基于三支概念簇的知識(shí)表示

智慧來(lái)，徐 彤，李逸楠

河南理工大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 焦作 454003

概念是人類(lèi)認(rèn)知活動(dòng)的基本單位，以概念為基礎(chǔ)的粒計(jì)算方法是實(shí)現(xiàn)可解釋性人工智能的途徑之一[1-5]．粒計(jì)算通過(guò)對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)的多粒度化處理得以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)易求解[6]．多粒度化的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出大小不同的信息粒，從而構(gòu)成了由小到大的粒度鏈條[7]．在粒度鏈條中，小粒是構(gòu)成大粒的基礎(chǔ)，粒度的變化體現(xiàn)著思維過(guò)程的泛化和特化，在泛化和特化的雙向思維驅(qū)動(dòng)下，人們得以解決許多看似無(wú)法下手的困難問(wèn)題[8-9].

形式概念分析(formal concept analysis，F(xiàn)CA)[10]是基于格論建立起來(lái)的數(shù)學(xué)方法，已經(jīng)成為一種最有效的粒計(jì)算理論．在應(yīng)用的驅(qū)動(dòng)下，根據(jù)實(shí)際需求可以通過(guò)各種方法構(gòu)造不同類(lèi)型的形式概念，包括經(jīng)典形式概念、 面向?qū)ο蟾拍睢?面向?qū)傩愿拍睢?對(duì)偶概念等[11-14]．最近十年，粗糙集、 粒計(jì)算、 模糊集、 三支決策理論等推動(dòng)了形式概念分析的發(fā)展，產(chǎn)生了許多有重要理論價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值的成果[15-20]．其中，QI等[21]將三支決策理論(three-way decisions，3WD)中的三分思想引入形式概念分析，提出了三支概念分析(three-way concept analysis，3WCA)．具體就是通過(guò)在形式背景上定義負(fù)算子，刻畫(huà)對(duì)象子集與屬性子集間“共同不具有”的關(guān)系，并構(gòu)造三支算子，將對(duì)象集或?qū)傩约郑纬扇Ц拍钆c三支概念格．三支概念分析自2014年提出以來(lái)，得到了廣泛的認(rèn)可[22-24].

信息檢索一直是人工智能的重要研究課題，但是，現(xiàn)有的信息檢索方法廣泛采用距離度量相似程度，不能完全客觀精準(zhǔn)地對(duì)具有家族相似性的原型范疇進(jìn)行刻畫(huà)．如果能夠采用粒計(jì)算思想，從概念的角度對(duì)整個(gè)粒度鏈條進(jìn)行深入研究，特別是對(duì)粒度鏈條頂端的子格進(jìn)行研究，或許可以得到滿(mǎn)意的解決.

現(xiàn)代范疇理論[25-26]強(qiáng)調(diào)相似的傳遞性，使得看似不相關(guān)的對(duì)象通過(guò)相似的傳遞性聯(lián)系在一起，形成一個(gè)個(gè)特定的范疇，在同一范疇內(nèi)，成員共享“家族相似性”．顯然，采用距離度量相似程度不能準(zhǔn)確地刻畫(huà)這樣的情形．為了解決這一問(wèn)題，在現(xiàn)代范疇理論的啟發(fā)下，智慧來(lái)與李逸楠首次提出了概念簇，用以刻畫(huà)一組具有家族相似性的概念，并應(yīng)用于相似對(duì)象的檢索[27]．概念簇中的概念包含了對(duì)象具有的共同屬性，但忽略了對(duì)象都不具有的屬性，不利于解決某些特定的問(wèn)題.

為了解決上述問(wèn)題，本文融合現(xiàn)代范疇理論與三支概念分析，提出了用三支概念簇刻畫(huà)具有家族相似性的三支概念集合，并對(duì)三支概念簇的性質(zhì)、 運(yùn)算以及應(yīng)用進(jìn)行了初步的探討.

