求解非線性方程的一類(lèi)改進(jìn)型牛頓迭代法

陳 偉，蔡 靜，高壽蘭

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院, 浙江 湖州 313000)

0 引 言

牛頓迭代法是求解非線性方程f(x)=0最常用的數(shù)值方法之一.牛頓迭代法的幾何意義鮮明、形式簡(jiǎn)單，并在單根附近具有二階收斂速度.但牛頓迭代法的計(jì)算過(guò)程需要調(diào)用導(dǎo)數(shù)值，這對(duì)函數(shù)的可導(dǎo)性要求很高，同時(shí)需要較大的計(jì)算量，且其局部收斂性還要求迭代的初值與精確根很靠近，這極大地限制了它的應(yīng)用范圍.

近年來(lái)，很多文獻(xiàn)對(duì)牛頓迭代法做了進(jìn)一步的修改與推廣.文獻(xiàn)[1]給出了經(jīng)典牛頓迭代法的兩種修正形式，并證明它們具有三階收斂速度.文獻(xiàn)[2]和[3]利用先用牛頓迭代法預(yù)估后校正的方法對(duì)牛頓迭代法進(jìn)行改進(jìn)，并證明其在一定條件下至少具有三階收斂速度.文獻(xiàn)[4]利用動(dòng)力系統(tǒng)的李雅普諾夫方法，克服了f(x)的單調(diào)性和特殊情況f′(x)=0.文獻(xiàn)[5]通過(guò)差商和局部指數(shù)逼近類(lèi)似，構(gòu)造了一類(lèi)不需要計(jì)算導(dǎo)數(shù)值的超線性收斂指數(shù)下降迭代法.文獻(xiàn)[6]提出一種新的二階收斂迭代法，解決了非線性方程f(x)=0在某區(qū)間的求根和某些常微分方程的初值問(wèn)題.文獻(xiàn)[7]將Liapunov方法與指數(shù)逼近法結(jié)合，構(gòu)造了一種新的二階收斂指數(shù)迭代法.文獻(xiàn)[8]利用割線代替切線的方法，得到了不帶導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的具有線性收斂的單點(diǎn)割線法和具有超線性收斂的雙點(diǎn)割線法.文獻(xiàn)[9]給出一種以割線代替導(dǎo)數(shù)，從而避免導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的二階收斂迭代公式.文獻(xiàn)[10]利用微分中值定理的漸進(jìn)性和線性插值構(gòu)造了一個(gè)四階的迭代公式.文獻(xiàn)[11]利用差商構(gòu)建了一種避免導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的二階收斂牛頓迭代法.文獻(xiàn)[12]基于切比雪夫正交多項(xiàng)式零點(diǎn)插值誤差的極小化性質(zhì),構(gòu)造了非線性方程求根的一類(lèi)迭代算法,其具有超線性收斂速度.

本文通過(guò)添加兩個(gè)參數(shù)，同時(shí)對(duì)牛頓迭代法進(jìn)行先預(yù)估再矯正，構(gòu)造一種具有雙參數(shù)的改進(jìn)型牛頓迭代法.通過(guò)調(diào)整兩個(gè)參數(shù)的值可以有效提高迭代法的收斂速度，且在一般情況下比牛頓迭代法具有更快的收斂速度.

1 算法構(gòu)造

參照文獻(xiàn)[4]和[8],引入一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)：

(1)

其中，U(x*)為x*的某領(lǐng)域，μ為參數(shù).顯然，方程f(x)=0的根x*是動(dòng)力系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)，反之相同.

由此可見(jiàn)，動(dòng)力系統(tǒng)(1)給求解方程f(x)=0提供了各種各樣的可能性，采用不一樣的數(shù)值方程求解動(dòng)力系統(tǒng)(1)就能得到不一樣的求解方程f(x)=0的迭代方法.

由泰勒公式(麥克勞林公式)可對(duì)函數(shù)進(jìn)行如下展開(kāi)：

本文將用到此公式k=-1的形式：

若利用Euler法，則可得：

xn+1=xn-hnf(xn)/[μf(xn)+f′(xn)].

(2)

在式(2)中，如果取hn=1，則可得到迭代公式：

xn+1=φ(xn),φ(x)=x-f(x)/[μf(x)+f′(x)].

(3)

當(dāng)f(x)在U(x*)內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí)，容易得到φ(x*)=0，φ′(x*)≠0，則迭代公式(3)是平方收斂的.

在式(3)中，如果取μ=0，則可得到經(jīng)典的牛頓迭代法：

(4)

文獻(xiàn)[11]對(duì)式(4)進(jìn)行了修改，構(gòu)造了一種避免導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的迭代法：

(5)

參考上述文獻(xiàn)的構(gòu)造思想，本文對(duì)牛頓迭代法進(jìn)行如下改進(jìn)：

首先，利用式(3)進(jìn)行預(yù)估：

最后，得到如下具有雙參數(shù)的改進(jìn)牛頓迭代法：

(6)

2 收斂性分析

由Euler法和傳統(tǒng)牛頓迭代法的一些相關(guān)結(jié)論，不難證明根據(jù)式(6)改進(jìn)的迭代公式在一定條件下是收斂的.因此，下面只需對(duì)迭代公式進(jìn)行收斂階的證明.

定理2設(shè)f(x)：I→R在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)充分光滑.如果a∈I是f(x)=0的單根，且x0充分靠近a，則由式(6)構(gòu)造的具有參數(shù)的改進(jìn)牛頓迭代法至少具有二階收斂速度.

證明令

en=xn-a,ck=f(k)(a)/[k!f′(a)],k=2,3,4.

將f(x)在a處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，得：

(7)

(8)

將式(7)和式(8)代入式(6)，得：

整理后得：

(9)

利用泰勒公式對(duì)式(9)進(jìn)行展開(kāi)，只需展開(kāi)到第4項(xiàng)，得：

即

則

(10)

由式(8)得：

(11)

將式(7)和式(11)代入式(6)，得：

a+

(12)

利用泰勒公式對(duì)式(12)進(jìn)行展開(kāi)，只需展開(kāi)到第3項(xiàng)，得：

即

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面通過(guò)求解非線性方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]的解，將迭代公式(3)、牛頓迭代法(4)、迭代公式(5)與本文迭代公式(6)進(jìn)行比較.

例1求f(x)=4x7+x6-5x5+3x4+x3-7x2+7x-2=0在區(qū)間[0,1]內(nèi)的根.

初始值取x0=0.5,終止條件為|xn+1-xn|<10-6.迭代公式(3)取μ=-1，迭代公式(5)取A=1,B=0，迭代公式(6)取λ=0.5，μ=-1.例1中4類(lèi)迭代法的收斂速度比較見(jiàn)表1.

表1 例1中4類(lèi)迭代法的收斂速度比較

例2求f(x)=2cosx-3x+3=0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根.

初始值取x0=1.5,迭代公式(3)取μ=-1，迭代公式(5)取A=1,B=0,迭代公式(6)取λ=0.5，μ=-1，終止條件為|xn+1-xn|<10-6.例2中4類(lèi)迭代法的收斂速度比較見(jiàn)表2.

表2 例2中4類(lèi)迭代法的收斂速度比較

從例1和例2的數(shù)值結(jié)果可以看出，本文給出的迭代公式(6)的迭代結(jié)果精度明顯優(yōu)于其他各類(lèi)修正的牛頓迭代法，且收斂速度更快.