《二次函數(shù)模型的實際應(yīng)用》教學(xué)案例

黃德誠 周之琴

【摘要】本文以《二次函數(shù)模型的實際應(yīng)用》為例，闡述利用生活中見到的拱橋輔助學(xué)生學(xué)習(xí)運用二次函數(shù)模型解決實際問題的意識和能力，以及在解決問題的過程中滲透函數(shù)、方程等模型思想的具體做法，使學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)來源于生活，又能更好地服務(wù)于生活，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)模型 模型思想 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）29-0084-04

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師普遍重視數(shù)學(xué)知識、概念的教學(xué)以及技能和算法的培養(yǎng)，但卻常常不太重視對數(shù)學(xué)思想的滲透和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。學(xué)生雖然掌握了比較豐富的數(shù)學(xué)理論知識，但不能較好地將理論知識和實際應(yīng)用聯(lián)系起來，導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果低。因此，針對這種現(xiàn)象，筆者試圖以《二次函數(shù)模型的實際應(yīng)用》為例，闡述創(chuàng)設(shè)實踐性教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)知識與生活中的實際問題結(jié)合，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的方法，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)的價值和建立模型的意義，以便提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識和能力。

一、教學(xué)背景分析

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，它的應(yīng)用是本章的教學(xué)重點和難點。它是從生活實際問題中抽象出的數(shù)學(xué)知識，又是在解決實際問題中被廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，因此這部分的教學(xué)內(nèi)容具有重要意義。同時，學(xué)好二次函數(shù)，并能較好地應(yīng)用，也是為高中進一步學(xué)習(xí)各類初等函數(shù)作好準備。初中學(xué)習(xí)的二次函數(shù)是比較簡單的函數(shù)，也是其他初等函數(shù)的基礎(chǔ)。它與一元二次方程緊密聯(lián)系，在許多方面也會用到一元二次方程的相關(guān)知識。因此，在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷從實際問題情境入手，到抽象出解決問題的數(shù)學(xué)模型和相關(guān)知識的過程，理解二次函數(shù)的價值和建立二次函數(shù)模型的意義，培養(yǎng)學(xué)生運用二次函數(shù)解決問題的能力。

（二）學(xué)生情況分析

本節(jié)課的授課對象是九年級的學(xué)生。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了求二次函數(shù)解析式的方法并理解圖象上的點和圖象函數(shù)的關(guān)系，也學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函數(shù)，并掌握了運用這些知識解決問題的方法，初步掌握簡單的二次函數(shù)的應(yīng)用知識。在數(shù)學(xué)課堂上，他們也多次經(jīng)歷了從實際問題抽象出數(shù)學(xué)知識，再運用相關(guān)知識解決實際問題的過程，因此他們有解決簡單實際問題的基礎(chǔ)知識和基本能力。但是，他們從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力以及利用已有的數(shù)學(xué)知識去解決比較復(fù)雜的問題的能力還仍然比較弱。他們對比較抽象的函數(shù)知識還是感到比較難掌握，多數(shù)學(xué)生對函數(shù)的應(yīng)用意識也不強。

二、教學(xué)過程

（一）情景導(dǎo)入

播放一組幻燈片，內(nèi)容如下：

（1）趙州橋;（2）遇龍橋;（3）桂林花橋;（4）解放橋。

師：（提問溫故）圖中的橋洞是什么形狀？有我們學(xué)過的數(shù)學(xué)圖象嗎？

生：二次函數(shù)。

師：對了，這就是我們這節(jié)課要研究的問題：二次函數(shù)模型在拱橋問題中的實際應(yīng)用。

【設(shè)計意圖】這個設(shè)計，引入學(xué)生熟悉的生活情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

【賞析教法】通過演示法，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)來源于生活。

（二）師生互動，探索新知

師：（用多媒體出示例題）如圖，拋物線形的拱橋，當(dāng)水面在CD時，拱橋頂E離水面CD為2 m，水面CD寬4 m;當(dāng)水面下降1 m時，水面寬度AB是多少米？

