撥開迷霧看本質(zhì)

詹嘉玲

【摘要】導數(shù)的綜合運用是歷年來高考數(shù)學卷中的難點題目，而通過導數(shù)方法解決函數(shù)的單調(diào)性問題為其重要考點之一，尤其是含參單調(diào)性的討論更是高考的熱點問題。本文主要通過分析、總結(jié)近幾年高考真題，對高中數(shù)學教學中如何開展“含參單調(diào)性的討論”的教學策略進行研究，并提出按照“趨勢→根→端點”的知識脈絡(luò)，形成一個有章可循、化難為簡、操作性強的解題思路。

【關(guān)鍵詞】含參單調(diào)性;解題思路

改革后的新高考提出，要“重思維、重應(yīng)用”，要“以生考熟”，用陌生的問題考查熟悉的知識。而在學生眼中，數(shù)學的導數(shù)題考查的內(nèi)容就非常陌生——盡是自己不熟悉的函數(shù)，這部分內(nèi)容靈活多變，內(nèi)容龐雜，邏輯思維要求高，甚至連答案都看不懂、想不到，所以一說到導數(shù)題，他們都是望而卻步，避之如蛇蝎。

作為一名一線數(shù)學教育工作者，我非常想突破這樣的瓶頸。題目再靈活，也有不變的東西，那就是必備知識和關(guān)鍵能力。事實上，導數(shù)壓軸題中涉及的概念公式等往往比較少，每一個考生基本都能理解掌握，真正讓各位考生覺得難以下筆的，其實是導數(shù)壓軸題中復(fù)雜的式子處理技巧。高考導數(shù)題中，經(jīng)?？疾椤坝懻摵瘮?shù)的單調(diào)性”，其實就是考查學生能否利用導數(shù)這一工具，剝開函數(shù)復(fù)雜的外衣，找出它與已學的基本初等函數(shù)之間的聯(lián)系，并運用所學知識去分析、認識這個函數(shù)。而幾乎所有的導數(shù)壓軸題目都是有參數(shù)的，有參數(shù)就會導致不確定性，必然就會導致正常的思考受阻。

然而，在筆者接觸的學生中，即便完成了“求定義域”“求導”兩個基本步驟，也難以找到正確的方向?qū)瘮?shù)進行進一步研究。究其原因，要么沒能看出導函數(shù)與基本初等函數(shù)的聯(lián)系，要么學了很多的分析方法步驟，卻不知從哪個方向先下手。

那么，如果能分析、總結(jié)出一套討論含參單調(diào)性的簡單易上手的“套路”，則可以幫助學生形成良好的思維模式;也可以培養(yǎng)他們綜合解題能力，使他們在研究函數(shù)單調(diào)性時能夠有的放矢。本文通過研究近幾年高考的導數(shù)題，談?wù)劇昂瑓握{(diào)性的討論”的典型套路。

在對需要討論單調(diào)性的函數(shù)進行簡單的分析定義域和求導后，最關(guān)鍵的是“繪制出導函數(shù)的圖像”，這是我們建立分析體系的立足點。此時，我們可以對函數(shù)作如下分析：

一、討論函數(shù)的“趨勢”

高考導數(shù)題的導函數(shù)，都是立足于已學的基本初等函數(shù)，而對含有參數(shù)的二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的考察尤為常見。學生在課堂上已經(jīng)學習過如何對這些函數(shù)及其相關(guān)變形進行初步的認識，其中，研究導函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)該是第一步，學生可從導函數(shù)的最高次系數(shù)下手，如二次函數(shù)最高次系數(shù)會影響其開口方向，指數(shù)函數(shù)前的系數(shù)的正負會影響其單調(diào)性等等：

【2017年新課標Ⅰ卷，理21】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性;

解：（1）的定義域為，，

（?。┤?，則，所以在單調(diào)遞減。

（ⅱ）若，則由得。

當時，;當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

評析：通過求導，將看作，同時將看成自變量（經(jīng)常采用換元法：令），便可發(fā)現(xiàn)導函數(shù)是一個最高次系數(shù)不確定的仿二次函數(shù)（若不為0）。

