一種新的偶周期三值四元序列偶的構(gòu)造方法

摘 ?要：提出了一種構(gòu)造偶周期三值自相關(guān)四元序列偶的新方法。構(gòu)造得到的三值自相關(guān)四元序列偶具有良好的自相關(guān)特性。首先利用二階分圓類構(gòu)造出兩個周期為2f的二元序列，然后對兩個二元序列采用逆Gray映射，進(jìn)而得到一個周期為2f的三值自相關(guān)四元序列偶。并對所得到的三值四元序列偶進(jìn)行了重點(diǎn)研究，當(dāng)f≥4時該四元序列偶具有良好的自相關(guān)特性，自相關(guān)函數(shù)分布與Fv的二階分圓類（v=2f+1，f≥4）中的奇偶性有關(guān)，當(dāng)f為奇數(shù)時副峰值為{-4，0}，當(dāng)f為偶數(shù)時副峰值為{-2，2}。

關(guān)鍵詞：三值四元序列偶;二階分圓類;逆Gray映射;自相關(guān)函數(shù);奇偶性

中圖分類號：TN911.1 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：2096-4706（2021）06-0062-04

A New Construction Method of Even Period Quaternary Sequence Pair with Three-level

SHI Yan

（Hebei Chemical & Pharmaceutical College，Shijiazhuang ?050026，China）

Abstract：A new method for constructing even period quaternary sequence pair with three-level autocorrelation is proposed. The constructed quaternary sequence pair with three-level autocorrelation have good autocorrelation characteristics. First，two binary sequences with period of 2f are proposed by second order cyclotomic class，then a new qu-aternary pair with three-level autocorrelation with period 2f is obtained from those two binary sequences by using the reverse Gray mapping. The quaternary sequence pair with three-level is studied，when f≥4 the quaternary sequence pair has good properties of autocorrelation. The distribution of autocorrela-tion function is related to the parity in the second order cyclotomic class of Fv（v=2f+1，f≥4）. When f is odd，the sub peak is {-4，0}，and {-2，2} when f is even.

Keywords：quaternary sequence pair with three-level;second order cyclotomic class;reverse Gray mapping;autocorrelation function;parity

0 ?引 ?言

在空間遙測、現(xiàn)代通信、無線通信系統(tǒng)的信號設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，通常要求信號具有良好的自相關(guān)特性，進(jìn)而能夠有效地提高系統(tǒng)的抗干擾、抗截獲、抗衰落等能力。最佳二元序列是工程應(yīng)用中最理想的循環(huán)相關(guān)信號，但經(jīng)過學(xué)者們研究發(fā)現(xiàn)其存在空間受到很大限制，存在數(shù)量較少。在小于548964900的范圍內(nèi)僅存在長度為4的最佳二元序列[1]。為擴(kuò)大可使用序列的應(yīng)用空間范圍，最佳三元序列、最佳四元序列、幾乎最佳四元序列等信號相繼被提出。但是這些信號的自相關(guān)函數(shù)是用序列與自身延遲序列的內(nèi)積來表示，這種判定信號的最佳自相關(guān)特性的方法很大程度上限制了最佳信號的存在空間。為了克服這種判定方式上的限制，人們又提出了失配序列的概念。失配序列是根據(jù)通信雙方可以使用不同序列的原則來設(shè)計(jì)的，即它是一對互相關(guān)函數(shù)為脈沖函數(shù)的序列信號，失配序列的提出進(jìn)一步擴(kuò)大了信號的存在空間。趙在文獻(xiàn)[2]中第一次提出“偶”的概念，將失配序列有“偶”來表示，進(jìn)而引入一種新的離散信號——序列偶，序列偶是將兩個序列的互相關(guān)函數(shù)定義為這個序列偶的自相關(guān)函數(shù)，并以此來表征序列偶的最佳循環(huán)相關(guān)特性。在此基礎(chǔ)上學(xué)者們先后構(gòu)造出了很多具有良好自相關(guān)特性的序列偶，如二值三元序列偶[3]、三值四元序列偶[4]、三值二元序列偶[5]、最佳四元序列偶[6]和偽隨機(jī)三元序列偶[7]等。