1 基本理論

本節(jié)介紹形式概念分析[10]、 概念簇[27]以及三支概念分析[21]的相關(guān)基本概念.

1.1 形式概念分析與概念簇

形式概念分析[10]建立在格論基礎(chǔ)之上，對(duì)哲學(xué)中的概念進(jìn)行了高度的數(shù)學(xué)概括，具有良好的性質(zhì)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于知識(shí)表示、 數(shù)據(jù)挖掘、 近似推理等諸多領(lǐng)域．形式背景是領(lǐng)域本體的抽象描述，也是形式概念分析研究的具體對(duì)象和起點(diǎn).

具體地，形式背景可以抽象為一個(gè)三元組K=(G，M，I)，其中，G為對(duì)象集合，M為屬性集合，且均非空有限，I為G和M之間的二元關(guān)系．進(jìn)一步，使用I(x，a)=1表示對(duì)象x具有屬性a，使用I(x，a)=0表示對(duì)象x不具有屬性a．在下文中，為了方便起見(jiàn)，對(duì)于單元素集合，只列出其中的元素．例如，用x表示集合{x}.

對(duì)于X?G和A?M，分別定義對(duì)象集和屬性集上的算子如下：

X*={a∈M|?x∈X，I(x，a)=1}A*={x∈G|?a∈A，I(x，a)=1}

若X*=A且A*=X，則稱(chēng)(X，A)是形式背景K的一個(gè)概念．已經(jīng)證明，形式背景K的全體概念構(gòu)成一個(gè)完全格，并稱(chēng)之為概念格，記做L(K).

現(xiàn)代范疇理論[25-26]著重分析了家族相似概念，從理論上闡述了在同一個(gè)范疇中有可能存在一些不具有共同屬性的對(duì)象．Wittgenstein通過(guò)深入了解許多不同類(lèi)型的游戲，發(fā)現(xiàn)當(dāng)中的一些游戲并不具有共同點(diǎn)，但是體現(xiàn)出了不可忽視的緊密聯(lián)系．經(jīng)過(guò)分析得知，這些游戲是通過(guò)相似的傳遞性而密切聯(lián)系在一起，利用這種密切聯(lián)系，Wittgenstein將這些游戲劃分成了多個(gè)家族．語(yǔ)言學(xué)家Labov和Rosch在深入研究自然范疇的基礎(chǔ)上，將“家族相似性”解釋為家族成員具有某些相似之處，并將“原型范疇”(prototype category)解釋為具有“家族相似性”的自然范疇，從而奠定了現(xiàn)代范疇理論的基礎(chǔ).

現(xiàn)代范疇理論的主要觀點(diǎn)包括：

1) 范疇內(nèi)的各個(gè)成員通過(guò)相似的傳遞性聚集在一起，所有成員不一定存在相同的約束；

2) 范疇中可能存在一個(gè)或多個(gè)中心，形成單一中心結(jié)構(gòu)或多中心結(jié)構(gòu)；

3) 對(duì)于一個(gè)范疇，最具典型性的成員位于范疇的中心.

現(xiàn)代范疇理論的主要觀點(diǎn)在粒計(jì)算理論中已經(jīng)有大量的體現(xiàn)．在現(xiàn)代范疇理論的啟發(fā)下，智慧來(lái)等提出了概念簇，用以刻畫(huà)具有某些特定相似之處的概念，并應(yīng)用于基于概念格的相似對(duì)象檢索.

定義1[27]給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，X?G和A?M．若

C(X，A)={(Y，B)∈L(K)|Y?X，B?A}≠?

則稱(chēng)C(X，A)是K的一個(gè)概念簇.

文獻(xiàn)[27]已經(jīng)證明，概念簇本質(zhì)上是概念格的子格，位于粒度鏈條的最頂端，使用概念簇代替子格，是為了強(qiáng)調(diào)概念之間的家族相似性，以便于概念格理論的應(yīng)用.

