立足于數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)基本結(jié)構(gòu)*
——以“等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例

孫冬梅 (上海市進(jìn)才中學(xué) 200135)

隨著2017年版(2020年修訂)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的頒布，課堂教學(xué)價值追求開始由單純的知識傳授向素養(yǎng)整體培育轉(zhuǎn)型，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向、以知識構(gòu)建為基本特征的課堂教學(xué)成為主流．對于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)邏輯中的最基本單元，是核心素養(yǎng)培育的起點(diǎn)，而數(shù)學(xué)核心概念更是數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)的核心和基礎(chǔ)．因此，本文基于數(shù)學(xué)核心概念開展數(shù)學(xué)教學(xué)研究，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育為目標(biāo)，探尋概念教學(xué)基本結(jié)構(gòu)；以“等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例，進(jìn)行具體教學(xué)實踐．

1 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的目標(biāo)定位

以核心素養(yǎng)為培養(yǎng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)，追求的是學(xué)生能建構(gòu)概念、理解概念和發(fā)展概念.

(1)概念建構(gòu)有坡度：即指通過數(shù)學(xué)核心概念的獲得，學(xué)生不僅能夠知道概念的表述，更能經(jīng)歷形象感知、建立表象、數(shù)學(xué)抽象等概念建構(gòu)的過程，在概念建構(gòu)中感知數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生過程，夯實數(shù)學(xué)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)．

(2)概念理解有深度：即指通過數(shù)學(xué)核心概念的多層次理解，學(xué)生不僅能夠認(rèn)識知識的表象，更能深刻領(lǐng)會知識的本質(zhì)及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，在形成數(shù)學(xué)對象過程中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和思考方式，在解構(gòu)概念的過程中推演數(shù)學(xué)過程，提升數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)．

(3)概念發(fā)展有廣度：即指在深度理解的基礎(chǔ)上，學(xué)生能通過對數(shù)學(xué)核心概念的應(yīng)用，從多角度對知識進(jìn)行審視并且合理解釋與應(yīng)用，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法來解決問題的基本途徑和工具，感受數(shù)學(xué)價值，發(fā)展數(shù)學(xué)工具素養(yǎng)．

2 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的基本結(jié)構(gòu)

對應(yīng)數(shù)學(xué)核心概念的三層教學(xué)目標(biāo)追求，其教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計應(yīng)把握“三個階段十一環(huán)節(jié)”的基本結(jié)構(gòu)(圖1)．

圖1 數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的“三階段十一環(huán)節(jié)”基本結(jié)構(gòu)

(1)概念建構(gòu)：這是數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的基礎(chǔ)，它不是簡單的概念同化或順應(yīng)，而是通過概念形成，從情境與問題中把握知識及其產(chǎn)生的原因；從共性特征的抽象中概括并建構(gòu)數(shù)學(xué)核心概念．

(2)概念解構(gòu)：這是數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的核心．只有充分解構(gòu)概念，由表及里，通過概念剖析、辨析、明晰、完善和精致，將概念進(jìn)行分解與重組、區(qū)別與聯(lián)系、發(fā)展與提煉，才能準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)核心概念的內(nèi)涵本質(zhì)，領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法．

(3)概念系統(tǒng)：這是數(shù)學(xué)核心概念教學(xué)的價值所在．基于對概念的充分理解，才能進(jìn)一步建立基于數(shù)學(xué)核心概念的框架體系，在這一體系中對概念進(jìn)行知識性應(yīng)用、理解性應(yīng)用，并最終實現(xiàn)創(chuàng)造性應(yīng)用，建立基于數(shù)學(xué)核心概念的概念邏輯發(fā)展序列，把握知識間的多元聯(lián)系，構(gòu)建概念系統(tǒng)．

3 “三階段十一環(huán)節(jié)”教學(xué)實踐——以“等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例

基于數(shù)學(xué)核心概念的“三階段十一環(huán)節(jié)”教學(xué)基本結(jié)構(gòu)，以“等比數(shù)列”復(fù)習(xí)課為例，進(jìn)行具體教學(xué)實踐探索．

3.1 概念形成建構(gòu)概念，夯實數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)

情境：已知數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=3n．

問題1{an},{bn}是等比數(shù)列嗎？為什么？

問題2{anbn}是等比數(shù)列嗎？為什么？

問題3等比數(shù)列是如何定義的？

設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)問題情境，并通過層次遞進(jìn)的三問，立足具體實例，感知等比數(shù)列概念屬性．雖然作為復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過等比數(shù)列的概念，但作為本節(jié)課的核心概念，還是需要創(chuàng)設(shè)情境，通過簡單具體的實例，喚醒學(xué)生對等比數(shù)列概念的回憶及具象認(rèn)知．進(jìn)一步追問“為什么”，達(dá)到對等比數(shù)列概念的進(jìn)一步思考，追究其概念共性特征的認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生再一次實踐等比數(shù)列的概念建構(gòu)過程．

3.2 理解內(nèi)化解構(gòu)概念，提升數(shù)學(xué)方法素養(yǎng)

問題4剖析并理解定義，如何證明一個數(shù)列是等比數(shù)列？

設(shè)計意圖明確等比數(shù)列的數(shù)學(xué)表征方式，通過數(shù)學(xué)表征剖析概念，概念定義進(jìn)一步數(shù)學(xué)化．

問題5如何證明一個數(shù)列不是等比數(shù)列？

設(shè)計意圖基于不同概念的比較，辨晰概念．通過不是等比數(shù)列的證明，進(jìn)一步認(rèn)識等比數(shù)列定義中的“任意性”，明確對“任意性”的否定是舉反例，尋找“存在”不成立情況的數(shù)學(xué)思維方式．