1.師生共同分析，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題

讓學(xué)生獨立分析題意，請一名同學(xué)口述標圖，將原圖中的拋物線抽象出來，教師板書。

師：將這里的拋物線抽象出來后，已知什么？未知什么？

生：已知EN=2 m，CD=4 m，NM=1 m。未知AB=？m。

師：聯(lián)系我們已有的知識，我們可以將線段長度問題轉(zhuǎn)化成什么？

生：坐標。

師：在學(xué)習(xí)用坐標表示點的位置時，我們借助了什么工具呢？

生：坐標系。

師：現(xiàn)在沒有坐標系，我們應(yīng)該怎么做呢？

生：畫一個坐標系。

師：建立坐標系后就能有點的坐標么？

生：不一定。

師：我們來看A、B兩點在哪兒？

生：拋物線上。

師：因此我們需要先求出這個拋物線的解析式，然后再求A、B兩點坐標。

師：（教師初步小結(jié)）在研究二次函數(shù)時，我們?nèi)匀皇窃谧鴺讼抵醒芯克膱D象以及解析式，因此現(xiàn)在解決問題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標系。

師：怎樣建立坐標系以求出拋物線的解析式呢？請大家在備用圖上試一試。

【設(shè)計意圖】這個設(shè)計，通過提問引導(dǎo)，幫助學(xué)生分析問題，找到解決問題的關(guān)鍵。

【賞析教法】運用問題式教學(xué)法，引發(fā)學(xué)生思考，為解決怎樣建坐標系寫出拋物線的解析式做準備。

2.學(xué)生獨立思考后，小組交流并展示

師：（教師巡視指導(dǎo)）請你在建立坐標系時思考以下幾個問題：①怎樣在原圖中建立平面直角坐標系？②建立坐標系后能找到哪些點的坐標？請標在圖中。③可以求出拋物線的解析式嗎？

師：小組交流以下內(nèi)容：①小組同學(xué)共有幾種建坐標系的方法？②所有思路都可以求出拋物線的解析式嗎？怎樣求的？

【設(shè)計意圖】這個設(shè)計，讓學(xué)生獨立思考，再小組合作，各抒己見;使學(xué)生在合作中學(xué)會傾聽，敢于發(fā)表看法。

【賞析教法】教師通過自主探究式學(xué)習(xí)法和小組討論學(xué)習(xí)法，增強課堂教學(xué)效果。這些方法對學(xué)生的學(xué)習(xí)起到推動作用。

3.學(xué)生展示講解，師生共同評判

學(xué)生在黑板上展示建立坐標系的方法。

學(xué)生代表到黑板展示求解析式的思路，教師和其余學(xué)生認真傾聽。

師：同學(xué)們請思考以下幾個問題：①以哪個點為原點建坐標系？②建坐標系后能找到哪些點的坐標？怎么得到的？③說明求拋物線解析式的思路，解析式設(shè)成什么形式？

師：大家認為這位同學(xué)的做法可行嗎？

生：可行（此時學(xué)生說在同一種坐標系下，還有其他的表達式形式）。

師：大家做得非常好，大家的方法都能解決問題。

【設(shè)計意圖】教師通過交流展示，鍛煉學(xué)生的表達能力;通過追問，加深學(xué)生對實際量與坐標的對應(yīng)關(guān)系的認識，突破難點，深化建模思想。

【賞析教法】教師通過講授法，對學(xué)生不斷地追問，以發(fā)展學(xué)生智力。

4.同學(xué)之間討論

（1）讓學(xué)生討論，在這幾個坐標系中，哪個坐標能更加簡便地解決問題？

師：在這幾種方法中，哪一種解決問題的方法更簡便呢？為什么？

生：以點N或M為原點時，點的坐標簡單;以點E為原點時，解析式的形式最簡單。

師：（小結(jié)）一般建坐標系時考慮兩個方面：①點的坐標易計算;②解析式形式簡單。這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美。

【設(shè)計意圖】這個設(shè)計，讓學(xué)生通過對比，使學(xué)生既能發(fā)散思維，又能體驗解決問題的方法的多樣性。讓學(xué)生通過比較，體會建坐標系時要考慮的問題，即如何才能簡化問題。

【賞析教法】教師通過發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)法，促進學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

（2）讓學(xué)生討論，以A點為原點建坐標系的情形。

師：如果以點A為原點建坐標系，那么可不可以呢？

有的學(xué)生說可以，有的學(xué)生說不可以。

師：（教師在黑板上畫以點A為原點的坐標系）我們是不是發(fā)現(xiàn)這樣建坐標系后，點C、D、E的坐標不好表示，也不方便求出解析式？如果這樣建立坐標系，那么就要設(shè)未知數(shù)表示坐標，再找關(guān)系代入解析式求解。這種方法比較繁瑣，但大家不妨試一試。