目前，學(xué)者們研究得到的，可用于工程中的最佳四進(jìn)序列偶普遍存在峰值小、平衡性差、存在空間范圍小等缺點(diǎn)。為了進(jìn)一步擴(kuò)大四元序列偶的存在空間，彭等在文獻(xiàn)[4]中給出了一種偶周期三值四元序列偶的構(gòu)造方法，并證明了偶周期三值四元序列偶的最大副峰值至少是2的特性。本文在文獻(xiàn)[4]研究的基礎(chǔ)上，提出了一種基于二階分圓類和逆Gray映射構(gòu)造偶周期三值自相關(guān)四元序列偶的新方法，該方法中用到了二階分圓類和逆Gray映射。此外，本文還分析了當(dāng)二階分圓類中f的奇偶取值不同時，所得到的四元序列偶的自相關(guān)函數(shù)值的分布也會不同。通過本文研究，將為進(jìn)一步滿足工程應(yīng)用中對具有良好自相關(guān)特性離散信號的需求。

1 ?基本定義及引理

定義1[8]：令x=（x0，x1，…，xN-1）和y=（y0，y1，…，yN-1）均是周期為N的序列，由序列x和y組成序列偶記為（x，y），則序列x與y的互相關(guān)函數(shù)：

被定義為序列偶（x，y）的自相關(guān)函數(shù)。其中，為單位元的第n次復(fù)根，j+τ=（j+τ）modN。當(dāng)n=2時為二元序列偶，其元素為-1，+1，分別用0，1來表示;n=4時為四元序列偶，其元素為+1，+j，-1，-j，分別用0，1，2，3來表示。

注意：當(dāng)兩個序列相等時，即x=y時Rx（τ）為x序列的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)被記作：

其中，當(dāng)n=2時為二元序列，當(dāng)n=4時為四元序列。

定義2[4]：設(shè)p和q是兩個周期為N的四元序列，若序列偶（p，q）的自相關(guān)函數(shù)Rpq（τ）滿足：

式中，j+τ=（j+τ）modN。F為四元序列偶（p，q）的峰值，E1，E2為副峰值。H為整數(shù)環(huán)上ZN的一個非零子集，則稱序列偶（p，q）為三值自相關(guān)四元序列偶。

引理1[4]：設(shè)序列偶（p，q）是一個周期為N≡0（mod2）三值自相關(guān)四進(jìn)序列偶，那么四進(jìn)序列偶的最大副峰模值至少是2。

本文的下一部分將給出利用二階分圓類、逆Gray逆映射來構(gòu)造周期為N≡0（mod2）且副峰值是{-4，0}和{-2，2}的四進(jìn)制序列偶的構(gòu)造方法，按照引理1的結(jié)論可知本文得到的四進(jìn)序列偶將具有很好的自相關(guān)特性。

定義3[9]：設(shè)v=2f+1為素數(shù)冪，F(xiàn)v為v階有限域，=

Fv＼{0}，設(shè)α為有限域Fv的本原元，ε=α2，在式中令= {αi，αiε，αiε2，…，αiεf-1}，0≤i≤1，那么稱，為Fv的二階分圓類。

定義4[9]：設(shè)v=ef+1為素數(shù)冪，對0≤i，j≤e-1，令：

或等價地：

則稱（i，j）e為e階分圓數(shù)。當(dāng)無需指明e時，也常將（i，j）e簡記為（i，j）。

引理2：設(shè)，則方程：x+g=y，的解的個數(shù)為（i-k，j-k）。

引理3：分圓數(shù)有如下一些性質(zhì)：

（1），其中 ，;

（2） ;

（3） ?;

（4） ;

（5） 。

定義5[9]：指示函數(shù)定義為：

定義6[10]：在有限域Fv中二階特征函數(shù)被定義為：

φ（ατ）=（-1）τ

φ（0）=0

其中α為Fv的本原元，ατ∈，0≤t≤v-2。

定義7[11]：設(shè)a（t）和b（t）的二元序列，令?-1[a，b]為逆Gray映射，定義為：

運(yùn)用逆Gray映射可以構(gòu)造周期為N的四元序列q（t）=

?-1[a（t），b（t）]，進(jìn)而q（t）可以表示為：

其中，。則四元序列q（t）表示為：

2 ?偶周期三值四元序列偶的構(gòu)造方法

構(gòu)造方法：設(shè)v=2f+1是一個奇素數(shù)，其中f≥4為v階有限域，=Fv＼{0}，設(shè)α為Fv的本原元。偶周期三值四元序列偶的構(gòu)造方法分為以下三個步驟：

