基于Mathematica的牛頓環(huán)干涉圖樣可視化交互研究

張麗穎，顧菊觀

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

牛頓環(huán)干涉實(shí)驗(yàn)是光學(xué)實(shí)驗(yàn)中重要實(shí)驗(yàn)內(nèi)容之一，通過(guò)該實(shí)驗(yàn)裝置可以觀察到干涉現(xiàn)象，有助于更好地理解光的波動(dòng)性原理。實(shí)際教學(xué)中對(duì)于入射光波長(zhǎng) 、透鏡曲率半徑及透鏡與平面玻璃板間距改變時(shí)牛頓環(huán)干涉條紋圖像變化的描述比較抽象難理解。借助計(jì)算機(jī)仿真軟件的交互功能可以模擬出牛頓環(huán)的條紋干涉變化圖，能夠更加直觀、生動(dòng)展示干涉圖樣及其變化。

關(guān)于牛頓環(huán)干涉圖樣研究，現(xiàn)已有許多成果，但仿真圖樣大多為靜態(tài)圖[1-3]。其中交互式的干涉圖樣目前有通過(guò)Matlab的GUI功能[4，5]實(shí)現(xiàn)的，而利用Mathematica也能夠很好的實(shí)現(xiàn)交互功能。且除了交互式設(shè)計(jì)外，對(duì)于牛頓環(huán)干涉獨(dú)立運(yùn)算方法也少有研究[6]。因此本文將通過(guò)Mathematica仿真模擬出不同參數(shù)情況下的交互式牛頓環(huán)干涉圖樣，并研究干涉圖樣在沒(méi)有安裝Mathematica情況下的運(yùn)行方法。通過(guò)研究和展示干涉圖樣，讓學(xué)生能夠直接觀察到牛頓環(huán)干涉條紋圖樣和條紋的移動(dòng)方向及條紋疏密變化，更方便在教學(xué)中應(yīng)用牛頓環(huán)干涉結(jié)果，使學(xué)生更容易掌握干涉條紋不同情況下的變化規(guī)律，并加深學(xué)生對(duì)牛頓環(huán)干涉現(xiàn)象的理解。

1 牛頓環(huán)干涉原理

圖1為牛頓環(huán)的結(jié)構(gòu)圖。已知在折射率大小關(guān)系不同時(shí)，牛頓環(huán)干涉圖樣結(jié)果不同。

圖1 牛頓環(huán)結(jié)構(gòu)圖

而折射率對(duì)牛頓環(huán)干涉圖樣的影響已有文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行了詳細(xì)的討論。在此，本文就以n1>n2

根據(jù)半波損失產(chǎn)生條件，可知介質(zhì)薄膜上下兩表面反射光的光程差δ為

(1)

(2)

由此可知，牛頓環(huán)條紋級(jí)次越高，相鄰條紋半徑差越小。條紋呈不等間距分布，從中心向外由疏到密變化。

(3)

2 不同參數(shù)改變時(shí)的牛頓環(huán)干涉圖樣

2.1 改變?nèi)肷涔獠ㄩL(zhǎng)時(shí)牛頓環(huán)干涉變化圖像

當(dāng)透鏡與平面玻璃相接觸時(shí)(h=0)，令r=0.5 m、n2=1，改變波長(zhǎng)λ，可得：

(a)λ=390nm(b)λ=550nm(c)λ=589nm(d)λ=632nm圖2 入射光波長(zhǎng)改變干涉圖樣

根據(jù)圖2所示，當(dāng)改變?nèi)肷涔獾牟ㄩL(zhǎng)時(shí)，可發(fā)現(xiàn)隨著波長(zhǎng)的增大所能看到的條紋數(shù)量減小。(牛頓環(huán))條紋整體向外逐漸移動(dòng)，條紋變疏，中心暗紋不變但半徑增大。對(duì)于同一干涉級(jí)條紋，在入射光波長(zhǎng)增大，其他條件不變的情況下，條紋半徑rj以及相鄰條紋間距Δrj會(huì)隨著入射光波長(zhǎng)λ的增大而增大。且該模擬結(jié)果與理論結(jié)果一致。