1.2 三支概念分析

三支概念分析[21-22]相比較于經(jīng)典形式概念分析，刻畫(huà)了對(duì)象共同不具有的屬性，能夠提供經(jīng)典形式概念分析所不能提供的某些細(xì)節(jié)．為了構(gòu)造三支概念，首先需要定義對(duì)象集和屬性集上的負(fù)算子.

給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，X?G，B?M，對(duì)象集和屬性集上的負(fù)算子分別定義如下：

定義2給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，X?G，A，B?M，定義對(duì)象導(dǎo)出三支算子如下：

進(jìn)一步，若X?=(A，B)且(A，B)?=X，則稱(chēng)(X，(A，B))為對(duì)象導(dǎo)出三支概念，簡(jiǎn)稱(chēng)為OE-概念．已經(jīng)證明，形式背景K的全體對(duì)象導(dǎo)出三支概念構(gòu)成一個(gè)完全格，并稱(chēng)之為對(duì)象導(dǎo)出三支概念格，記做OEL(K).

在OEL(K)中存在一類(lèi)對(duì)象誘導(dǎo)的三支概念，兩類(lèi)屬性誘導(dǎo)的三支概念，這些概念在基于三支概念分析的應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，具體定義如下.

例1給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，如表1所示，其中共包含4個(gè)對(duì)象和5個(gè)屬性，用符號(hào)“×”表示某個(gè)對(duì)象具有某個(gè)屬性．形式背景K的對(duì)象導(dǎo)出三支概念格OEL(K)，如圖1所示.

圖1 形式背景K的對(duì)象導(dǎo)出三支概念格OEL(K)

表1 例1的形式背景K

形式背景K的對(duì)象導(dǎo)出三支概念格OEL(K)中包含4個(gè)對(duì)象誘導(dǎo)的三支概念，分別為：對(duì)象1誘導(dǎo)的(1，(ace，bd))，對(duì)象2誘導(dǎo)的(2，(bd，ace))，對(duì)象3誘導(dǎo)的(3，(abe，cd))和對(duì)象4誘導(dǎo)的(4，(abcd，e)).

此外，OEL(K)中包含5個(gè)Ⅰ型屬性誘導(dǎo)的三支概念，分別為：屬性a誘導(dǎo)的(134，(a，?))，屬性b誘導(dǎo)的(234，(b，?))，屬性c誘導(dǎo)的(14，(ac，?))，屬性d誘導(dǎo)的(24，(bd，e))和屬性e誘導(dǎo)的(13，(ae，d)).

再者，OEL(K)中包含5個(gè)Ⅱ型屬性誘導(dǎo)的三支概念，分別為：屬性a誘導(dǎo)的(2，(bd，ace))，屬性b誘導(dǎo)的(1，(ace，bd))，屬性c誘導(dǎo)的(23，(b，c))，屬性d誘導(dǎo)的(13，(ae，d))和屬性e誘導(dǎo)的(24，(bd，e)).

2 三支概念簇

概念簇[27]建立于經(jīng)典概念格的基礎(chǔ)之上，只考慮了對(duì)象具有的共同屬性．然而，在許多情況下，不僅要考慮對(duì)象具有的共同屬性，還需要考慮對(duì)象都不具有的屬性．在現(xiàn)代范疇理論的啟發(fā)下，本文在三支概念分析的基礎(chǔ)上提出三支概念簇.

2.1 三支概念簇的定義

本質(zhì)上，概念簇刻畫(huà)了一組具有家族相似性的概念．在此基礎(chǔ)上，我們提出三支概念簇，用以描述具有家族相似性的三支概念集合.

定義4給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，x∈G，a∈M．若

t(x，a)={(X，(A，B))∈OEL(K)|(x??，x?)≤(X，(A，B))≤(a*，a*?)}≠?

則稱(chēng)t(x，a)為對(duì)象x和屬性a誘導(dǎo)的Ⅰ型三支概念簇.