問題6聯(lián)系等差數(shù)列，思考等比數(shù)列與等差數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別．

設(shè)計意圖基于同類概念的對比聯(lián)系，明晰概念，突出概念的特有屬性．即將等比數(shù)列與等差數(shù)列進(jìn)行比較，兩者定義相近，都是用運(yùn)算定義數(shù)列；但兩者的運(yùn)算不同，前者是作比，后者是作差．在理解的過程中，就可以對數(shù)列概念進(jìn)行深入理解——基于初等運(yùn)算定義數(shù)列．

問題7類比等差數(shù)列，對等比數(shù)列還有哪些認(rèn)識？

設(shè)計意圖發(fā)展概念性質(zhì)等，完善概念．完善概念的方式一般可借助同類概念的發(fā)展方式，如對概念的分類、性質(zhì)、運(yùn)算律等開展探討．等比數(shù)列這一概念的完善，可借助等差數(shù)列的研究方式，對其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)一步探索，為之后概念本質(zhì)的挖掘奠定基礎(chǔ)．

(1)數(shù)列內(nèi)部的運(yùn)算性質(zhì)探究：例如，若m+n=p+q，則aman=apaq；若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則{can}(c為非零常數(shù)),{an+an+1}為等比數(shù)列等．

(2)數(shù)列之間的運(yùn)算性質(zhì)探究：例如，數(shù)列{an},{bn}為等比數(shù)列，則{anbn}為等比數(shù)列等．

問題8請歸納總結(jié)等比數(shù)列性質(zhì)研究的一般方法．

設(shè)計意圖挖掘概念本質(zhì)，精致概念．在對等比數(shù)列性質(zhì)的分類、歸納中發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列概念的發(fā)展無非是在數(shù)列內(nèi)部或數(shù)列之間進(jìn)行加、減、乘、除等初等運(yùn)算去研究數(shù)列的“運(yùn)算”特征，明確數(shù)列是以項數(shù)為自變量的離散函數(shù)本質(zhì)．

3.3 應(yīng)用實踐概念系統(tǒng)，發(fā)展工具素養(yǎng)

問題9已知數(shù)列{an},{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=3n，{an+bn}是等比數(shù)列嗎？為什么？

設(shè)計意圖概念的知識性應(yīng)用．

問題10已知數(shù)列{cn}，其中cn=2n+3n，是否存在常數(shù)p，使得{cn+1+pcn}是等比數(shù)列？若存在，求常數(shù)p．

設(shè)計意圖概念的理解性應(yīng)用，即基于概念背后的技能、方法的靈活應(yīng)用．本題發(fā)展于問題9的進(jìn)一步探索，深化概念，形成思維路徑．

問題12能否由此結(jié)論進(jìn)一步探索斐波那契數(shù)列的通項公式？

設(shè)計意圖概念的創(chuàng)造性應(yīng)用．以學(xué)生熟知的斐波那契數(shù)列為背景，喚起研究興趣；以問題11搭建研究中間環(huán)節(jié)，并利用化歸思想和等比數(shù)列求通項的方法，得到斐波那契數(shù)列通項公式．問題11這一中間環(huán)節(jié)的搭建與問題9、10具有同樣的研究路徑，可由教師搭建，更可由學(xué)生自行提出.這一組問題提供了(等比)數(shù)列研究方式在實際問題解決中的一般路徑與方法，發(fā)展了學(xué)生解決問題的能力和素養(yǎng)．

問題13回顧等比數(shù)列學(xué)習(xí)過程，總結(jié)數(shù)列研究的一般路徑與方法.

問題14思考面對一個陌生數(shù)列如何開展數(shù)列研究的一般方法.

設(shè)計意圖總結(jié)思考，形成概念結(jié)構(gòu)系統(tǒng)．回顧反思數(shù)列學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律，把握數(shù)列概念作為研究基礎(chǔ)的重要性；明確數(shù)列研究的一般方法——基于代數(shù)運(yùn)算的研究，構(gòu)建數(shù)列概念系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

4 小結(jié)

基于數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)基本結(jié)構(gòu)研究，旨在以數(shù)學(xué)核心概念建構(gòu)為起點(diǎn)，梳理數(shù)學(xué)知識邏輯發(fā)展的結(jié)構(gòu)，并探索概念發(fā)展與運(yùn)用的一般規(guī)律和方法．

概念的認(rèn)識與理解是一個長期的、不斷螺旋上升的過程，需要經(jīng)歷“事實—原理—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用—觀念”幾個過程．本文在開展以上環(huán)節(jié)的實施過程中，高度重視核心概念原理解構(gòu)中概念邏輯發(fā)展的結(jié)構(gòu)：從概念剖析出發(fā)，通過不同概念比較辨析、同類概念聯(lián)系明晰、發(fā)展概念性質(zhì)完善概念，并在理解基礎(chǔ)上精致概念．

基于數(shù)學(xué)核心概念的教學(xué)價值，在于其可不斷生長發(fā)展的生命力．而概念生長發(fā)展的程度，也是評價概念解構(gòu)過程是否充分完整的重要指標(biāo)．

當(dāng)然，基于數(shù)學(xué)核心概念的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)建構(gòu)不是一蹴而成的，需要始終堅持基于數(shù)學(xué)核心概念的新課教學(xué)和復(fù)習(xí)課整合，在循環(huán)往復(fù)中動態(tài)建構(gòu)．