基于徑向基模型和巴氏距離的隨機(jī)有限元模型修正

張亞峰， 彭珍瑞， 張雪萍， 董康立

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070；2.浙江大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程與儀器科學(xué)學(xué)院，杭州 310027)

當(dāng)前絕大多數(shù)的模型修正法都屬于確定性方法，沒有考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)和響應(yīng)的不確定性，從而降低了其工程實際的應(yīng)用價值。由于工程問題普遍存在不確定性，如結(jié)構(gòu)材料參數(shù)與幾何尺寸的不確定性，結(jié)構(gòu)在服役期間的各類裝配帶來的裝配不確定性，試驗測試數(shù)據(jù)的不確定性和噪聲等因素的影響，不確定性廣泛存在于實際結(jié)構(gòu)的參數(shù)和響應(yīng)中是無法回避的問題[1-2]。隨機(jī)模型修正法屬于不確定性模型修正法，由于真實結(jié)構(gòu)的測量數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，結(jié)構(gòu)模型的修正參數(shù)必須是隨機(jī)的，基于隨機(jī)測量數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)修正過程稱為隨機(jī)模型修正[3]。隨機(jī)模型修正可以使實測統(tǒng)計數(shù)據(jù)與預(yù)測的隨機(jī)響應(yīng)或基本動態(tài)特性之間的誤差減小，因此，隨機(jī)模型修正具有重要意義[4-5]。

在模型修正過程中使用代理模型替代有限元模型均可減小計算量，是解決復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的有效途徑之一[6]。常見的代理模型主要有多項式響應(yīng)面模型、徑向基函數(shù)模型(radial basis function，RBF)、Kriging模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[7]。徑向基代理模型以其結(jié)構(gòu)簡單、預(yù)測精度高和能以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)的優(yōu)點，已被廣泛應(yīng)用于土木、航天和機(jī)械等領(lǐng)域[8]。近年來，眾多學(xué)者研究了考慮不確定性的模型修正法，并取得了成果。姚春柱等[9]提出了針對參數(shù)不確定性的綜合貝葉斯有限元模型修正法。方圣恩等[10]提出了一種隨機(jī)模型修正法以確定結(jié)構(gòu)不確定性參數(shù)的概率統(tǒng)計特性，使得模型修正的應(yīng)用更符合工程實際。Wan等[11]采用貝葉斯法對參數(shù)不確定性進(jìn)行量化的隨機(jī)模型修正。陳喆等[12]研究了考慮試驗?zāi)B(tài)參數(shù)不確定性的有限元模型修正法。Jalali等[13]利用貝葉斯識別法對連接模型參數(shù)中的不確定性進(jìn)行識別。Bi等[14]通過近似貝葉斯計算模型修正框架，進(jìn)一步推廣了巴氏距離作為一種新的不確定性度量的應(yīng)用。秦仙蓉等[15]研究了考慮參數(shù)不確定性的隨機(jī)有限元模型修正法能有效修正岸橋結(jié)構(gòu)參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。Huang等提出了一種基于混合攝動-加勒金的隨機(jī)模型修正法。Zhao等[16]提出了一種魯棒性隨機(jī)模型修正法，更好地估計參數(shù)的不確定性。然而，這些方法都是基于模態(tài)參數(shù)的模型修正法。在基于模態(tài)參數(shù)的模型修正方法中，實測模態(tài)參數(shù)的不完備性和模態(tài)分析誤差可能會對修正后的模型產(chǎn)生顯著的影響[17]，與其相比，基于頻響函數(shù)(frequency response function，F(xiàn)RF)的模型修正方法具有以下優(yōu)點[18-19]：避免了模態(tài)識別過程中的誤差；測量數(shù)據(jù)的不完備性對基于FRF的模型修正法影響較小；FRF中包含的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)信息多于模態(tài)參數(shù)中包含的結(jié)構(gòu)信息；FRF具有互易性，在一點得到的數(shù)據(jù)可以通過另一點得到驗證，因此，這些數(shù)據(jù)具有更高的可信度。巴氏距離是一種基于離散和連續(xù)概率分布的相似性計算方法，它可以對兩者的重疊量進(jìn)行近似計算，以此實現(xiàn)兩者的相關(guān)性度量。巴氏距離度量可以測量得到不確定性度量的特征，而不會丟失重要信息，且可以同時對所有特征進(jìn)行度量，實現(xiàn)對多個不確定性特征精細(xì)、量化和統(tǒng)一的度量。