定義5給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，x∈G，a∈M．若

則稱(chēng)t(x，a～)為對(duì)象x和屬性a誘導(dǎo)的Ⅱ型三支概念簇.

性質(zhì)1給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，x∈G，a∈M．三支概念簇t(x，a)和t(x，a～)均是OEL(K)的子格.

證首先，由形式背景K=(G，M，I)的有限性可知OEL(K)是有限的，進(jìn)而可知t(x，a)是有限的．其次，t(x，a)中存在唯一的最大元(a*，a*?)，且存在唯一的最小元(x??，x?)．綜上可知，三支概念簇t(x，a)是OEL(K)的一個(gè)子格.

同理可證t(x，a～)也是OEL(K)的一個(gè)子格．證畢.

定義6給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，x∈G，a∈M．稱(chēng)t(x，?)為對(duì)象x誘導(dǎo)的三支概念簇，稱(chēng)t(?，a)為屬性a誘導(dǎo)的Ⅰ型三支概念簇，稱(chēng)t(?，a～)為屬性a誘導(dǎo)的Ⅱ型三支概念簇.

實(shí)際上，對(duì)于對(duì)象x和屬性a誘導(dǎo)的Ⅰ型三支概念簇t(x，a)，令a=?，即可得到對(duì)象x誘導(dǎo)的三支概念簇t(x，?)； 對(duì)偶地，令x=?，即可得到屬性a誘導(dǎo)的Ⅰ型三支概念簇t(?，a).

對(duì)于對(duì)象x和屬性a誘導(dǎo)的Ⅱ型三支概念簇t(x，a～)，令x=?，即可得到屬性a誘導(dǎo)的Ⅱ型三支概念簇t(?，a～).

例2對(duì)于例1中的形式背景K，考察其上的三支概念簇如下.

形式背景K中包含4個(gè)對(duì)象誘導(dǎo)的三支概念簇，分別為：

對(duì)象1誘導(dǎo)的t(1，?)={(1，(ace，bd))，(13，(ae，d))，(14，(ac，?))，(134，(a，?))，(1234，(?，?))}；

對(duì)象2誘導(dǎo)的t(2，?)={(2，(bd，ace))，(23，(b，c))，(24，(bd，e))，(234，(b，?))，(1234，(?，?))}；

對(duì)象3誘導(dǎo)的t(3，?)={(3，(abe，cd))，(13，(ae，d))，(23，(b，c))，(34，(ab，?))，(134，(a，?))，(234，(b，?))，(1234，(?，?))}；

對(duì)象4誘導(dǎo)的t(4，?)={(4，(abcd，e))，(14，(ac，?))，(24，(bd，e))，(34，(ab，?))，(134，(a，?))，(234，(b，?))，(1234，(?，?))}.

形式背景K中包含5個(gè)屬性誘導(dǎo)的Ⅰ型三支概念簇，分別為：

屬性a誘導(dǎo)的t(?，a)={(134，(a，?))，(34，(ab，?))，(14，(ac，?))，(13，(ae，d))，(3，(abe，cd))，(1，(ace，bd))，(4，(abcd，e))，(?，(abcde，abcde))}；

屬性b誘導(dǎo)的t(?，b)={(234，(b，?))，(23，(b，c))，(34，(ab，?))，(24，(bd，e))，(2，(bd，ace))，(3，(abe，cd))，(4，(abcd，e))，(?，(abcde，abcde))}；

屬性c誘導(dǎo)的t(?，c)={(14，(ac，?))，(1，(ace，bd))，(4，(abcd，e))，(?，(abcde，abcde))}；

屬性d誘導(dǎo)的t(?，d)={(24，(bd，e))，(2，(bd，ace))，(4，(abcd，e))，(?，(abcde，abcde))}；

屬性e誘導(dǎo)的t(?，e)={(13，(ae，d))，(3，(abe，cd))，(1，(ace，bd))，(?，(abcde，abcde))}.

