小學(xué)高段數(shù)學(xué)合情推理教學(xué)策略

【摘要】本文論述小學(xué)高段數(shù)學(xué)合情推理教學(xué)策略：在概念與規(guī)則學(xué)習(xí)中滲透合情推理方法、利用數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練合情推理能力、設(shè)計(jì)多元化立足點(diǎn)推動(dòng)合情推理教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 高段 合情推理 教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）29-0139-02

演繹推理和合情推理是數(shù)學(xué)推理應(yīng)用中兩種較為普遍的推理形式，而合情推理在小學(xué)階段應(yīng)用更多。所謂“合情推理”，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中根據(jù)已具備的經(jīng)驗(yàn)，利用觀察、歸納、類比、聯(lián)想、實(shí)驗(yàn)等多種非演繹的思維形式，獲得猜測(cè)結(jié)果或推斷出某些結(jié)論。小學(xué)高段學(xué)生已積累一定的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)周圍事物形成一定的認(rèn)知，思維能力也在逐漸增強(qiáng)，能夠利用已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)新接觸的事物進(jìn)行歸納和類比，為自己的猜測(cè)提供依據(jù)。因此，小學(xué)高段是學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期。自新課改實(shí)施以來，小學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力培養(yǎng)逐漸被重視，但受到培養(yǎng)策略及途徑的局限，每當(dāng)遇到不依靠精算解決的問題或以邏輯思維無法推測(cè)出結(jié)論的問題時(shí)，學(xué)生往往不能主動(dòng)采用直觀思維進(jìn)行合情推理?？梢?，學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)沒有有效落實(shí)到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。以下，筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，從幾個(gè)方面談?wù)勗谛W(xué)高段實(shí)施數(shù)學(xué)合情推理教學(xué)的策略。

一、學(xué)習(xí)概念與規(guī)則，滲透合情推理方法

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩種方式。其中，歸納推理是由某類事物中部分對(duì)象具有的屬性，推測(cè)出此類事物全部對(duì)象都具有這些屬性的推理，是由部分向整體、個(gè)別向一般的推理過程;類比推理則是根據(jù)事物間某些相似或相同的屬性，通過比較推斷出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤耐评磉^程，是由特殊向特殊的推理過程。概念和規(guī)則是小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)內(nèi)容之一，旨在指導(dǎo)學(xué)生對(duì)大量同類事物進(jìn)行觀察、比較、分析、歸納，從中概括出此類事物的共同特征，學(xué)生在這一過程中可以嘗試識(shí)別規(guī)律，形成初步的猜想，并設(shè)法驗(yàn)證猜想的正確性。這一內(nèi)容的教學(xué)，對(duì)提升學(xué)生的歸納推理能力具有重要意義。此外，學(xué)生在嘗試形成概念和規(guī)則時(shí)，往往偏向比較相似之處、搜索可類比對(duì)象、采用屬性推理等方式，這些推理活動(dòng)可視為類比推理的過程。因此，教師在進(jìn)行概念與規(guī)則教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)注重將合情推理的每一種方式落實(shí)到教學(xué)設(shè)計(jì)中，將合情推理能力訓(xùn)練滲透在課程之中。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)》一課時(shí)，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)筆者提出一個(gè)問題：“150÷50的商是多少？如果把150和50同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么相除的結(jié)果會(huì)有變化嗎？同時(shí)縮小10倍呢？”引導(dǎo)學(xué)生回憶四年級(jí)時(shí)學(xué)過的“商不變的性質(zhì)”相關(guān)內(nèi)容。隨后筆者將問題內(nèi)的除式改寫為另一種形式：150÷50=[（? ? ? ? ? ? ）（? ? ? ? ? ? ）]和（150×2）÷（50×2）=[（? ? ? ? ? ? ）×（? ? ? ? ? ? ）（? ? ? ? ? ? ）×（? ? ? ? ? ? ）]=[（? ? ? ? ? ? ）（? ? ? ? ? ? ）]，再次向?qū)W生提問：“既然分?jǐn)?shù)與除法有著明顯的相似之處，在整數(shù)除法中存在商不變的性質(zhì)，那在分?jǐn)?shù)中會(huì)不會(huì)也有類似的性質(zhì)呢？”此處筆者用“那在分?jǐn)?shù)中會(huì)不會(huì)也有類似的性質(zhì)”這樣的問題引發(fā)學(xué)生猜測(cè)，正是滲透類比推理的過程。學(xué)生在這一過程中嘗試用整數(shù)除法中“商不變”的屬性來推理分?jǐn)?shù)中的類似屬性，從中發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)。