綜上，結(jié)合FRF和巴氏距離的優(yōu)勢，本文提出了基于徑向基模型和巴氏距離的隨機(jī)有限元模型修正法。首先，將加速度FRF通過小波變換，提取第5層低頻小波系數(shù)作為輸出響應(yīng)特征量來構(gòu)造徑向基模型，并通過土狼優(yōu)化算法(coyote optimization algorithm，COA)確定徑向基模型的方差值。然后，通過花朵授粉算法(flower pollination algorithm,FPA)最小化巴氏距離進(jìn)行兩步(①拉近兩個分布的距離，修正參數(shù)均值；②根據(jù)已修正的參數(shù)均值來修正參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差)和同步求解待修正參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。最后通過平面桁架結(jié)構(gòu)和空間桁架結(jié)構(gòu)驗證了本文所提方法的有效性。

1 小波變換

小波變換通過伸縮平移運算對信號逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)[20]。

對一維信號y(t)的小波變換，給定一個基函數(shù)ψ(t)，令

(1)

式中:a為伸縮因子；b為尺度因子。為計算方便，在實際分析和應(yīng)用中，需將連續(xù)小波及小波系數(shù)進(jìn)行離散化處理，則y(t)的小波變換為

t=1,2,…,n

(2)

式中,WTy(a,b)為y(t)的小波系數(shù)。對比多次試驗效果，本文中設(shè)定基函數(shù)為db3，分解層數(shù)為5層。對加速度FRF進(jìn)行小波分解，提取第5層低頻小波系數(shù)作為構(gòu)造徑向基模型的輸出，也作為加速度頻響函數(shù)的響應(yīng)特征量進(jìn)行模型修正。

2 徑向基模型的構(gòu)造

2.1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基本原理

在d維設(shè)計空間中生成一組數(shù)量為k的初始樣本點x1,x2,…,xk∈Rd，目標(biāo)的真實響應(yīng)值為y(x1),y(x2),…,y(xk)，徑向基插值函數(shù)的數(shù)學(xué)形式為：

(3)

由s(xi)=y(xi)，可得：Φ·W=Y，即W=Φ-1×Y，式中，W=[w1,w2,…,wi]T為權(quán)系數(shù)向量，Y=[y(x1),y(x2),…,y(xk)]T

(4)

選用應(yīng)用較廣的高斯插值基函數(shù)，表達(dá)式為

(5)

2.2 土狼優(yōu)化算法(COA)

COA是由Pierezan等[21]提出的用于全局優(yōu)化的自然啟發(fā)的元啟發(fā)式算法。COA包括隨機(jī)初始化土狼群、隨機(jī)分組、土狼生死和被組驅(qū)離與接納等過程。

(1) 隨機(jī)初始化土狼群。將全體土狼分為Np個組，每組中有Nc只，參數(shù)維數(shù)為D，參數(shù)上下界為lb和ub。如式(6)所示

socj=lbj+rj(ubj-lbj)

(6)

式中,rj為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，j=1,2,…,D。評估每個土狼的社會適應(yīng)能力并隨機(jī)分組。

(2) 尋找組內(nèi)最優(yōu)的alpha狼，并聯(lián)系所有土狼的信息，計算群體的文化趨勢。

(3) 組內(nèi)的文化互動，即土狼受到alpha狼影響(δ1)和群體影響(δ2)。

(4) 更新土狼的社會條件，如式(7)所示

new_soc=soc+r1×δ1+r2×δ2

(7)

式中,r1和r2為[0,1]中的隨機(jī)數(shù)。使用貪心算法優(yōu)勝劣汰，保留最優(yōu)土狼。

(5) 考慮生命中主要兩個事件，即出生和死亡。新土狼的誕生是由隨機(jī)選擇雙親的遺傳因子和環(huán)境影響共同作用的結(jié)果，例如

(8)

ps=1/D,pa=(1-ps)/2

(9)

幼崽在出生之前就有10%的死亡率，且土狼的年齡越大死亡的機(jī)率就越大。

2.3 徑向基模型構(gòu)造及驗證

建立一個嚴(yán)格徑向基模型，需要先設(shè)定一個方差值σ2，方差值直接影響徑向基模型的預(yù)測精度。采用拉丁超立方抽樣方法抽取初始待修正參數(shù)±20%區(qū)間內(nèi)的樣本，將其分為訓(xùn)練集和測試集(訓(xùn)練集和測試集數(shù)據(jù)互不相同)，并計算相應(yīng)的響應(yīng)特征量。建立目標(biāo)函數(shù)

(10)

(11)

