基于生長　初識全貌

陳元云

在邢成云老師“整體化教學(xué)”理念下，“相交線與平行線”作為初中數(shù)學(xué)“平面圖形”的第二章內(nèi)容，既可以看成“圖形與幾何”的“沿途章”，又可以看成這一系統(tǒng)的“起始章”。作為“沿途章”，它是“幾何圖形初步”的延伸，是在學(xué)生認識了點與直線的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，借助數(shù)學(xué)邏輯，引發(fā)新的認知沖突，并對新知進行探索;作為“起始章”，它與“幾何圖形初步”的學(xué)習(xí)套路、學(xué)習(xí)方法又不盡相同，而與后續(xù)的“三角形”“四邊形”等章節(jié)的學(xué)習(xí)一脈相承，是它們的認知基礎(chǔ)和思維統(tǒng)領(lǐng)，其研究問題的思路與方法更是有著“先行組織”的強大魅力，尤其是平行線的相關(guān)內(nèi)容，比如，平行線的定義、性質(zhì)、判定等就是后續(xù)圖形內(nèi)容的所有“內(nèi)涵”?；诖耍P者立足整體，對本節(jié)課進行了思考、探究。教學(xué)過程中，筆者引領(lǐng)學(xué)生展開“系統(tǒng)”思維，注重知識的前后聯(lián)系，借生活中的實際情境同化相交線與平行線的概念，借“點與直線的位置關(guān)系”順勢引出鄰補角與對頂角的概念，借已有經(jīng)驗的遷移、探究得出“三線八角”的基本模型，最終引導(dǎo)學(xué)生勾勒出本章的知識結(jié)構(gòu)圖，并得出本章的研究內(nèi)容，獲取本章的研究方法。

環(huán)節(jié)1：情境創(chuàng)設(shè)，課題引入

師：觀察下面的圖片（圖1至圖4），大家想到了什么數(shù)學(xué)知識？

生：圖形中出現(xiàn)了多組平行線、相交線。

師：縱橫交錯的公路、棋盤上的各條線、操場上的雙杠、教室內(nèi)的課桌……它們提供了相交線與平行線的“模型”。大家對相交線與平行線應(yīng)該不陌生，我們在小學(xué)曾經(jīng)學(xué)過，今天開始，我們再次研究“相交線與平行線”（板書）。

環(huán)節(jié)2：“位置”切入，感悟“模型”

師：如圖5，已知直線AB，點O是平面內(nèi)一個點，點O的位置相對于直線AB而言，有幾種位置關(guān)系？

生1：可以看成兩種位置關(guān)系—點O在直線AB上，點O在直線AB外。

生2：也可以看成三種位置關(guān)系—點O在直線AB的上方，點O在直線AB的下方，點O在直線AB上。

師：很好。這正是之前我們研究的點與直線的位置關(guān)系，點O與直線AB的位置關(guān)系可以概括為兩種—點O在直線AB上，點O在直線AB外。

師追問：如果過點O作直線OD，則直線AB，OD又可能產(chǎn)生幾種位置關(guān)系？

生：當(dāng)點O在直線AB上時，直線AB，OD相交，如圖6所示;當(dāng)點O在直線AB外時，直線OD，AB可能相交，如圖7所示;當(dāng)點O在直線AB外時，直線OD，AB可能平行，如圖8所示。

師追問：由此，大家能得出什么結(jié)論？

生：同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線有相交或平行兩種位置關(guān)系。

師追問：圖8中，過點O且與直線AB平行的只有直線OD這一條嗎？由此，你又能得出什么結(jié)論？

生：只有一條。過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

師：很好。我們把“經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”稱為“平行公理”。直線AB平行于直線OD，可以表示為AB∥OD。學(xué)習(xí)圖形我們要學(xué)會把文字語言翻譯成符號語言。

師追問：同學(xué)們想一下，在兩條相交直線與平行直線中，我們先研究哪個圖形？

生：相交線，相交線中有我們熟悉的角。兩條直線平行，彼此分離著，沒產(chǎn)生新的圖形，感覺沒有太多的“研究價值”。

師：好，那我們開始研究相交線“模型”。

環(huán)節(jié)3：形成概念，探尋內(nèi)涵

師：請大家觀察圖9，兩條直線相交，形成了四個小于平角的角，這四個角的大小取決于什么？

生：直線AB，CD的位置，如果直線AB，CD的位置確定了，這四個角的大小也就確定了。

師：要想求出四個角的度數(shù)，需要再給出什么條件？

生：四個角中給出一個角的度數(shù)，其他三個角的度數(shù)就可以確定了。

師追問：為什么？

生1：如果知道∠1的度數(shù)，根據(jù)∠1+∠2=180°，就可以求出∠2的度數(shù)，然后根據(jù)∠2+∠3=180°，就可以求出∠3的度數(shù)，最后根據(jù)∠3+∠4=180°，又可以求出∠4的度數(shù)，這樣四個角的度數(shù)就都確定了。

