高三二輪“微專題”復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)與思考
——以“數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題”的教學(xué)為例

周星月 (江蘇省南京市中華中學(xué) 210019)

二輪復(fù)習(xí)是整個(gè)高三復(fù)習(xí)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，相對(duì)于一輪復(fù)習(xí)的重基礎(chǔ)、講知識(shí)、建體系而言，二輪復(fù)習(xí)的關(guān)鍵在于知識(shí)點(diǎn)再次深入、重難點(diǎn)尋求突破、思想方法交融升華.微專題因具實(shí)效性、針對(duì)性、靈活性、細(xì)致性、深刻性的特點(diǎn)，近年來正成為大家廣泛認(rèn)同的二輪復(fù)習(xí)模式.微專題的質(zhì)量直接影響二輪復(fù)習(xí)的效果，因而微專題如何選擇、微專題教學(xué)如何實(shí)施自然成為了高三教師關(guān)注的話題.本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)際，以“數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者對(duì)微專題復(fù)習(xí)課的思考.

1 微專題與微專題的設(shè)置

1.1 微專題

微專題通常立足于學(xué)情、教情、考情，是圍繞復(fù)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)和關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)、利用若干緊密相關(guān)的知識(shí)或思想方法形成的專項(xiàng)研究，或是結(jié)合學(xué)生的疑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)整合的、能夠在短時(shí)間內(nèi)解決的問題集.

1.2 二輪復(fù)習(xí)微專題的內(nèi)容設(shè)計(jì)

二輪復(fù)習(xí)要求做到：夯實(shí)基礎(chǔ)，查漏補(bǔ)缺；抓住主干，突出重、難點(diǎn)；提升能力，關(guān)注熱點(diǎn).為此，筆者認(rèn)為可以從以下幾方面入手，選取適合學(xué)生二輪復(fù)習(xí)的微專題.

(1)基于考點(diǎn)選取的微專題：圍繞教材的主干內(nèi)容以及高考的熱點(diǎn)、重點(diǎn)知識(shí)，打破書本章節(jié)原有的知識(shí)體系設(shè)置微專題，就考試重點(diǎn)細(xì)化重組，提升針對(duì)性.具體而言：圍繞考綱中的8個(gè)C級(jí)考點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)，如直線與圓、基本不等式的深度研究；圍繞近幾年高考中出現(xiàn)的熱點(diǎn)問題進(jìn)行設(shè)計(jì)，如復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題等.

(2)挖掘生長(zhǎng)點(diǎn)的微專題：關(guān)注知識(shí)的整合和聯(lián)系，探尋其本源，挖掘生長(zhǎng)點(diǎn)，尤其是能主動(dòng)地與別的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)接，揭示所學(xué)知識(shí)的背景.例如，2016年南京市一模第20題，學(xué)生解答得并不理想，其實(shí)這道題的“生長(zhǎng)點(diǎn)”就是倒敘相加思想，在教材的向量部分就已經(jīng)滲透，在學(xué)習(xí)“等差數(shù)列求和”和“二項(xiàng)式定理”時(shí)得到鞏固.教師可由這樣的“點(diǎn)”入手設(shè)計(jì)微專題，串點(diǎn)成線，將教材知識(shí)點(diǎn)不斷外延.

(3)解決易錯(cuò)點(diǎn)的微專題：“常做，常講，常錯(cuò)”的重、難點(diǎn)知識(shí)，究其原因，是學(xué)生沒有真正理解.教師可以以這些錯(cuò)誤為基礎(chǔ)，挖掘錯(cuò)誤背后的知識(shí)漏洞和思維缺陷，精設(shè)微專題.例如，換元法的靈活運(yùn)用一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，可設(shè)計(jì)微專題將教材中涉及換元法的內(nèi)容串聯(lián)起來，集中講練.

(4)關(guān)注突破點(diǎn)的微專題：高考不僅考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查也十分重視，因而可以設(shè)置解題方法、解題思想類的微專題，關(guān)注解決一類問題的突破點(diǎn).例如，“數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題”是數(shù)列存在性問題的一種常見類型，是多年考試的熱點(diǎn)，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力、代數(shù)推理能力要求較高，常讓學(xué)生感到無從下手.筆者針對(duì)解決不定方程整數(shù)解問題的方法、思想設(shè)置微專題，通過不同側(cè)面的模型構(gòu)建，讓學(xué)生掌握數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題的常用處理策略，提升學(xué)生分析、轉(zhuǎn)化、解決問題的能力.

2 微專題的實(shí)施過程設(shè)計(jì)——以微專題“數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題”為例

2.1 基礎(chǔ)鋪墊，梳理基本方法

問題1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n，是否存在正整數(shù)p，q，r(p

生1：假設(shè)存在p，q，r(p

教師用“希沃教學(xué)助手”展示采集的學(xué)生解答過程，規(guī)范書寫格式.