2.2 改變透鏡曲率半徑時(shí)牛頓環(huán)干涉變化圖像

當(dāng)透鏡與平面玻璃相接觸時(shí)(h=0)，令λ=550nm、n2=1，改變曲率半徑R，可得：

根據(jù)圖3所示，當(dāng)改變平凸透鏡曲率半徑時(shí)，可發(fā)現(xiàn)隨著平凸透鏡曲率半徑的增大所能看到的條紋數(shù)量明顯減小，(牛頓環(huán))條紋整體向外逐漸移動(dòng)，條紋變疏，中心暗紋不變但半徑增大。對(duì)于同一干涉級(jí)條紋，在曲率半徑R增大，其他條件不變的情況下，條紋半徑rj以及相鄰條紋間距Δrj會(huì)隨著曲率半徑R的增大而增大。且該模擬結(jié)果與理論結(jié)果一致。

(a)r=1m(b)r=1.5m(c)r=2m(d)r=2.5m圖3 薄膜折射率改變干涉圖樣

2.3 改變透鏡與玻璃間距時(shí)牛頓環(huán)干涉變化圖像

令λ=550nm、r=1m、n2=1，改變透鏡與平面玻璃間距h(h范圍取0～2.75×10-4m)，可得：

(a)h=0m(b)h=4.125×10-7m(c)h=1.375×10-4m(d)h=2.138×10-4m圖4 平凸透鏡與平板玻璃間距改變干涉圖樣

對(duì)于同一干涉k級(jí)條紋，在間距h增大，其他條件不變的情況下，條紋半徑rj會(huì)隨著間距h的增大而減小，相鄰條紋間距Δrj會(huì)隨著間距h的增大而增大。

由此得出在間距h增大的過(guò)程中，干涉條紋不斷地向中心收縮，且該模擬結(jié)果與理論結(jié)果一致。

3 獨(dú)立運(yùn)算方法

通過(guò)Mathematica中的”Manipulate”命令生成交互式牛頓環(huán)干涉圖樣后，利用”Export”導(dǎo)出為其他格式。在沒(méi)有Mathematica軟件的情況下，也能夠通過(guò)該方法在任何電腦及手機(jī)上觀察到動(dòng)態(tài)的牛頓環(huán)干涉圖樣。

3.1 GIF

利用“Export”導(dǎo)出為GIF格式，可直接通過(guò)照片查看或插入Word、PowerPoint文檔演示。

(a)入射光波長(zhǎng)改變干涉圖樣(b)曲率半徑改變干涉圖樣(c)間距改變干涉圖樣

需注意GIF圖片格式無(wú)法直接插入Word中查看，而PowerPoint演示文檔支持GIF動(dòng)圖的播放。因此，如要使牛頓環(huán)動(dòng)態(tài)干涉圖片在Word當(dāng)中查看，需要借助PPT演示文檔。新建一個(gè)PowerPoint，插入保存的GIF動(dòng)圖，將幻燈片設(shè)置合適大小使得GIF剛好能夠鋪滿畫(huà)面之后保存該文檔。打開(kāi)對(duì)應(yīng)的Word文檔，選擇插入一個(gè)對(duì)象，在對(duì)象文件中找到已保存的演示文檔即可。需要演示或者查看時(shí)，點(diǎn)開(kāi)插入的圖片就能看到牛頓環(huán)的動(dòng)態(tài)條紋圖樣。

3.2 AVI

利用”Export”導(dǎo)出為AVI格式，可直接通過(guò)視頻播放或插入Word、PowerPoint文檔播放演示。相比于GIF動(dòng)圖，視頻播放能夠通過(guò)拖拽進(jìn)度條來(lái)查看某一時(shí)刻的牛頓環(huán)干涉圖樣或者連續(xù)變化的干涉圖樣，使得在沒(méi)有Mathematica的情況下也能夠很好的實(shí)現(xiàn)交互的功能。同樣，如要插入Word查看，應(yīng)當(dāng)選擇插入一個(gè)對(duì)象，新建一個(gè)PowerPoint文件。將幻燈片設(shè)置合適大小，插入視頻并保存。需要演示或者查看時(shí)，點(diǎn)開(kāi)插入的圖片即可播放或拖拽視頻，觀察到牛頓環(huán)的動(dòng)態(tài)干涉圖樣。

(a)入射光波長(zhǎng)改變干涉圖樣(b)曲率半徑改變干涉圖樣(c)間距改變干涉圖樣

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于牛頓環(huán)干涉原理，利用Mathematica對(duì)牛頓環(huán)的干涉現(xiàn)象進(jìn)行了動(dòng)態(tài)的仿真模擬，分析了在n1>n2