第一步：令si={+1|0≤i≤1}，可以通過以下方法得到構(gòu)造序列s（t）：

（1）

其中，上式中變量i，t，k0的取值分別為：0≤i≤1，0≤t≤v-2，k0∈{0，1}。此時應(yīng)滿足以下條件αf=1，，并且2∈s0。

第二步：根據(jù)定義3二階分圓類、定義5指示函數(shù)、定義6二階特征函數(shù)的表示方法，可以將序列s（t）表示為：

（2）

其中，ω2=-1。在這里可以分別取k0=0和k0=1，進(jìn)而得到兩個周期均為N=2f的序列，記為s0（t）和s1（t）。當(dāng)k0=0時，帶入公式（2）可得到：

（3）

當(dāng)k0=1時，帶入公式（2）可得到：

（4）

第三步：對這上述兩個序列s0（t）和s1（t），使用逆Gray映射，得到兩個周期為N=2f的四元序列p（t）和q（t）：

p（t）=?-1[s0（t），s0（t+f）] ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

q（t）=?-1[s1（t），s1（t+f）] ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

進(jìn)而得到四元序列偶（p，q）。根據(jù)上述構(gòu)造方法，可以得到下邊的結(jié)論。

定理1：由式（5）和（6）構(gòu)造得到的四元序列偶（p，q）周期為N=2f，其自相關(guān)函數(shù)的分布分為以下兩種情況：

當(dāng)f≥4且N≡0（mod4）時，其自相關(guān)函數(shù)分布為：

當(dāng)f≥4且N≡2（mod4）時，其自相關(guān)函數(shù)分布為：

證明：根據(jù)定義1中序列偶的自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算方法可知：

由定義5和定義6可進(jìn)一步得到：

下文采用分步計(jì)算的方式來討論、和的取值，進(jìn)而推導(dǎo)出在不同情況下序列偶（p，q）的自相關(guān)函數(shù)Rpq（τ）的取值分布情況。

第一步：計(jì)算和的取值，根據(jù)構(gòu)造方法第二步中推導(dǎo)出的式（3）和（4）可以得到以下結(jié)果：

下文根據(jù)τ的取值，分情況對 ?的取值進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)τ=0時，顯然 ?;

（2）當(dāng)τ=f時， 。

式中，，所以上式等于 ?。

同理可得， 。

（3）當(dāng)τ≠f且τ≠0時，經(jīng)計(jì)算可得：

經(jīng)過以上三種情況的計(jì)算和討論可知 。進(jìn)而得到結(jié)論 。

第二步：計(jì)算 ?，由構(gòu)造方法第二步中推導(dǎo)出的式（3）和（4）可以得到：

下文根據(jù)τ的取值，分情況對上述計(jì)算結(jié)果進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)τ≠0時， ?的計(jì)算式中各部分的取值為：

通過以上討論和計(jì)算可以得到：

（2）當(dāng)τ=0時，很顯然 ?。

第三步：根據(jù)第二步的討論可以知道 ?的取值與τ的取值和f的取值有密切的關(guān)系。下文將分情況對 ?的取值作進(jìn)一步討論。

（1）根據(jù)定義6可知，當(dāng)f為偶數(shù)即N≡0（mod4）時， φ（-1）=1。

其中，當(dāng)τ=0時， 。

當(dāng)τ≠0時， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

當(dāng)τ≠0且為偶數(shù)時，Rpq（τ）=-2。

當(dāng)τ≠0且為奇數(shù)時，Rpq（τ）=2φ（ατ-1）=-2或2。因?yàn)棣羣-1=αm，0≤m≤2f-1，所以當(dāng)m為奇數(shù)時Rpq（τ）= -2，m為偶數(shù)時Rpq（τ）=2。