3 巴氏距離

巴氏距離在信號處理、特征提取和模式識別等方面得到了廣泛的應(yīng)用。巴氏距離用來度量兩個概率分布之間的相似性。

在連續(xù)域Y上的概率密度分布函數(shù)為P(y)和Q(y)，巴氏系數(shù)定義為

(12)

式中,0≤ρ≤1。巴氏距離的定義為

BD(P,Q)=-lnρ

(13)

式中,0≤BD(P,Q)≤∞，對于離散域，離散巴氏距離重新定義為

(14)

由式(12)和式(13)可知，若兩個分布沒有重疊，巴氏系數(shù)將會等于0或趨于0，則巴氏距離為無窮大，反之，若兩個分布相同，巴氏系數(shù)將會等于1或趨于1，則巴氏距離為0或趨于0，因此，巴氏距離的大小取決于巴氏系數(shù)。巴氏距離越小，表示兩個概率分布越相似。

對于多變量高斯分布P=N(mP,θP)和Q=N(mQ,θQ)，巴氏距離具體公式為

(15)

式中,θ=(θP+θQ)/2。

4 模型修正過程

利用FPA進(jìn)行隨機(jī)有限元模型修正。FPA具有異花授粉(全局尋優(yōu))和自花授粉(局部尋優(yōu))兩大特性。異花授粉過程可以逃離任何局部景觀，進(jìn)而探索更大的空間；自花授粉過程使相似的解被更頻繁地選擇，從而保證更快地收斂，其收斂速度本質(zhì)上是指數(shù)，因此尋優(yōu)效率更高，性能優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法[22]。

(1) 兩步修正參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。第一步拉近兩個分布的距離，因此，運用FPA先修正參數(shù)均值，構(gòu)造如下目標(biāo)函數(shù)

(16)

第二步根據(jù)已修正的均值，產(chǎn)生服從高斯分布的2 000個隨機(jī)樣本，通過已構(gòu)造的徑向基模型預(yù)測隨機(jī)樣本響應(yīng)特征量，運用FPA以最小化巴氏距離為目標(biāo)函數(shù)修正參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差。值得說明，每次迭代過程中，都需根據(jù)已修正的均值來重新產(chǎn)生服從高斯分布的2 000個隨機(jī)樣本參與有限元模型修正。模型修正流程如圖1所示。

圖1 模型修正流程圖

(2) 同步修正參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。隨機(jī)抽取服從高斯分布的2 000個隨機(jī)樣本，通過已構(gòu)造的徑向基模型預(yù)測隨機(jī)樣本響應(yīng)特征量，運用FPA直接以巴氏距離為目標(biāo)函數(shù)同時求解待修正參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。值得說明，每次迭代過程中，同樣重新產(chǎn)生服從高斯分布的2 000個隨機(jī)樣本參與有限元模型修正。

5 數(shù)值算例

5.1 平面桁架

平面桁架結(jié)構(gòu)，如圖2所示。該桁架模型由36個桿單元組成，共有16個節(jié)點和29個自由度，單元橫截面積為1 cm2，箭頭為激勵位置，?為測點位置。選擇結(jié)構(gòu)彈性模量(E)和材料密度(d)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差作為模型待修正參數(shù)。初始有限元模型E和d的均值分別為231 GPa和7 020 kg/m3，試驗?zāi)Ｐ虴和d的均值分別為210 GPa和7 800 kg/m3，標(biāo)準(zhǔn)差分別為2.2和25。初始有限元模型E與d的均值和試驗?zāi)Ｐ虴與d的均值的相對誤差分別為10%和-10%。

圖2 平面二維桁架結(jié)構(gòu)

采用拉丁超立方抽樣方法抽取550組樣本，選取前450組作為訓(xùn)練集，后100組作為測試集。采用2.3節(jié)方法構(gòu)造徑向基模型，得到徑向基模型的方差值為0.108 4，迭代情況如圖3所示。然后根據(jù)式(11)計算得到RMSE為3.74×10-5。為了進(jìn)一步評估徑向基模型的預(yù)測精度，測試集樣本第11響應(yīng)特征量和第16響應(yīng)特征量的有限元模型值和徑向基模型預(yù)測值的重合如圖4所示。從圖4可知，徑向基模型預(yù)測值和有限元值幾乎全部重合，說明所建立的徑向基模型預(yù)測精度很高，可以替代有限元模型。