【設(shè)計意圖】設(shè)置問題，引發(fā)學(xué)生思考，明確建坐標系時要注意的問題。

【賞析教法】教師通過發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)法，引發(fā)學(xué)生思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

5.板書，規(guī)范書寫格式

師：（教師在黑板上板書）

設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為

y=ax2（a≠0）

∵拋物線過點D（2，-2）

∴a·22=-2

∴a=-[12]

∴這個拋物線的解析式為y=-[12]x2

當(dāng)y=-3時， -3=-[12]x2

∴x=±[6]， ∴AB=2[6]

答：當(dāng)水面下降1m時，水面寬度增加（2[6]-4）m。][注意正負]

【設(shè)計意圖】板書以規(guī)范書寫格式，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范書寫的習(xí)慣。

【賞析教法】教師通過板書，使學(xué)生逐漸養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

6.師生共同小結(jié)，教師板書標注

師：（同時呈現(xiàn)PPT）我們一起總結(jié)一下解決實際問題的一般步驟：①建坐標系，選擇適當(dāng)?shù)姆绞浇⒅苯亲鴺讼?②找點，將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標;③求解析式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;④解答，解決具體問題，知x求y，或知y求x，回答實際問題。

師：我們一定要注意點的坐標的正負。

師：實際上，我們通過建坐標系建模將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再運用二次函數(shù)的圖象、解析式等知識，去解決數(shù)學(xué)問題，然后將數(shù)學(xué)問題的解轉(zhuǎn)化成實際問題的答案。在這個過程中，體現(xiàn)了什么思想方法？

生：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。

師：還運用了建模思想。

【設(shè)計意圖】師生共同總結(jié)解題步驟、注意要點，以及數(shù)學(xué)思想，以加深印象。

【賞析教法】教師對本節(jié)課進行小結(jié)，以幫助學(xué)生加深對所學(xué)知識的認識。

（三）應(yīng)用練習(xí)

下面請同學(xué)們嘗試解決變式的問題。（用多媒體展示變式題目）

變式：今年，桂林正在進行創(chuàng)建全國文明城市活動。某公園要在地面建造一個人工噴泉，人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下。噴水口A距地面2 m，水流的最高點P到噴水槍AB所在直線的距離為1 m，且水流的著地點距水槍底部B的距離是3 m。噴出的水流距地面的最大高度是多少？

1.學(xué)生獨立審題分析，標圖，嘗試完成解題過程

生：（獨立分析）

師：（巡視指導(dǎo)）

2.展示學(xué)生解題過程，師生共同評判

[學(xué)生1]（以點B為原點）

解：建立如圖直角坐標系，

可設(shè)拋物線的解析式為

y=a（x-h）2+k（a≠0）

∵A（0，2），C（3，0）在拋物線上，

且拋物線對稱軸為x=1

∴[a（0-1）2+k=2a（3-1）2+k=0]

解得[a=-23k=83]

∴解析式為y=-[23]（x-1）2+[83]

當(dāng)x=1時，y=[83]

∴水流距水平面的最大高度是[83]m。

[學(xué)生2]（以點M為原點）

[可設(shè)拋物線的解析式為

y=ax2+k（a≠0）

y=-[23]x2+[83]

y=[83]][（2，0）][（-1，2）]

[學(xué)生3]（以點A為原點）

[可設(shè)拋物線的解析式為

y=ax2+bx（a≠0）

y=-[23]（x-1）2+[23]

y=[23]

∵地面是BC

∴PM=[83]][（3，-2）][（0，0）]

[學(xué)生4]（以點O為原點）

[可設(shè)拋物線的解析式為

y=ax2+k（a≠0）

y=-[23]x2+[23]

y=[23]

∵地面是BC

∴PM=[83]][（2，-2）][（-1，0）]

[師]（總結(jié)）注意實際量與坐標系中的點的對應(yīng)關(guān)系，建坐標系后的點的坐標放在第一象限時不容易出錯。

【設(shè)計意圖】學(xué)生通過變式練習(xí)，鞏固所學(xué)方法，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