（2）當(dāng)f為奇數(shù)即N≡2（mod4）時，φ（-1）=-1。

當(dāng)τ=0時，Rpq（τ）=Rs0s1（τ）=2f-2;

當(dāng)τ≠0時，-1;

當(dāng)τ≠0且為偶數(shù)時，Rpq（τ）=2φ（ατ-1）-2=0或-4。因?yàn)棣羣-1=αm，0≤m≤2f-1，所以當(dāng)m為奇數(shù)時Rpq（τ）=

-4，m為偶數(shù)時Rpq（τ）=0。

當(dāng)τ≠0且奇數(shù)時，Rpq（τ）=0。

總結(jié)上面的兩種情況，即f為偶數(shù)N≡0（mod4）和f為奇數(shù)N≡2（mod4）兩種情況，由于自相關(guān)性良好的序列偶主峰值應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于副峰值的取值，且差值越大該序列偶的自相關(guān)性越好。因此f的取值大于等于4時，該構(gòu)造方法得到的四元序列偶的自相關(guān)特性才較為良好，且f的取值越大四元序列偶的自相關(guān)特性越好。由此可知構(gòu)造得到的四進(jìn)序列偶的自相關(guān)函數(shù)值的分布為：

（1）當(dāng)f為偶數(shù)且f≥4，即N≡0（mod4）時，其自相關(guān)函數(shù)分布為：

（2）當(dāng)f為奇數(shù)且f≥4，即N≡2（mod4）時，其自相關(guān)函數(shù)分布為：

證畢。

舉例1：v=2f+1是一個奇素數(shù)，其中v=13，進(jìn)而推出f=6，本原元α=2。

使用文中的構(gòu)造方法，構(gòu)造得到兩個周期為12的二元序列u0（t）和u1（t）：

u0（t）=（000111101001）

u1（t）=（100111101001）

對以上兩個序列運(yùn)用逆Gray映射，進(jìn)而得到兩個周期為12的四元序列p（t）和q（t）：

p（t）=（101332303112）

q（t）=（201332203112）

經(jīng)計(jì)算四元序列偶（p，q）的周期為12，其自相關(guān)函數(shù)值為：

Rpq（τ）={10，-2，-2，2，-2，2，-2，-2，-2，-2，-2，2}。

舉例2：v=2f+1是一個奇素數(shù)，其中v=11，進(jìn)而推出f=5，本原元α=2。

使用文中的構(gòu)造方法，構(gòu)造得到兩個周期為10的二元序列u0（t）和u1（t）：

u0（t）=（0001001110）

u1（t）=（1001001110）

對以上兩個序列運(yùn)用逆Gray映射，進(jìn)而得到兩個周期為10的四元序列p（t）和q（t）：

p（t）=（0112003320）

q（t）=（3112013320）

經(jīng)計(jì)算四元序列偶（p，q）的周期為10，其自相關(guān)函數(shù)值為：

Rpq（τ）={10，0，-4，0，-4，0，0，0，0，0}。

3 ?結(jié) ?論

本文中提出了一種新的構(gòu)造三值自相關(guān)四元序列偶的方法，該方法具有良好的技術(shù)特性和應(yīng)用特性：

（1）該方法構(gòu)造出的三值四元序列偶自相關(guān)函數(shù)值的分布與f的奇偶性和f的取值大小有關(guān)，當(dāng)f為奇數(shù)即N≡2（mod4）時副峰值為{-4，0}，主峰值為2f-2。當(dāng)f為偶數(shù)即N≡0（mod4）時副峰值為{-2，2}，主峰值為2f-2。當(dāng)f的取值大于等于4時，該構(gòu)造方法得到的四元序列偶的自相關(guān)特性才較為良好，且f的取值越大四元序列偶的自相關(guān)特性越好。

（2）通過本文研究進(jìn)一步建立了分圓類與四元序列偶之間的聯(lián)系，豐富了四元序列偶的構(gòu)造方法，同時為工程應(yīng)用提供了更多的選擇。

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作者簡介：石妍（1989—）女，漢族，河北石家莊人，中級講師，碩士，研究方向：擴(kuò)頻通信及信道編碼。