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    恒成立問(wèn)題的解析技巧

    2021-10-21 00:28:20陳燕琴
    數(shù)理化解題研究 2021年28期
    關(guān)鍵詞:賦值方程式解題技巧

    陳燕琴

    (江蘇省海門(mén)中學(xué) 226100)

    一、參數(shù)拆分法

    顧名思義,參數(shù)拆分法就是將方程式中的參考數(shù)值加以拆分,將其單獨(dú)拎出來(lái)的方法.首先將方程式轉(zhuǎn)化為形式如a≤f(x),a≥f(x),afman(x).

    例1若圖像C1的函數(shù)為f(x)=x3-3x變換到圖像C2要經(jīng)歷以下過(guò)程:首先往右方平直挪動(dòng)u單位,然后往下方平直挪動(dòng)v單位.當(dāng)u>0時(shí),C1跟C2最多產(chǎn)生一個(gè)交點(diǎn),求fmin(v)的值.

    解∵y=(x-u)3-3(x-u)-v,

    ∴(x-u)3-3(x-u)-v=x3-3x.

    又∵△≤0,

    故函數(shù)當(dāng)g(u)在(0,2)上單調(diào)遞增;在(2,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)u=2時(shí),g(u)max=4,因此,4為v的最小值.

    二、判別式方法

    這種方法主要適用于解析可以歸為一元二次函數(shù)類(lèi)題型的最值問(wèn)題,如求方程f(x)的最大值,或最小值,這類(lèi)題的解題技巧在于“問(wèn)什么即設(shè)什么”,然后將所設(shè)的數(shù)值代入已知的方程式中,再逐步求出最值.

    解f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2),

    ∵x∈R,f′(x)≥m,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,

    故△=81-12(6-m)≤0,

    三、賦值解題法

    賦值解題法是指首先假定有一個(gè)數(shù)值能使題目中的不等式恒成立,再將所賦值的具體取值范圍解出來(lái),然后再進(jìn)行倒推、證實(shí)題意的方法.

    ∵2xy≤x2+y2成立,

    ∴3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),

    又∵x2+y2≥2xy成立,

    ∴3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y)成立……(2),

    四、聯(lián)結(jié)圖形法

    若題中已經(jīng)給定相關(guān)參數(shù)及其取值范圍的情況下,依舊難以解出答案的情況下,這時(shí)就可以結(jié)合題中方程的圖形,在已知條件與圖形之間建立聯(lián)結(jié),找到解題的切合點(diǎn),然后分情況算出所求數(shù)值的范圍,再將其并集.

    例4現(xiàn)有f(x)=x2-ax+1,當(dāng)a的值域?yàn)楹螘r(shí),可在任意x∈(1,2)的情況下讓不等式f(x)<0恒成立?

    在[1,2]上,有fmax(x)=f(2)=5-2a<0,

    ∴a>3,

    五、偷換主元法

    當(dāng)不等式中不僅僅只有一個(gè)變量的時(shí)候,就適宜采用偷換主元法來(lái)解題.即將已知條件更多的、或給定取值范圍的那一自變量當(dāng)成主元,利用其取值范圍來(lái)解題.

    ∴x2+ax>2x+a-1,即(x-1)2>-a(x-1)在a∈[-1,1]的條件下都能成立.

    令f(a)=a(x-1)+(x-1)2,

    因此,題中所求x的范圍相當(dāng)于解:當(dāng)x要滿(mǎn)足何種條件時(shí)能讓上述函數(shù)在區(qū)間[-1,1]恒為正.

    ∴x>2,或x<0,

    ∴x的取值范圍為:(-∞,0)∪(2,+∞).

    恒成立問(wèn)題的巧妙解決,除了上述幾種策略外,還有諸如定義利用法、綜合解決法等多種解題技巧,高中數(shù)學(xué)老師在選定恒成立問(wèn)題的解題技巧時(shí),要注意將所選的解題技巧與所給題目的性質(zhì)及學(xué)生在此問(wèn)題上已有的認(rèn)知相結(jié)合,選用最優(yōu)的恒成立解題策略,提高解題效率.

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