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    Stampacchia引理、推廣及應(yīng)用

    2021-10-22 12:43:22高紅亞高斯宇
    關(guān)鍵詞:聯(lián)合式橢圓型正則

    高紅亞, 高斯宇

    (1.河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北省機器學(xué)習(xí)與計算智能重點實驗室,河北 保定 071002;2.北德克薩斯大學(xué) 數(shù)學(xué)系,德克薩斯州 丹頓 76203)

    1 Stampacchia引理

    1.1 經(jīng)典的Stampacchia引理

    Stampacchia引理,又稱De Giorgi-Stampacchia引理,是De Girogi和Stampacchia在研究偏微分方程解的正則性時引入的,目前已經(jīng)成為現(xiàn)代偏微分方程正則性理論中的1個重要的工具.這個引理第1次出現(xiàn)在文獻[1]中,但形式不完整.第1個完整的形式出現(xiàn)在文獻[2]中.

    Stampacchia引理[2]設(shè)c1,α,β為正常數(shù),k0為實數(shù).設(shè)函數(shù)φ:[k0,+∞)→[0,+∞),非增,且對任意的h>k≥k0有

    (1)

    Ⅰ) 若β>1,則φ(k0+d)=0,其中常數(shù)d滿足

    (2)

    Ⅱ) 若β=1,則任意k≥k0有

    (3)

    Ⅲ) 若β<1且k0>0,則任意k≥k0有

    (4)

    Stampacchia引理在橢圓型偏微分方程的正則性理論以及變分問題中有廣泛的應(yīng)用.舉一個簡單的例子,見文獻[3],考慮散度型橢圓方程的邊值問題

    (5)

    其中Ω?RN,N>2,

    (6)

    M(x):Ω→RN×N為滿足下面條件的矩陣:存在0<α≤β<∞,使得

    〈M(x)ξ,ξ〉≥α|ξ|2,|M(x)|≤β,a.e.Ω.

    (7)

    Gk(u)=u-Tk(u)=u-min{1,k/|u|}u.

    作為式(5)中的實驗函數(shù),并利用式(7)得

    利用H?lder不等式和Sobolev嵌入不等式,有?h>k≥0,

    其中

    Ak={x∈Ω:|u(x)|>k}

    為u的超水平集,|Ak|為Ak的Lebesgue測度,cg為與g(x)有關(guān)的常數(shù).于是式(1)對

    成立.利用Stampacchia引理得到

    上述例子說明了如何應(yīng)用Stampacchia引理推導(dǎo)出正則性結(jié)果.與Stampacchia引理相關(guān)的結(jié)果,參見文獻[4-16].

    1.2 2個條件的比較

    式(1)中取h=2k,變成

    (8)

    需要說明的是,一些問題的推導(dǎo)直接得出式(8),例如文獻[14]中,Kovalevsky, Voitovich給出了下面的結(jié)果:

    命題1設(shè)c3,α,β,k0為正常數(shù),函數(shù)φ∶[k0,+∞)→[0,+∞)非增,且對任意的k≥k0,有

    則對任意k≥k0有

    形式上看,式(8)比式(1)要弱.但對β的不同取值情況不一樣.在文獻[11],比較了式(8)和式(1),得到:

    命題2Ⅰ)當0<β<1時,式(1)和式(8)等價;

    Ⅱ)當β=1時,式(1)比式(8)強,且函數(shù)φ(k)=e(ln k)2,k∈[1,+∞]滿足β=1,α=2ln 2,c3=2-ln 2時的式(8),但對任意常數(shù)α>0,c1>0不滿足式(1);

    Ⅲ) 當β>1時,式(1)比式(8)強,且函數(shù)φ(k)=e-kp,p=log2(2β),k∈[1,+∞),滿足β>1,c3=1,任意α>0和對某k0=k0(α,β)≥1的式(8),但對任意β>1,α>0,c1>0,不滿足式(1).

    2 經(jīng)典Stampacchia引理的推廣

    雖然經(jīng)典的Stampacchia引理應(yīng)用廣泛,但在一些更廣泛問題的研究中卻不再適用,因此有推廣的必要.

    文獻[14]中,Kovalevskii和Voitovich在研究四階方程時,給出了Stampacchia引理的幾個推廣,見文獻[14]中的引理2-4.文獻[17]中,給出了稍微不同的結(jié)果,且證明更初等.下面的引理來自文獻[17].

    命題3設(shè)c4、α、β、k0為正常數(shù),0≤θ<1.設(shè)φ:[k0,+∞)→[0,∞)非增,且對任意h>k≥k0滿足

    (9)

    Ⅰ)若0<β<1,則任意k≥k0,有

    Ⅱ)若β=1,則對任意k≥k0,有

    Ⅲ)若β>1,則存在k*>0使得φ(k*)=0.

    在研究方程組時,會遇到下面的條件,即式(1)變成對任意h>k≥k0,

    (10)

    其中,N>1為方程組中方程的個數(shù).文獻[18]的引理1.2將Stampacchia引理進行了以下推廣:

    命題4設(shè)c5,α,β,k0為正常數(shù),N>1.設(shè)φ:[k0,+∞)→[0,+∞)非增,且對任意h>k≥k0滿足式(10).

    Ⅰ)若0<β<1,則任意k≥k0,有

    其中

    其中

    3 1個應(yīng)用

    為了說明推廣的Stampacchia引理的應(yīng)用,本文給出一個例子.考慮如下的退縮橢圓型偏微分方程的邊值問題

    (11)

    其中,Ω?RN(N>2)為有界區(qū)域,函數(shù)a(x,s)∶Ω×R→R為滿足下列條件的Carathéodory函數(shù):存在0<α≤β<+∞和0≤θ<1使得

    (12)

    f(x)∈Lm(Ω),(2*)′≤m<∞.

    (13)

    Boccardo等在文獻[5]的第14章對問題(11)進行了研究也見文獻[19],得到如下結(jié)果:

    Tk(u)=max{-k,min{k,u}}

    為函數(shù)u在k>0水平上的截斷.取

    φ=Gk(u)=u-Tk(u)

    為式(13)中的實驗函數(shù),并注意到在集合{x∈Ω:|u(x)|≤k}上φ=0,得到

    (14)

    其中

    Ak={x∈Ω:|u(x)|>k}.

    由此推出

    (15)

    (16)

    估計上式兩端.式(16)左端由Sobolev嵌入定理

    可得

    (17)

    式(16)右端第3項由

    (a+b)p≤2p(ap+bp),a,b>0,p>0,

    推出當k≥1時,

    (18)

    聯(lián)合式(16)、式(17)、式(18)得到,當k≥1時,

    (19)

    (20)

    (21)

    聯(lián)合式(20)、式(21)得到

    由此得

    其中τ為與N、θ、α、‖f‖LN/2(Ω)有關(guān)的常數(shù),如命題3的Ⅱ)所示,而2λ=τθ-1,c12=|Ω|e1+2λ.由上式有

    |{eλ|u|1-θ>eλk1-θ}|=|{|u|>k}|≤c12e-2λk1-θ.

    利用文獻[5]中引理3.11,即f∈Lr(Ω)(r≥1)的充要條件是

    所以eλ|u|1-θ∈L1(Ω).證畢.

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