深刻體會(huì)函數(shù)連續(xù)性和間斷點(diǎn)的概念所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思維和方法，在學(xué)習(xí)中舉一反三，融會(huì)貫通。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室。高等數(shù)學(xué)（第七版）[M]（上冊(cè)。北京：高等教育出版社，2014）

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系。數(shù)學(xué)分析（第五版）[M]（上冊(cè)。北京：高等教育出版社，2012）

[3]曾大恒。高職數(shù)學(xué)可以避繁就簡(jiǎn)[J]（數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017）

作者簡(jiǎn)介：

周麗佳，1979年8月25日出生，女，漢族，江蘇南通人，碩士研究生學(xué)歷，副教授職稱，主要研究數(shù)學(xué)教育方向，工作于陸軍航空兵學(xué)院基礎(chǔ)部。

王品，1973年9月25日出生，男，漢族，貴州畢節(jié)人，大學(xué)學(xué)歷，教授職稱，主要研究數(shù)學(xué)教育方向，工作于陸軍航空兵學(xué)院基礎(chǔ)部。

張占美，1982年2月28日出生，女，漢族，河北肅寧人，碩士研究生學(xué)歷，副教授職稱，主要研究數(shù)學(xué)教育方向，工作于陸軍航空兵學(xué)院基礎(chǔ)部。