生2：也可以根據(jù)∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，直接求出∠2與∠4的度數(shù)，再根據(jù)∠3+∠4=180°或者∠2+∠3=180°，求出∠3的度數(shù)。

師追問：在此題中，主要運用了什么知識？

生：平角、角的和差、互補的角。

師：圖9中出現(xiàn)了幾對補角？這些互補的角，在位置上又有什么特點？請先獨立思考，再小組交流，形成共識。

生：四對補角。在∠1與∠2，∠2與∠3，∠3與∠4，∠4與∠1中，每對補角都有公共頂點，角的一條邊是公共邊，另一條邊互為反向延長線。

師：我們給像∠1與∠2，∠2與∠3，∠3與∠4，∠4與∠1這樣的每對角起個什么名字合適？

生：鄰補角，因為它們都相鄰并且互補。

師：請大家觀察四對鄰補角，∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°，根據(jù)我們學(xué)過的知識，又能得出什么結(jié)論？

生：因為 ∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°， 所以∠2=∠4?；蛘咭驗椤?+∠3=180°，∠2+∠1=180°， 所以∠1=∠3。

師：在上面的推理過程中，又用到了什么知識呢？

生：補角的性質(zhì)—等角（同角）的補角相等。

師：也就是在圖9中，我們又得出了兩對等角。請同學(xué)們認真觀察這兩對等角，它們在位置上有什么特點？

生：∠1與∠3，∠2與∠4，每對角都有公共頂點，角的兩條邊互為反向延長線。

師：給它們起個什么名字合適呢？

生：對頂角，因為它們相對并且有公共頂點。

師：在圖9中，兩條直線相交產(chǎn)生了四對鄰補角、兩對對頂角。我們從數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系的角度認識了這兩類角。

環(huán)節(jié)4：一般到特殊，循階發(fā)展

師：繼續(xù)觀察圖9，直線CD經(jīng)過直線AB上的點O，經(jīng)過點O的直線有多少條？當(dāng)直線CD繞點O旋轉(zhuǎn)時（結(jié)合幾何畫板演示），有沒有特殊情況？

生：經(jīng)過點O的直線有無數(shù)條，∠1為直角時最特殊。

師：∠1為直角時（如圖10）最特殊。此時的∠2，∠3，∠4呢？

生：根據(jù)上面剛剛學(xué)到的鄰補角或者對頂角的性質(zhì)，可以得到另外三個角都是90°，這時直線AB與直線CD互相垂直。

師：此時直線AB叫作直線CD的垂線（直線CD也叫直線AB的垂線），或者說這兩條直線互相垂直。兩條直線的交點O叫作垂足。直線AB與直線CD互相垂直，也可以用符號表示為AB⊥CD。

師：當(dāng)∠1=90°時，直線AB與直線CD互相垂直，這就是垂直的定義。當(dāng)然，如果兩條直線互相垂直，也可以得出∠1=90°。因此，垂直的定義可以用符號表示出來：

∵∠1=90°，

∴AB⊥CD。

也可以是：

∵AB⊥CD，

∴∠1=90°。

師追問：直線CD繞點O在旋轉(zhuǎn)的過程中，有幾種情況垂直？你又能得出什么結(jié)論？

生：只有一種。這說明過直線上一點，畫已知直線的垂線，只能畫出一條。

師追問：如果過直線外一點，畫已知直線的垂線呢？能畫出幾條？

生：只能畫一條。

師追問：這說明了什么？

生：不管這個點在直線上還是在直線外，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

師：我們把“在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”稱為垂線的基本事實。

師追問：“垂直”在我們的生活中常見嗎？同學(xué)們能舉出例子嗎？

生：這樣的例子太多了。比如，我們用的課本、教室內(nèi)的門窗、黑板、手里的三角板等，都存在互相垂直的線。

師：兩條線段垂直、兩條射線垂直、線段與射線垂直都是指它們所在的直線互相垂直。

師追問：大家觀察我們手里的三角板，畫出其圖形，如圖11，點A到BC的路線有幾條？能比較這些路線的長短嗎？

生：兩條，分別是AC，AB。AC

師追問：同學(xué)們還能畫出點A到BC的其他路線嗎？能畫完嗎？

生：能畫，但畫不完。

師追問：點A到BC的無數(shù)條路線中，有最短的嗎？有最長的嗎？（學(xué)生思考，教師借助幾何畫板演示）

生：有最短的路線，AC是最短的，不存在最長的路線。

師追問：如何總結(jié)這個現(xiàn)象？

生：連接直線外一點與這條直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

師：點A到BC的距離指什么？

生：AC的長度，這條垂線段的長度即為點A到BC的距離。

師：你能用得出的結(jié)論比較一下BC與AB的長短嗎？

生：由垂線段最短，可以得出BC

師：根據(jù)相交的特殊情況，我們得出了互相垂直的直線，又得出了垂線的性質(zhì)與點到直線的距離。這些知識在日常生活中的應(yīng)用是很廣泛的，同學(xué)們課下可以收集整理一下。