由于最高次系數(shù)的不確定性，對其進行分類討論，在學生對方法還不夠熟悉的情況下，可以引導他們將其簡單分為：①系數(shù)=0;②系數(shù)<0;③系數(shù)>0三類，最后再將相似的情況加以合并即可。

二、討論的“根”

確定好導函數(shù)的“趨勢”之后，如何進一步繪制出導函數(shù)的圖像呢？這時我們應(yīng)當考慮這個函數(shù)的圖像與軸是否有交點，有幾個交點，這些交點之間的擺放次序應(yīng)當是怎樣的。于是又有了以下討論：

1.根是否存在（是否能因式分解）

【2017課標1，文21】已知函

（1）討論的單調(diào)性;

解：（1）函數(shù)的定義域為，，

①若，則由得。

當時，;當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

②若，則由得。

當時，;當時，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

③若，則，在單調(diào)遞增。

評析：求導后，開始套用解題模板：

趨勢：依然可以將將看作，那么導函數(shù)可以看作一個開口向上的二次函數(shù);

根：為了進一步繪制出導函數(shù)圖像，學生可以通過令求出它的兩個根，分別是和，但這種寫法就會引發(fā)思考：根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0的原理，我們知道

①存在的前提是，此時不存在，即“”這一部分為正，不影響對導函數(shù)正負的判斷，學生只需繪制的圖像，即可通過分析導函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性;

②存在的前提是，分析方法同（1）;

③當時，這兩個根都不存在，此時，這個“二次函數(shù)”與軸不存在交點，根據(jù)開口方向，可得。

這樣，通過根的真數(shù)形式，觸發(fā)學生對導函數(shù)的“根是否存在”的思考，可以清晰明確地確定分類討論的標準，減輕學生對此類題目的恐懼感。

2.兩根大小

如果確定了導函數(shù)與軸的交點都是存在的，那么是不是就可以直接繪制導函數(shù)圖像了呢？讓我們來看看下面這道高考題：

【2016課標1，21】已知函

（1）討論的單調(diào)性;

解： （I）

（i）設(shè)，則當時，;當時，。

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

（ii）設(shè)，由得x=1或x=ln（-2a）。

①若，則，所以在單調(diào)遞增。

②若，則ln（-2a）<1，時，;

當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

③若，則，故當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。

評析：這一題乍看之下比較復(fù)雜，分類情況達到4種，讓我們來研究下它的本質(zhì)：

（1）趨勢：求導后向?qū)W生強調(diào)要提取公因式，得到，這樣方便后續(xù)的分析和處理。這個函數(shù)式子結(jié)構(gòu)非常特殊，并不是學生學過的基本初等函數(shù)，但仿照前面我們可以先研究它的“趨勢”：我們發(fā)現(xiàn)這一部分的圖像事實上是通過函數(shù)的圖像上下平移得到，二者圖像“趨勢”相同，都是在上單調(diào)遞增，而這個“趨勢”跟的趨勢也是相似的。也就是說，可以近似的看成開口向上的二次函數(shù)，“趨勢”是確定的，不需要討論。

（2）根：考慮完“趨勢”后，就要看看這個函數(shù)的圖像與軸的交點問題。通過令求出它的兩個根，分別是或，經(jīng)過前面的學習可以知道，存在的前提是，也就產(chǎn)生了對“根是否存在”的分類討論：

（i）由前面可知，當，“”恒正，不影響導函數(shù)的正負，只需繪制出的圖像，即可得原函數(shù)的單調(diào)性;

（ii）當時，兩根和都有意義，那么是否可以直接繪制導函數(shù)的圖像了呢？答案是否定的。由于兩根的大小并不確定，畫圖時就帶來了圖像與x軸的交點如何放置的問題，于是又引發(fā)了新的討論：

①當，即時，導函數(shù)圖像與x軸只有一個交點，此時;

②當，即時，導函數(shù)圖像與x軸有2個交點，且大小確定，可以分析繪制出導函數(shù)圖像;

③當，即時，分析方法與②類似。

盡管題目看起來相對復(fù)雜，但通過強化“趨勢→交點”的思路來分析、繪制導函數(shù)的圖像，層層剖析，化繁為簡，最終簡潔高效地解決問題。

三、討論函數(shù)（定義域的）“端點”