師：一般地，不定方程正整數(shù)解無解的情況如何處理？

生4：考慮等式兩邊的“范圍”是否一致，如：從奇數(shù)與偶數(shù)、整數(shù)與分?jǐn)?shù)、正數(shù)與負(fù)數(shù)角度得到矛盾，進(jìn)而判斷方程無解.

評(píng)析問題1是一個(gè)既典型又不復(fù)雜的不定方程整數(shù)解問題，留足時(shí)間讓學(xué)生自己思考、講解思路，一題多解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教師通過展示學(xué)生的解答點(diǎn)撥方法、糾正錯(cuò)誤、規(guī)范格式，對(duì)不定方程正整數(shù)解無解類型的問題進(jìn)行方法梳理，引導(dǎo)學(xué)生將知識(shí)條理化、網(wǎng)格化.課堂教學(xué)中，能讓學(xué)生表達(dá)的盡量讓學(xué)生表達(dá)，能讓學(xué)生思考的教師就不要代替，只有經(jīng)過學(xué)生思考所得的，才能轉(zhuǎn)化為其內(nèi)在的能力.

2.2 逐步深化，強(qiáng)化方法意識(shí)

問題2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1，求正整數(shù)m，k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=65．

生5：求和公式代入整理得am+am+1+am+2+…+am+k=(k+1)(2m+k-1)=65(*)．

師：非常好！明確不定方程.下面如何處理？

師：很好！生5觀察方程結(jié)構(gòu)形式，化歸為整除性質(zhì)中的約數(shù)討論.還有沒有其他做法？

生6：由(*)式因式分解，直接討論k+2m-1，k+1為65的約數(shù).

師：能否不討論？

師：生6利用因式分解的方法，結(jié)合變量范圍控制，簡(jiǎn)化了討論，非常好.

生7.

評(píng)析例題精講是微專題的核心部分，也是學(xué)生思維提升的主要環(huán)節(jié).問題2、3均是可從多角度認(rèn)識(shí)和解決的例題，具有一定的思維含量，有深入探究的價(jià)值.一題多解，讓學(xué)生參與討論、總結(jié)規(guī)律、歸納方法、感悟技巧，師生共同總結(jié)出可以通過整除性(約數(shù))、因式分解、范圍控制等方法處理不定方程正整數(shù)解存在類的問題.

師：數(shù)列比較抽象時(shí)，如何具體化？

師：有什么發(fā)現(xiàn)？

師：如何證明單調(diào)性？

師：如何求q呢？

師：太棒了，生9從特殊到一般，發(fā)現(xiàn)單調(diào)性，從而控制變量范圍.

評(píng)析問題4對(duì)學(xué)生思維要求較高，筆者設(shè)計(jì)了一連串從易到難的“問題鏈”，逐步啟發(fā)滲透特殊到一般的思想，讓學(xué)生探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)單調(diào)性，強(qiáng)化控制范圍的方法.把學(xué)生引入“思考者”的角色，讓他們經(jīng)過思考獲得結(jié)果，暴露學(xué)生思維過程、研究過程.學(xué)生在層層的問題設(shè)置中有一定的自我修正能力，這對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)提高是非常有效的.

2.3 歸納小結(jié)，形成解題框架

師：通過今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

生10：我了解到對(duì)于數(shù)列與不定方程整數(shù)解問題，針對(duì)是否存在解，可作如下處理：

評(píng)析總結(jié)、升華，讓學(xué)生在一節(jié)微專題課后能夠收獲一些思想性、規(guī)律性的知識(shí)，形成良好的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這樣學(xué)生再遇問題時(shí)才能順利地逢山開路、遇水搭橋.在微專題的教學(xué)過程中，筆者建議用學(xué)生歸納的方式來進(jìn)行課堂小結(jié)，教師引領(lǐng)學(xué)生回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)、研究過程，明確所研究的內(nèi)容、方法.積極發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使學(xué)生在“學(xué)會(huì)”的基礎(chǔ)上，逐步做到“會(huì)學(xué)”.

2.4 真題訓(xùn)練，鞏固教學(xué)效果

評(píng)析暢銷書《異類》提出“練習(xí)一萬(wàn)小時(shí)成天才”的口號(hào)，已在各個(gè)行業(yè)被廣泛證實(shí).“刻意訓(xùn)練”同樣適用于數(shù)學(xué)教學(xué)：例題講解應(yīng)充分啟發(fā)思維，給學(xué)生以好的思維導(dǎo)向，但一旦形成這樣的思維，又應(yīng)通過及時(shí)的練習(xí)來鞏固和應(yīng)用，完成“知識(shí)的遷移”.筆者精選最近幾年的?？碱}、高考題，有效整合，提煉出與本專題密切相關(guān)的問題，作為鞏固練習(xí).

3 基于核心素養(yǎng)的二輪復(fù)習(xí)微專題教學(xué)思考

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：高中教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).核心素養(yǎng)的提升是日積月累的結(jié)果，基于核心素養(yǎng)的二輪復(fù)習(xí)微專題教學(xué)應(yīng)整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施，要為形成和發(fā)展核心素養(yǎng)提供助力.