正式進(jìn)入課程內(nèi)容后，筆者利用課件展示三個(gè)完全一樣的正方形，將其分別平均分為2份、4份和8份，將其中的1部分、2部分和4部分涂黑，并用分?jǐn)?shù)形式[12]、[24]、[48]來表示（見圖1），然后讓學(xué)生根據(jù)圖示和分?jǐn)?shù)的意義思考這三個(gè)分?jǐn)?shù)的變化規(guī)律。學(xué)生仔細(xì)觀察之后，認(rèn)為[12]是把一個(gè)正方形平均分為2份并取其中1份，而將其中1份再平均分為2份，便能獲得1×2=2份。此時(shí)如果想取得和之前一樣多的數(shù)量，那么必須取2份，由[12][×2]=[24]得到第二個(gè)分?jǐn)?shù)[24]，可見[12]和[24]的大小是相等的。同樣道理，[24]與[48]也是相等的，因此可以認(rèn)定[12]=[24]=[48]。當(dāng)學(xué)生明確這一結(jié)論之后，筆者讓他們舉出幾個(gè)類似的例子，并引導(dǎo)他們嘗試識(shí)別其中的規(guī)律，利用歸納推理提出猜想，再用實(shí)例來驗(yàn)證猜想。整堂課有效地滲透了類比推理和歸納推理的方法，讓學(xué)生在主動(dòng)猜想中完整地經(jīng)歷推理過程，高質(zhì)量地完成合情推理的訓(xùn)練。

二、建立數(shù)學(xué)模型，訓(xùn)練合情推理能力

數(shù)學(xué)模型是一種運(yùn)用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學(xué)語言構(gòu)建的抽象而簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)，通常是為了反應(yīng)部分現(xiàn)實(shí)世界或?yàn)閷?shí)現(xiàn)某種特殊目的、解決實(shí)際問題而建。學(xué)生學(xué)習(xí)概念、推導(dǎo)公式及探索數(shù)量關(guān)系的過程，實(shí)際上是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程。探索未知的世界離不開猜測(cè)和推理，所以建構(gòu)數(shù)學(xué)模型也離不開合情推理的輔助。教師指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，應(yīng)同時(shí)注重學(xué)生合情推理能力的訓(xùn)練。

例如，在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“植樹問題”時(shí)，筆者為幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)“兩端都種”的規(guī)律，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)具體情境：在校園的主路上種植美人蕉，全長(zhǎng)40米，每隔2米種一棵，要求兩端都種，請(qǐng)問一共需要多少棵美人蕉？面對(duì)這一問題，筆者要求學(xué)生先利用以往經(jīng)驗(yàn)做一個(gè)大致數(shù)量的猜測(cè)。許多學(xué)生表示40米的路程太長(zhǎng)，且每2米種一棵美人蕉，比較難完成猜測(cè)的構(gòu)想，而且兩端都種的要求也不利于用除法進(jìn)行精確計(jì)算。在此情形下，筆者提示學(xué)生用一條等比例縮小的線段模擬這條主路。受此啟發(fā)學(xué)生畫了一條40cm的線段作為學(xué)校主路，并在線段上每隔2cm畫上一個(gè)圓點(diǎn)表示美人蕉。但在實(shí)踐過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)即使將實(shí)物縮小成線段模型，在計(jì)算圓點(diǎn)的數(shù)量時(shí)仍然繁瑣且費(fèi)時(shí)費(fèi)力。于是，筆者又啟發(fā)學(xué)生取40cm線段其中一小段，再按比例畫圓點(diǎn)。有學(xué)生取了8cm，圓點(diǎn)之間的間隔距離仍為2cm。圖示畫出之后，該生發(fā)現(xiàn)8cm的線段，間隔數(shù)為4，圓點(diǎn)數(shù)為5，則表示當(dāng)路長(zhǎng)為8米時(shí)，間隔數(shù)為4，棵數(shù)為5。由此推出，當(dāng)路長(zhǎng)為16米時(shí)，間隔為8，棵數(shù)為9;當(dāng)路長(zhǎng)為32米時(shí)，間隔數(shù)為16，棵數(shù)為17。這一過程意在引導(dǎo)學(xué)生利用多種簡(jiǎn)化實(shí)例進(jìn)行歸納識(shí)別，從中總結(jié)規(guī)律。在本道植樹題目中，學(xué)生經(jīng)過簡(jiǎn)化實(shí)例后發(fā)現(xiàn)規(guī)律：間隔數(shù)=總距離÷間隔距離，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，于是利用這一規(guī)律計(jì)算題目：40÷2=20，20+1=21，共計(jì)需要21棵美人蕉。

可見，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑，而建構(gòu)模型時(shí)可以充分借助合情推理的各種方式，通過推理歸納出規(guī)律，再將規(guī)律用于題目的計(jì)算，最終得出計(jì)算結(jié)果。學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型過程中，經(jīng)歷的猜測(cè)、類比、歸納，實(shí)際上是對(duì)他們合情推理能力的一種訓(xùn)練、鞏固、提升。

三、設(shè)計(jì)多元立足點(diǎn)，推動(dòng)合情推理教學(xué)