形式背景K中包含5個(gè)屬性誘導(dǎo)的Ⅱ型三支概念簇，分別為：

屬性a誘導(dǎo)的t(?，a～)={(2，(bd，ace))，(?，(abcde，abcde))}；

屬性b誘導(dǎo)的t(?，b～)={(1，(ace，bd))，(?，(abcde，abcde))}；

屬性c誘導(dǎo)的t(?，c～)={(23，(b，c))，(3，(abe，cd))，(2，(bd，ace))，(?，(abcde，abcde))}；

屬性d誘導(dǎo)的t(?，d～)={(13，(ae，d))，(1，(ace，bd))，(3，(abe，cd))，(?，(abcde，abcde))}；

屬性e誘導(dǎo)的t(?，e～)={(24，(bd，e))，(4，(abcd，e))，(2，(bd，ace))，(?，(abcde，abcde))}.

2.2 三支概念簇的性質(zhì)

三支概念簇是具有家族相似性的三支概念集合，三支概念簇的運(yùn)算在本質(zhì)上是集合的運(yùn)算，首先給出三支概念簇的運(yùn)算性質(zhì).

性質(zhì)2給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，x∈G，a∈M．以下命題成立：

1)t(x，a)=t(x，?)∩t(?，a)；

2)t(x，a～)=t(x，?)∩t(?，a～).

證1) 一方面，t(x，?)由OEL(K)中所有大于等于(x??，x?)且小于等于(G，G?)的三支概念組成．另一方面，t(?，a)由OEL(K)中所有大于等于(?，??)且小于等于(a*，a*?)的三支概念組成．綜合兩個(gè)方面，由t(x，a)的定義可知t(x，a)=t(x，?)∩t(?，a)．命題1)成立.

2) 同理可證命題2成立，證畢.

性質(zhì)2實(shí)際上給出了利用對(duì)象誘導(dǎo)和屬性誘導(dǎo)的三支概念簇計(jì)算任意三支概念簇的方法．例如，考慮例2中的三支概念簇，利用性質(zhì)2及例2的計(jì)算結(jié)果可得：

t(1，a)=t(1，?)∩t(?，a)={(1，(ace，bd))，(13，(ae，d))，(14，(ac，?))，(134，(a，?))，(1234，(?，?))}∩{(134，(a，?))，(34，(ab，?))，(14，(ac，?))，(13，(ae，d))，(3，(abe，cd))，(1，(ace，bd))，(4，(abcd，e))，(?，(abcde，abcde))}={(1，(ace，bd))，(13，(ae，d))，(14，(ac，?))，(134，(a，?))}.

性質(zhì)3給定一個(gè)形式背景K=(G，M，I)，x∈G，a∈M．以下命題成立：

1) 若I(x，a)=0，則t(x，a)=?；

2) 若I(x，a)=1，則t(x，a～)=?；

證1) 若I(x，a)=0，則概念(x??，x?)與(a*，a*?)是不可比的，所以O(shè)EL(K)中不存在大于等于(x??，x?)且小于等于(a*，a*?)的概念，根據(jù)t(x，a)的定義可得t(x，a)=?．命題1)成立.

2) 同理可證命題2成立.

4) 同理可證命題4成立，證畢.

3 基于三支概念簇的知識(shí)發(fā)現(xiàn)

在信息檢索的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)請(qǐng)求系統(tǒng)推薦一類(lèi)和某種已知對(duì)象類(lèi)似，且具有或不具有某些特殊限定的對(duì)象．如在網(wǎng)上購(gòu)物系統(tǒng)中，顧客通常會(huì)要求客服進(jìn)行產(chǎn)品的合理推薦，如：“請(qǐng)給我推薦一款與2號(hào)模特上身穿的相似，并且是深藍(lán)色的，但不含拉鏈的外套”，這種需求可以形式化地表述為：用G表示對(duì)象的集合，M表示屬性的集合，在G中查找與對(duì)象x相似，且具有屬性a，但不具有屬性b的對(duì)象.

