基于SPSS的拉伸法測量金屬絲楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

張 燕

(運(yùn)城學(xué)院 工科實(shí)驗(yàn)實(shí)訓(xùn)中心，山西 運(yùn)城 044000)

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是高校理工科學(xué)生必修的一門理論結(jié)合實(shí)踐的基礎(chǔ)課程，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作及對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析處理，能更好地為學(xué)習(xí)物理基礎(chǔ)理論提供幫助，提高學(xué)生的動手實(shí)踐能力、實(shí)驗(yàn)操作能力及創(chuàng)新能力。本文以大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的必選實(shí)驗(yàn)之一“拉伸法測量金屬絲的楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)”為例，與以往文獻(xiàn)不同的是一般物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)和科研工作者借助的數(shù)據(jù)處理軟件有EXCEL、ORIGIN等[1]，該研究借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法，利用SPSS軟件對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行二段最小平方法預(yù)測分析，建立預(yù)測模型，求得金屬絲楊氏模量的值。并將采用SPSS軟件進(jìn)行二段最小平方法計(jì)算的楊氏模量值與借助EXCEL的逐差法計(jì)算的楊氏模量值進(jìn)行比較，前者更接近公認(rèn)值。

1 拉伸法測量金屬絲的楊氏彈性模量實(shí)驗(yàn)

1.1 原理

固體材料在彈性形變范圍內(nèi)，正應(yīng)力與相應(yīng)線應(yīng)變的比值稱作楊氏彈性模量，它是度量固體材料受力時形變大小的重要參量。在機(jī)械材料、醫(yī)療、建筑、通訊等工程設(shè)計(jì)及材料選用中廣泛應(yīng)用。

設(shè)一粗細(xì)均勻的金屬絲長為L，橫截面積為S，當(dāng)金屬絲上端固定，下端懸掛砝碼，金屬絲在受砝碼重力F作用下沿線性方向發(fā)生形變，則根據(jù)胡克定律，金屬絲的應(yīng)力和產(chǎn)生應(yīng)變成正比，則：

(1)

(2)

本實(shí)驗(yàn)采用LY-1CCD 型楊氏模量測量儀，如圖1所示：

圖1 LY-1CCD 型楊氏模量測量儀

1.2 原始數(shù)據(jù)

用外徑千分尺在金屬絲的5個不同部位測得其直徑，金屬絲長度用米尺測量見表1；金屬絲下端依次加50克砝碼被拉長后再依次減掉砝碼用讀數(shù)顯微鏡依次讀出標(biāo)尺所處刻度如表2所示：

表1 金屬絲長度L和直徑D測量 外徑千分尺的零點(diǎn)讀數(shù)：0.008 mm

表2 受力后金屬絲伸長量測量

2 金屬絲長度和直徑數(shù)據(jù)處理

為了使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更加精確，除了要選取適當(dāng)?shù)臏y量儀器外，在測量結(jié)果評價和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理時，往往根據(jù)誤差的性質(zhì)來確定誤差評價的辦法和數(shù)據(jù)處理的方法。根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因、性質(zhì)，分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗大誤差(過失誤差)[2-3]。實(shí)踐中要對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析檢驗(yàn)，準(zhǔn)確地區(qū)分誤差的性質(zhì)和原因，才能進(jìn)行有效的數(shù)據(jù)處理。

2.1 金屬絲長度的測量數(shù)據(jù)分析

金屬絲的長度用合成不確定度和相對不確定度表示，根據(jù)直接測量量的誤差來源計(jì)算金屬絲長度的不確定度。

金屬絲長度的算術(shù)平均值

=1.080m

計(jì)算5次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差，測量值L標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評價：

標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評價：

測量值L合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

測量值L測量結(jié)果表示為：

L=1.080±0.005m

2.2 金屬絲直徑的測量數(shù)據(jù)分析

金屬絲直徑的算術(shù)平均值

=0.389mm

計(jì)算5次測量值的標(biāo)準(zhǔn)差，測量值D標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評價：