3.1 微專題的教學(xué)應(yīng)發(fā)揮學(xué)生在復(fù)習(xí)中的主體地位

教師在設(shè)計(jì)和組織二輪復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)落實(shí)“以學(xué)生為本”的教育理念，突出學(xué)生的主體作用，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力.

(1)因?qū)W施教：每個(gè)學(xué)校甚至每個(gè)班級(jí)的學(xué)生不同，復(fù)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)也不盡相同，微專題的選擇要具有針對(duì)性，起點(diǎn)適度，內(nèi)容適量.面對(duì)學(xué)生普遍感覺較難的一類數(shù)列存在性問題，課例只選擇涉及不定方程整數(shù)解問題基本方法、思想的四個(gè)問題，由淺入深、由易到難，幫助學(xué)生樹立解題信心，實(shí)現(xiàn)步步登高；用希沃教學(xué)助手展示學(xué)生解答，有針對(duì)性地進(jìn)行講解.

(2)注重學(xué)生(思維)活動(dòng)參與：二輪復(fù)習(xí)不能因?yàn)檎n時(shí)緊、趕進(jìn)度，而忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，應(yīng)該讓學(xué)生在經(jīng)歷分析、探究與解決問題的過程中學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué).微專題的設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注讓學(xué)生親身經(jīng)歷什么活動(dòng)、解決什么問題、對(duì)問題進(jìn)行哪些思考與探索.課例采用先解答再講評(píng)的策略，注重學(xué)生思維的暴露與分析，給學(xué)生留足思維空間和表達(dá)時(shí)間，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行求不定方程整數(shù)解方法的比較、辨析與歸納，從學(xué)生的角度去進(jìn)行真正的查漏補(bǔ)缺.

3.2 微專題的教學(xué)應(yīng)以“問題串”驅(qū)動(dòng)

問題串是圍繞一個(gè)核心知識(shí)內(nèi)容或主題按一定的邏輯結(jié)構(gòu)設(shè)置的一組問題.設(shè)置問題串是編制微專題的有效策略，它能把學(xué)生認(rèn)知、思維、情感有機(jī)地統(tǒng)一在課堂互動(dòng)中，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)提高自身的思維能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).具體而言：

(1)貫通思維活動(dòng).精心編制的問題串、多梯度的問題預(yù)設(shè)、多角度的問題引導(dǎo)，把微專題中看似零散的概念、方法有機(jī)地滲透在問題探究的全過程，依托問題串輻射出學(xué)生豐富的、深層的思維活動(dòng)，也自然地衍生出完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).微專題建構(gòu)可用以下結(jié)構(gòu)模式的問題串：

結(jié)構(gòu)內(nèi)涵與特點(diǎn)優(yōu)勢(shì)及適用舉例遞進(jìn)式問題難度不同,一般由易到難,層層遞進(jìn)分解難度,促進(jìn)思維向深度、廣度發(fā)展(如本課例)并列式問題沒有主次之分,是相互并列的邏輯關(guān)系多角度認(rèn)識(shí)同一概念、方法,便于對(duì)比延展式問題在邏輯上存在總分關(guān)系,在解決一個(gè)中心問題時(shí)進(jìn)行一系列的問題的拓展延伸網(wǎng)絡(luò)化、系統(tǒng)化知識(shí)梳理,如一題多解問題總結(jié)式從不同的既相關(guān)又獨(dú)立的幾個(gè)問題分別研究,分析差異,歸納類比,找出共性問題較抽象或涉及范圍較大時(shí),便于概括本質(zhì)特征,如多題一解問題

(2)滲透思想方法.全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，高考考綱要求數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法的考查并重.微專題的教學(xué)過程中，教師應(yīng)讓思維呈立體狀、多維度、由點(diǎn)到面，通過“問題串”的拓展，使數(shù)學(xué)思維能力得到更深度的訓(xùn)練和提高.如課例中筆者以問題串引導(dǎo)學(xué)生觀察方程結(jié)構(gòu)特征，將化歸與轉(zhuǎn)化的思想落到實(shí)處.

(3)激發(fā)思考興趣.利用富有思考性和挑戰(zhàn)性的問題串，讓學(xué)生獨(dú)立自主地發(fā)現(xiàn)、解決問題，可以激發(fā)學(xué)生探究的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力.教師基于微專題的邏輯順序提一些開放式的問題，利用變式教學(xué)、一題多解、多題一法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思考，喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，產(chǎn)生主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)動(dòng)力，保持其參與活動(dòng)的興趣和熱情.

(4)啟迪思路方向.針對(duì)教學(xué)中的重、難點(diǎn)問題，教師應(yīng)預(yù)設(shè)問題串啟發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)學(xué)會(huì)如何思考問題，“授之以漁”，如課例中教師處理問題4時(shí)的引導(dǎo)過程.