合情推理能力的培養(yǎng)需要緊密結(jié)合課型及教學(xué)目標(biāo)，并立足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，設(shè)計(jì)多元化教學(xué)策略，如立足解決學(xué)生的認(rèn)知困惑，以啟發(fā)性問題引導(dǎo)學(xué)生推理;立足學(xué)生的已有知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主化推理訓(xùn)練等。在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《三角形的面積》一課時(shí)，筆者著眼不同立足點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以推動(dòng)合情推理的教學(xué)。

（一）以啟發(fā)性問題引導(dǎo)推理

合情推理能力的培養(yǎng)需要學(xué)生產(chǎn)生邏輯思維的跳躍，這一過程通常建立在學(xué)生存在認(rèn)知困惑的基礎(chǔ)上。當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷質(zhì)疑、解答、領(lǐng)悟，才能深刻理解所學(xué)內(nèi)容，對(duì)合情推理的應(yīng)用產(chǎn)生深切的體會(huì)。因此，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)認(rèn)知困惑，是開展合情推理訓(xùn)練的重要步驟。而提出啟發(fā)性的問題，則是引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)認(rèn)知困惑的有效手段。

本課是教學(xué)三角形面積的計(jì)算，為了讓學(xué)生準(zhǔn)確理解三角形面積計(jì)算公式是如何推導(dǎo)出來，筆者設(shè)計(jì)了一系列啟發(fā)性問題，首先展示兩個(gè)一樣的直角三角形，讓學(xué)生思考：用它們能拼成什么樣的圖形？有學(xué)生拼出平行四邊形，筆者就此提問：“大家認(rèn)為每個(gè)直角三角形的面積與它們拼成的平行四邊形面積之間有什么聯(lián)系？”當(dāng)學(xué)生完成討論后，筆者再依次展示兩個(gè)一樣的銳角三角形、兩個(gè)一樣的鈍角三角形，讓學(xué)生思考同樣的問題，并在此基礎(chǔ)上追問：“大家所拼成的圖形與三角形之間存在什么樣的關(guān)系？”這些啟發(fā)性的問題引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知困惑，吸引著學(xué)生不斷思考，逐步進(jìn)行合情推理，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩個(gè)完全一樣的三角形能夠拼成一個(gè)平行四邊形，且平行四邊形的底就是三角形的底，平行四邊形的高相當(dāng)于三角形的高，一個(gè)三角形的面積相當(dāng)于它們拼成的平行四邊形面積的一半，由此推導(dǎo)出三角形面積計(jì)算公式為S=a×h÷2。

（二）強(qiáng)調(diào)自主化推理

合情推理能力的培養(yǎng)要以自主體驗(yàn)為基礎(chǔ)，學(xué)生只有親歷推理過程，才能夠真切感知合情推理的含義和價(jià)值。對(duì)此，教師在課堂教學(xué)中要盡可能為學(xué)生創(chuàng)造自主體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，強(qiáng)調(diào)通過動(dòng)手實(shí)踐和操作完成猜測(cè)、比較、分析和驗(yàn)證的過程，避免“人云亦云”，實(shí)現(xiàn)“知其然”又“知其所以然”，由此強(qiáng)化自主合情推理訓(xùn)練。

在本節(jié)課中的操作環(huán)節(jié)，筆者讓學(xué)生帶著命題“用兩個(gè)相同的三角形能拼成什么樣的圖形”“每個(gè)三角形的面積與它們拼成的平行四邊形面積之間有什么樣的關(guān)系”，嘗試?yán)米灾频娜切渭埰瑢W(xué)具進(jìn)行操作。在操作過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形能夠拼成一個(gè)平行四邊形這一事實(shí)，從而推測(cè)出三角形的面積應(yīng)當(dāng)是這一平行四邊形的一半。隨后，學(xué)生又利用不同的三角形繼續(xù)進(jìn)行拼接實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了以上的推測(cè)，最終歸納出三角形與平行四邊形之間的關(guān)系，推導(dǎo)出三角形的面積公式。動(dòng)手操作的過程，就是自主體驗(yàn)的過程。學(xué)生在自主體驗(yàn)中，通過不斷嘗試、猜測(cè)、歸納、驗(yàn)證，最終獲得結(jié)論，完成命題的合情推理過程，使認(rèn)知獲得升華。

綜上所述，在小學(xué)高段實(shí)施數(shù)學(xué)合情推理教學(xué)，需要教師充分利用概念與規(guī)則的學(xué)習(xí)，積極進(jìn)行合情推理方法的滲透，同時(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)建模加強(qiáng)合情推理能力的訓(xùn)練，并立足于學(xué)生多元化的學(xué)習(xí)需求，設(shè)計(jì)啟發(fā)性問題、鼓勵(lì)自主化推理，從多個(gè)層面提高學(xué)生數(shù)學(xué)合情推理能力培養(yǎng)的質(zhì)量。

【作者簡(jiǎn)介】黃玉云（1978— ），漢族，福建上杭人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，現(xiàn)就職于福建省龍巖市上杭縣南陽中心小學(xué)，研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 黃健清）