測量值D標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評價，外徑千分尺的分度值為0.01mm，所以

測量值D測量結(jié)果表示為：

D=(0.389±0.006)×10-3mm

3 金屬絲楊氏彈性模量的計(jì)算

3.1 借助EXCEL的逐差法測算金屬絲的彈性楊氏模量

由誤差理論知實(shí)驗(yàn)中多次測量能減小偶然誤差，為了保持多次測量的優(yōu)越性，通常采用的數(shù)據(jù)處理方法是逐差法[2-3]。

金屬絲楊氏模量的求解公式(2)中F為砝碼所受的重力，這里采用逐差法，

ΔM=0.2kg

ΔL=0.107×10-3m

帶入Ai數(shù)據(jù)計(jì)算金屬絲伸長量。

代入數(shù)據(jù)計(jì)算伸長量的不確定度為：

μ(ΔL)=0

將數(shù)據(jù)帶入公式(2)得

E=1.69×1011N·m-2

由標(biāo)準(zhǔn)不確定度的傳遞公式估算出楊氏模量的不確定度[2-3]。

μ(E)=0.004×1011N·m-2

金屬絲的楊氏模量結(jié)果表示為：

E=(1.69±0.004)×1011N·m-2

3.2 采用SPSS軟件進(jìn)行二段最小平方法分析

SPSS軟件中二段最小平方法是指兩個變量之間存在相互關(guān)系時，線性回歸只用最小二乘法進(jìn)行估計(jì)[4-5]，輸入兩組測量數(shù)據(jù)X、Y通過運(yùn)算得出相關(guān)系數(shù)，并根據(jù)預(yù)測值計(jì)算出自變量與因變量之間的模型Y=KX+b。

可以看出式中ΔL和m存在線性關(guān)系，為斜率K，截距b=0，將表2的數(shù)據(jù)代入SPSS軟件中進(jìn)行二段最小平方法分析，輸出結(jié)果如下：

表3 模型擬合度

從表3的輸出結(jié)果可以看出，復(fù)相關(guān)系數(shù)r=0.993，決定系數(shù)R2=0.987，經(jīng)調(diào)整的判定系數(shù)AdjustedR2=0.986，判定系數(shù)的取值在[0，1]范圍內(nèi)，說明金屬絲的伸長量的變化是由金屬絲受力的變化引起的，而且預(yù)測模型擬合度良好。

表4 方差分析

從表4方差分析結(jié)果可以看出，模型的F統(tǒng)計(jì)量的觀察值為1 041.679，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的相伴性概率Sig趨于0，置信度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.01，所以回歸是高度顯著，即金屬絲的伸長量因所受力變化的影響顯著，可以由金屬絲受的不同大小的力來預(yù)測金屬絲的伸長量，它們所建立的線性關(guān)系回歸系數(shù)存在，且表明預(yù)測模型較好，具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義[5]。

表5 預(yù)測模型相關(guān)分析

從表5預(yù)測模型系數(shù)可以看出，預(yù)測模型自變量系數(shù)為0.449，常數(shù)為0.051[4]，由于在輸入測量值時單位為毫米，代入公式計(jì)算時要換算成國際單位米，可以得到預(yù)測模型為Y=0.449×10-3X+0.051×10-3

式中截距b=0.051×10-3結(jié)合實(shí)驗(yàn)誤差，截距趨近于0。

將金屬絲直徑、長度測量值和不確定度代入上式中計(jì)算金屬絲的楊氏模量得：

E=(1.98±0.004)×1011N·m-2

4 結(jié) 語

從以上逐差法和SPSS軟件最小二乘法計(jì)算的結(jié)果來看，SPSS軟件最小二乘法計(jì)算的金屬絲楊氏模量值更接近于公認(rèn)值2.0×1011N·m-2。研究結(jié)果表明：利用SPSS軟件對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行二段最小平方法分析、檢驗(yàn)和處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理更加簡便，并且更加準(zhǔn)確的測算出金屬絲的楊氏彈性模量。