圖3 COA迭代曲線

圖4 測試集樣本的預(yù)測值和真實值

以試驗?zāi)Ｐ蛥?shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)抽取服從高斯分布的200個樣本進(jìn)行計算有限元模型加速度FRF，通過小波變換提取第5層低頻小波系數(shù)作為仿真試驗響應(yīng)特征量。值得說明，在實際應(yīng)用中很難得到大樣本試驗數(shù)據(jù)，因此可以使用半試驗樣本數(shù)據(jù)。兩步修正：根據(jù)式(16)，計算仿真試驗響應(yīng)特征量的均值，并通過FPA迭代修正參數(shù)均值。然后，依據(jù)已修正均值，修正標(biāo)準(zhǔn)差，參數(shù)修正后的結(jié)果如表1所示。

表1 平面桁架結(jié)構(gòu)修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差

由表1可以看出，對結(jié)構(gòu)參數(shù)均值修正的相對誤差值很小，且對結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差修正的相對誤差小于4%，表明本文所提兩步進(jìn)行隨機(jī)模型修正取得了很好的效果。為進(jìn)一步驗證修正效果，使用表1中修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)均值計算修正后的有限元模型加速度頻響函數(shù)均值(稱為徑向基模型加速度頻響函數(shù))。圖5給出了初始有限元模型、試驗?zāi)Ｐ秃蛷较蚧Ｐ偷募铀俣阮l響函數(shù)均值曲線，從圖5可以看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷募铀俣阮l響函數(shù)均值曲線基本重合。然后以修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)抽取服從高斯分布的200個樣本計算修正后的有限元模型響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)。圖6給出了修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?2和第16響應(yīng)特征量分布云圖及相應(yīng)95%的置信橢圓，從圖6可看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷闹眯艡E圓大小(反映標(biāo)準(zhǔn)差大小的差異)基本一致。圖7和圖8分別給出了修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?3和第17響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)，從圖7和圖8可以看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷母怕拭芏群瘮?shù)曲線充分接近。

圖5 頻響函數(shù)曲線

圖6 分布云圖及置信橢圓

圖7 重合度分布圖

圖8 重合度分布圖

同步修正：使用與兩步修正相同的試驗數(shù)據(jù)來同時求解參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。修正迭代情況如圖9所示。修正結(jié)果如表2所示。

圖9 花朵授粉算法同時修正均值標(biāo)準(zhǔn)差迭代曲線

由表2可知，同步修正參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差值很小，與兩步修正具有同樣的效果，而在時間上相比兩步修正節(jié)省了許多。同樣，以表2修正后的參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)抽取服從高斯分布的200個樣本計算修正后的有限元模型響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)。圖10給出了修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?2和第16響應(yīng)特征量分布云圖及相應(yīng)95%的置信橢圓，從圖10可看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷闹眯艡E圓大小基本一致。圖11和圖12分別給出了修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?3和第17響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)，從圖11和圖12可以看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷母怕拭芏群瘮?shù)曲線充分接近。綜上，驗證了本文所提同步隨機(jī)模型修正的有效性。

表2 平面桁架結(jié)構(gòu)修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差

5.2 空間桁架

空間桁架結(jié)構(gòu),如圖13所示。該桁架模型由72個桿單元組成，共有20個節(jié)點和48個自由度，單元橫截面積為1 cm2，箭頭表示激勵位置和?表示測點位置。選擇結(jié)構(gòu)彈性模量(E)和材料密度(d)的均值及標(biāo)準(zhǔn)差為模型待修正參數(shù)。初始有限元模型E和d的均值分別為209 GPa和7 020 kg/m3，試驗?zāi)Ｐ虴和d的均值分別為190 GPa和7 800 kg/m3，標(biāo)準(zhǔn)差分別為2和25。初始有限元模型E與d的均值和試驗?zāi)Ｐ虴與d的均值的相對誤差分別為10%和-10%。

圖13 空間三維桁架結(jié)構(gòu)

采用拉丁超立方抽樣方法抽取600組樣本，選取前500組作為訓(xùn)練集，后100組作為測試集。采用2.3節(jié)所述方法建立徑向基模型，得到徑向基模型的方差值為0.101 3。根據(jù)式(11)計算得到RMSE為9.29×10-5。為了進(jìn)一步評估徑向基模型的預(yù)測精度，測試集樣本第7響應(yīng)特征量和第15響應(yīng)特征量的有限元模型值和徑向基模型預(yù)測值的重合圖,如圖14所示。從圖14可知，徑向基模型預(yù)測值和有限元值幾乎全部重合，同樣說明所建立的徑向基模型預(yù)精度很高，可以替代有限元模型。