基于以上討論，下面提出算法1以實(shí)現(xiàn)符合特定約束條件下的相似對(duì)象檢索.

算法1基于三支概念簇的相似對(duì)象查找算法.

輸入：形式背景K=(G，M，I)，對(duì)象x∈G，屬性a，b∈M.

輸出：與對(duì)象x相似，且具有屬性a，但不具有屬性b的所有對(duì)象.

步驟1：建立形式背景K的對(duì)象導(dǎo)出三支概念格OEL(K)；

步驟2：計(jì)算三支概念簇t(?，a)與t(?，b～)；

步驟3：計(jì)算t(?，a)∩t(?，b～)，并記其中全體對(duì)象誘導(dǎo)的三支概念的外延為集合E；

步驟4：從概念(x??，x?)開(kāi)始，逐層遍歷其父概念：

記當(dāng)前遍歷的概念為(X，(A，B))；

若X∩E≠?，則X∩E中包含的對(duì)象即為所求.

步驟5：返回結(jié)果，算法結(jié)束.

例3表2描述了一個(gè)由8種生物構(gòu)成的形式背景，也就是在形式概念分析理論研究中廣為熟知的“生物和水”形式背景，其對(duì)象導(dǎo)出三支概念格如圖2所示．由于所有的生物都需要水，這里不再考慮“需要水”這個(gè)生物屬性，只考慮其余的8種生物屬性．用數(shù)字1到8分別代表螞蝗、 魚(yú)、 蛙、 狗、 水草、 蘆葦、 豆與玉米．另外，用小寫(xiě)字母a到h表示8種生物屬性，即：在水中生活、 在陸地生活、 有葉綠素、 雙子葉、 單子葉、 能運(yùn)動(dòng)、 有四肢與會(huì)哺乳.

圖2 例3的對(duì)象導(dǎo)出三支概念格

表2 例3的形式背景

為了更好地說(shuō)明上述提出的基于三支概念簇的相似對(duì)象查找算法，我們將通過(guò)實(shí)際案例來(lái)進(jìn)一步對(duì)基于概念簇和三支概念簇的相似對(duì)象查找算法進(jìn)行分析對(duì)比.

首先，使用上述算法1，查找和蘆葦(對(duì)象6)相似，且有葉綠素(具有屬性c)，但不能在陸地生活(不具有屬性b)的生物.

輸入：“生物和水”形式背景，對(duì)象6∈G，屬性c，b∈M.

輸出：與對(duì)象6相似，且具有屬性c，但不具有屬性b的所有對(duì)象.

步驟1：建立“生物和水”形式背景的對(duì)象導(dǎo)出三支概念格，如圖2所示；

步驟2：計(jì)算三支概念簇t(?，c)={(?，(abcdefgh，abcdefgh))，(5，(ace，bdfgh))，(6，(abce，dfgh))，(7，(bcd，aefgh))，(8，(bce，adfgh))，(56，(ace，dfgh))，(68，(bce，dfgh))，(78，(bc，afgh))，(568，(ce，dfgh))，(678，(bc，fgh))，(5678，(c，fgh))}，t(?，b～)={(?，(abcdefgh，abcdefgh))，(1，(af，bcdegh))，(2，(afg，bcdeh))，(5，(ace，bdfgh))，(12，(af，bcdeh))，(15，(a，bdgh))，(125，(a，bdh))}；

步驟3：計(jì)算t(?，c)∩t(?，b～)={(?，(abcdefgh，abcdefgh))，(5，(ace，bdfgh))}，并記其中全體對(duì)象誘導(dǎo)的三支概念的外延為集合E={5}；

步驟4：從概念(x??，x?)=(6，(abce，dfgh))開(kāi)始，逐層遍歷其父概念：

遍歷其第一層父概念得到(56，(ace，dfgh))與(68，(bce，dfgh))，由{5，6}∩{5}={5}≠?可知對(duì)象5滿(mǎn)足算法要求； 由{68}∩{5}=?可知不滿(mǎn)足算法要求，舍棄； 綜上可得，對(duì)象5即為所求.