環(huán)節(jié)5：順勢利導(dǎo)，整體建構(gòu)

師：以上我們探討了同一平面內(nèi)兩條直線相交或平行的基本圖形，重點研究了兩條直線相交的圖形，同學(xué)們是否有新的問題要提出來？

生：如果再來一條直線呢？又會產(chǎn)生什么新的圖形？

師：很好。由兩條直線的位置關(guān)系想到了三條直線的位置關(guān)系，這種由簡單到復(fù)雜、由少到多的思考問題的方式值得肯定。那我們在剛才圖形的基礎(chǔ)上，如果再畫出直線MN，又可能產(chǎn)生哪些情況呢？請同學(xué)們先自己畫圖，然后小組交流。

生：可能會產(chǎn)生下面四種情況（如圖12、圖13、圖14、圖15）。

師：大家試想一下，我們接下來該重點研究哪些圖形呢？

生：圖12是在兩條直線相交的基礎(chǔ)上又多了一條相交直線，所以只是鄰補角、對頂角的數(shù)量發(fā)生了變化，沒有新圖形產(chǎn)生，這個沒必要再研究了。圖13、圖14除了鄰補角、對頂角的變化以外，又產(chǎn)生了新的角，有進一步研究的必要。圖15還是只有平行線，所以這個圖形暫時不用研究。

師：同學(xué)們的想法很好。在圖13、圖14、圖15中出現(xiàn)了新的數(shù)學(xué)問題，我們將一一探究。請看圖13，大家能提出什么問題？

生：兩條直線相交出現(xiàn)四個角，新圖形中出現(xiàn)了8個角，但這8個角不同類，有同一頂點的角，也有不同頂點的角，同一頂點的角已經(jīng)研究了，而不同頂點的角沒研究，所以接下來應(yīng)該研究不同頂點的角之間有沒有關(guān)系。

師：圖13可以看成直線AB與直線MN被直線CD所截，我們把角標(biāo)出來（如圖16），請同學(xué)們觀察∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8中每對角在位置上有什么共同點？∠3與∠5，∠4與∠6呢？∠3與∠6，∠4與∠5呢？你們能嘗試給它們起名字嗎？請同學(xué)們先獨立思考，然后小組交流。

生1：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8中的每對角都位于被截線的同側(cè)，截線的同旁，我們可以叫它們同位角。

生2：∠3與∠5，∠4與∠6中的每對角，它們都位于被截線的內(nèi)部，截線的兩旁，我們可以叫它們內(nèi)錯角。

生3：∠3與∠6，∠4與∠5中的每對角，它們都位于被截線的內(nèi)部，截線的同旁，我們可以叫它們同旁內(nèi)角。

師：在圖14中呢？會不會也產(chǎn)生這些位置關(guān)系的角呢？

生：會，與圖13相同。

師：在圖13中，AB∥MN，圖形中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角會形成新的數(shù)量關(guān)系，這將是本章要學(xué)習(xí)的平行線的性質(zhì)。反過來，當(dāng)這些角滿足什么條件能使得AB∥MN，將是本章要學(xué)習(xí)的平行線的判定。它們相互依托，共同構(gòu)筑成本章的核心。

師：請同學(xué)們再看一下圖15，憑直覺猜測一下，如果AB∥CD，MN∥CD，那么AB與MN是什么位置關(guān)系？

生：平行。

師：對的，這個結(jié)論即為平行公理的推論，等我們進一步推斷認定后可以直接用。今天我們研究的圖9、圖13就是“相交線與平行線”一章中最基本的圖形。此外，在本章中，我們還會借助平行的知識學(xué)習(xí)一類圖形變換—“平移”。這樣，“相交線與平行線”一章的面貌就初步顯示了。請同學(xué)們結(jié)合剛才所學(xué)，自己梳理一下本章的知識結(jié)構(gòu)。

環(huán)節(jié)6：小結(jié)提煉，勾勒結(jié)構(gòu)

教師引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)的過程、思考問題的角度、數(shù)學(xué)思想方法三個方面進行梳理。結(jié)合教學(xué)推進中形成的板書，完善并勾勒出結(jié)構(gòu)圖（如圖17）。

（作者單位：山東省惠民縣辛店鎮(zhèn)中學(xué)）

責(zé)任編輯：趙繼瑩

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