在前面的分析中，我們討論的都是定義域為的函數(shù)的單調(diào)性，但高中階段學生還學習了指、對、冪、三角函數(shù)，其中，對數(shù)函數(shù)更是命題者的“寵兒”。對于含對數(shù)的函數(shù)的討論，關(guān)鍵就是要注意其定義域的限制，那么，在研究單調(diào)性方面又有什么方法技巧呢？讓我們一起來看下面這道題：

【2018年新課標Ⅰ卷，21】已知函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性;

解：（1）的定義域為，。

（i）若，則，所以在單調(diào)遞減。

（ii）若，令得，或。

當

∈（，）∪（，+）時，;

當時，。

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。

評析：此題看似較為常規(guī)，導函數(shù)是學生非常熟悉的二次函數(shù)，但答案看起來無從下手，為何一上來就分析≤？別急，按照前面“趨勢→根”的套路來分析：

（1）趨勢：開口向下，無需討論;

（2）根：導函數(shù)無法進行因式分解，故通過求根公式求的根，而求根公式就需先討論判別式的符號問題，即“根是否存在”：

（i）當，即，導函數(shù)圖像與軸沒有交點或僅一個交點，則;

（ii）當，即，此時有兩個不同的根，分別為，，且，大小無需討論，導函數(shù)圖像基本確定。

那么，這是否意味著討論結(jié)束呢？并不然。通過觀察可知，函數(shù)的定義域為，而導函數(shù)兩個根與定義域端點0的大小關(guān)系還未確定，于是又引入了對“端點”的討論：

（3）端點：由于根的形式比較復(fù)雜，這里利用根與系數(shù)的關(guān)系對兩根與0的大小關(guān)系進行判斷更為方便，由于，可得同號，所以：

①當，均為負，此時，所以在單調(diào)遞減;

②當，均為正，此時

當時，;

當時，。

看似簡單的二次函數(shù)，后面隱藏著并不簡單的討論過程，但按照“趨勢→根→端點”的解題套路，可以一步步撥開導函數(shù)復(fù)雜的外衣，準確高效地找到思路，不重不漏地進行分析討論。因此，學生需要在平時做題時注重積累和強化思想方法，厘清討論函數(shù)單調(diào)性的基本順序和過程，這樣才能舉一反三，融會貫通，真正做到會一題，通一類。

由于導數(shù)內(nèi)容的龐雜性，在教學過程中，應(yīng)幫助學生將零散的知識系統(tǒng)化，形成良好的知識結(jié)構(gòu)：引導學生理清知識發(fā)生的過程，幫助他們理解問題的一般規(guī)律，滲透分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，掌握解決問題的通性通法。一般在教學的初始階段筆者會通過思維導圖的方式幫助學生快速地理清解題的思路：

不管導函數(shù)的形式有多么復(fù)雜多變，只要通過這樣“趨勢→根→端點”的簡單的思維過程，就能對導函數(shù)從本質(zhì)上進行整合，這樣的解題套路思路清晰，操作性強，讓含參單調(diào)性的討論變得有章可循，有助于學生快速找準解題思路，提高教學復(fù)習的效率。

但在教學的中后期，應(yīng)將學習活動的“C位”交還給學生，讓他們掌握自己學習的主動權(quán)，通過自己梳理知識，不斷地發(fā)現(xiàn)和解決問題。比如鼓勵學生通過學習積累，對思維導圖進行進一步的細化和完善，進而促使更加靈活自如地對思維和方法進行遷移，促進學科素養(yǎng)的達成。

總而言之，含參單調(diào)性的討論是對數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等思想方法的綜合考查，是對基于學科素養(yǎng)導向下的關(guān)鍵能力和必備知識的考查，盡管題目靈活多變，但只要學生抓準“趨勢→根→端點”的總體知識脈絡(luò)，扎實掌握基礎(chǔ)知識，同時觸類旁通，融會貫通，以不變應(yīng)萬變，便能撥開迷霧，窺探本質(zhì)，覓得真知！

參考文獻：

[1]教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019：32-35.