【賞析教法】教師通過反饋訓(xùn)練教學(xué)法，可根據(jù)學(xué)生解題情況來了解學(xué)生對知識的掌握情況，以便及時解決存在的問題。

3.思考拓展

師：（多媒體呈現(xiàn)拓展）一個身高1 m的小孩如果不想被水流噴到，那么他在這個水池內(nèi)的地面上的活動范圍有多大？

師：（提示）想要不被水流噴到，說明他左右的活動范圍是怎樣的？你可以描述一下嗎？這個1 m的小孩恰好被水流噴到時，他的位置是怎樣的？

生：（小組討論得出）只需將y=1代入到解析式當(dāng)中，求x的值，即拋物線與x軸交點坐標，結(jié)果取正;這個x值在坐標系所對應(yīng)的點是他可以向右走動的極限點。因為水流完全相同，所以左右邊完全對稱，即在左邊的最遠距離與右邊的相同。

[當(dāng)x=1時，y0=[83]

∴水流距水平面的最大高度是[83]m.

當(dāng)y=1時，-[23]（x-1）2+[83]=1

∴（x-1）2=[52]

∴x=1±[102]

∴S=[π]r2=[π]（1+[102]）2

∴他活動的范圍是以B為圓心，（1+[102]）為半徑的圓形區(qū)域，

最大面積是[π]（1+[102]）2平方米。]

【設(shè)計意圖】思考題旨在開闊學(xué)生思維，供本節(jié)課學(xué)有余力的同學(xué)在課上思考。

【賞析教法】教師通過設(shè)置思考題，以開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（四）課堂總結(jié)

師：本節(jié)課你的收獲是什么？

生：運用二次函數(shù)解決實際問題。

師：解決有關(guān)二次函數(shù)的實際問題的一般步驟是什么？

生：（1）建坐標系：選擇適當(dāng)?shù)姆绞浇⒅苯亲鴺讼?（2）找點：將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標;（3）求解析式：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式;（4）解答：解決具體問題，知x求y，或知y求x，回答實際問題。

師：建坐標系時需要考慮什么問題？

生：在平面直角坐標系中坐標可以表示出來。

師：求解析式和坐標時需要注意什么就可以避免出現(xiàn)錯誤？

生：注意坐標的正負。

師：本節(jié)課運用了哪些數(shù)學(xué)思想？

生：轉(zhuǎn)化思想、建模思想、數(shù)形結(jié)合思想。

（五）作業(yè)

【基礎(chǔ)】完成學(xué)案，課本P33 A1和B5。

【提高】課時作業(yè)P20～21。

三、教學(xué)反思

本節(jié)課的授課對象是九年級的學(xué)生。此前，學(xué)生已經(jīng)掌握了求二次函數(shù)解析式的方法并理解圖象上的點和圖象的關(guān)系，而且是在學(xué)習(xí)了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函數(shù)的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的初步應(yīng)用，經(jīng)歷了多次從實際問題抽象出數(shù)學(xué)知識，再運用相關(guān)知識解決實際問題的過程的基礎(chǔ)上。他們具備了解決簡單的實際問題的基礎(chǔ)知識和基本能力。但是，由于二次函數(shù)知識的抽象性、綜合性，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)中運用二次函數(shù)的意識不強，方法不夠熟練。同時，學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的能力以及利用已有的數(shù)學(xué)知識去解決問題的能力也是比較弱，因此，教師從生活中最常見的橋梁問題入手，很好地吸引學(xué)生的注意力。

在本節(jié)課中，筆者從學(xué)生身邊的橋梁入手，引出了二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用問題。在解決問題的過程中，恰到好處地滲透了函數(shù)、方程等模型思想，讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)來源于生活，又能更好地指導(dǎo)我們建設(shè)美好生活，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。在授課過程中，教師適時利用希沃白板系統(tǒng)展示學(xué)生的解答過程;學(xué)生積極參與，互相幫助，共同進步;師生互動活動多，相處融洽，圓滿地安成了教學(xué)任務(wù)。

【作者簡介】黃德誠，男，廣西陽朔人，中學(xué)高級教師，1992年畢業(yè)于廣西師大數(shù)學(xué)系，現(xiàn)任桂林市寶賢中學(xué)教務(wù)處主任，2009年起被廣西師大、廣西民族師院、賀州學(xué)院、桂林師專等多所高校聘為“國培計劃”培訓(xùn)專家，研究方向為初中數(shù)學(xué)教學(xué)。周之琴，女，廣西靈川人，2021年畢業(yè)于北部灣大學(xué)數(shù)學(xué)系，優(yōu)秀畢業(yè)生，現(xiàn)就職于桂林市寶湖中學(xué)。

（責(zé)編 李 唐）