步驟5：返回結(jié)果對(duì)象5，即符合條件的生物是水草，算法結(jié)束.

接下來(lái)，使用文獻(xiàn)[27]所提出的基于對(duì)象直觀圖與概念簇的相似對(duì)象查找算法，查找和蘆葦(對(duì)象6)相似，且有葉綠素(具有屬性c)，但不能在陸地生活(不具有屬性b)的生物.

輸入：“生物和水”形式背景，對(duì)象6∈G，屬性c，b∈M.

輸出：與對(duì)象6相似且具有屬性c的所有對(duì)象.

步驟1：建立“生物和水”形式背景的對(duì)象直觀圖與概念格，見(jiàn)文獻(xiàn)[27]；

步驟2：在步驟1的對(duì)象直觀圖中查找大于等于(6，6*)的所有二元組，可得最大二元組仍為(6，6*)；

步驟3：計(jì)算AC(6，c)=C(6**，c**)={(6，abce)，(56，ace)，(68，bce)，(568，ce)，(678，bc)，(5678，c)}；

步驟4：對(duì)于AC(6，c)中存在的概念(56，ace)=(5**，5*)和(68，bce)=(8**，8*)，可得符合條件的對(duì)象為5和8；

步驟5：返回結(jié)果對(duì)象5和對(duì)象8，即符合條件的生物是水草和玉米，算法結(jié)束.

綜上所述，針對(duì)同一個(gè)案例，對(duì)比兩個(gè)算法可知，使用基于對(duì)象直觀圖與概念簇的算法只能檢索和蘆葦(對(duì)象6)相似且有葉綠素(具有屬性c)的生物，無(wú)法檢索其中不能在陸地生活(不具有屬性b)的生物，即屬性b無(wú)法被按需使用，最終得到的結(jié)果是水草(對(duì)象5)和玉米(對(duì)象8)．雖然此算法得到兩種結(jié)果，但是根據(jù)常識(shí)可知，算法1得到的結(jié)果水草和基于對(duì)象直觀圖與概念簇的算法得到的結(jié)果之一玉米相比較更加符合條件．因此，三支概念簇相比較于概念簇，更加有利于檢索到符合需求的對(duì)象.

通過(guò)深入思考發(fā)現(xiàn)，三支概念簇之所以更加有利于檢索到符合需求的對(duì)象，原因在于三支概念不僅考慮了對(duì)象共同具有的屬性，而且還考慮了對(duì)象共同不具有的屬性，使得三支概念比經(jīng)典形式概念能夠捕捉到更加精確的對(duì)象細(xì)節(jié)，從而發(fā)現(xiàn)更加細(xì)致的對(duì)象分類(lèi)，檢索到更加貼切實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景的相似對(duì)象.

4 結(jié) 論

本文融合現(xiàn)代范疇理論與三支概念分析，提出了三支概念簇．研究結(jié)果表明，三支概念簇刻畫(huà)了具有“家族相似性”的三支概念集合，是檢索符合特定約束條件下相似對(duì)象的有力工具．三支概念簇作為三支概念分析中的重要粒度之一，還有許多值得深入探討的問(wèn)題．例如：模糊形式背景下的模糊概念簇如何定義，與經(jīng)典二值形式背景下的三支概念簇有何區(qū)別與聯(lián)系； 在動(dòng)態(tài)環(huán)境下，三支概念簇如何更新； 對(duì)于大規(guī)模形式背景，如何提高三支概念簇的計(jì)算效率．最后，需要指出的是概念簇建立在形式概念的基礎(chǔ)之上，構(gòu)造概念格的復(fù)雜性限制了其大規(guī)模應(yīng)用的有效性．因此，如何采用新的思路，從新的角度研究概念簇還需要付出更多的努力.