以試驗?zāi)Ｐ蛥?shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)抽取服從高斯分布的200個樣本進(jìn)行計算有限元模型加速度FRF，通過小波變換并提取第5層低頻小波系數(shù)作為仿真試驗響應(yīng)特征量。兩步修正：根據(jù)式(16)計算仿真試驗響應(yīng)特征量的均值，通過FPA迭代尋優(yōu)，修正參數(shù)均值，迭代情況如圖15所示。然后，依據(jù)已修正均值來修正標(biāo)準(zhǔn)差，迭代情況如圖16所示。參數(shù)修正后的結(jié)果如表3所示。

表3 空間桁架結(jié)構(gòu)修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差

由表3可知，對參數(shù)均值修正的相對誤差值很小，且對標(biāo)準(zhǔn)差修正的相對誤差小于4%，表明本文所提方法進(jìn)行隨機(jī)模型修正取得了很好的效果。為了進(jìn)一步驗證修正效果，圖17給出了初始有限元模型、試驗?zāi)Ｐ秃蛷较蚧Ｐ偷募铀俣阮l響函數(shù)均值曲線，從圖17可以看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷募铀俣阮l響函數(shù)均值曲線基本重合。然后以修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差抽取服從高斯分布的200個樣本計算修正后的有限元模型響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)。圖18給出了修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?和第15響應(yīng)特征量分布云圖及相應(yīng)95%的置信橢圓，從圖18可以看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷闹眯艡E圓大小基本一致。圖19和圖20分別給出了修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?和第18響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)，從圖19和圖20可以看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷母怕拭芏群瘮?shù)曲線充分接近。

圖17 頻響函數(shù)

圖18 特征量分布云圖及置信橢圓

圖19 特征量重合度分布圖

圖20 特征量重合度分布圖

同步修正：使用與兩步修正相同的試驗數(shù)據(jù)同時求解參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。修正迭代情況如圖21所示。修正結(jié)果如表4所示。

由表4可知，同步修正參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的相對誤差值很小，與兩步修正具有同樣的效果。由圖15、圖16與圖21相比可知，同步修正參數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差迭代200次之前就已收斂，而兩步修正第二步修正參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差迭代收斂需要500次以上，因此，在時間上同步修正相比兩步修正節(jié)省了許多。同樣，以表4中修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)抽取服從高斯分布的200個樣本計算修正后的有限元模型響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)。圖22給出了修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?和第15響應(yīng)特征量分布云圖及相應(yīng)95%的置信橢圓，從圖22可看出，修正后有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷闹眯艡E圓大小基本一致。圖23和圖24分別給出了修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?和第18響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)，從圖23和圖24可以看出，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷母怕拭芏群瘮?shù)曲線充分接近。綜上，驗證了本文所提同步修正進(jìn)行隨機(jī)有限元模型修正的有效性。

表4 空間桁架結(jié)構(gòu)修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差

圖21 花朵授粉算法同時修正均值標(biāo)準(zhǔn)差迭代曲線

進(jìn)一步驗證同步修正的有效性。初始有限元模型E和d的均值分別為209 GPa和7 020 kg/m3，試驗?zāi)Ｐ虴和d的均值分別為180 GPa和7 900 kg/m3，標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.8和40。初始有限元模型E與d的均值和試驗?zāi)Ｐ虴與d的均值的相對誤差分別為16.111%和-11.139%。以試驗?zāi)Ｐ蛥?shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)抽取服從高斯分布的200個樣本得到第5層低頻小波系數(shù)作為仿真試驗響應(yīng)特征量。同時求解參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差，修正結(jié)果如表5所示。

表5 空間桁架結(jié)構(gòu)修正前后結(jié)構(gòu)參數(shù)均值與標(biāo)準(zhǔn)差

圖25給出了修正后模型和試驗?zāi)Ｐ偷牡?響應(yīng)特征量和第15響應(yīng)特征量分布云圖和相應(yīng)95%的置信橢圓。從圖25可知，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷闹眯艡E圓大小基本一致。第18響應(yīng)特征量的概率密度函數(shù)，如圖26所示。從圖26可知，修正后的有限元模型和試驗?zāi)Ｐ偷母怕拭芏群瘮?shù)曲線充分接近。綜上，表明本文所提同步修正在不同的試驗響應(yīng)下的修正具有魯棒性。同樣兩步修正也具有此魯棒性。

圖25 特征量分布云圖及置信橢圓

圖26 特征量重合度分布圖

6 結(jié) 論

(1) 考慮參數(shù)隨機(jī)不確定對結(jié)構(gòu)響應(yīng)分布的影響和巴氏距離在不確定性度量的優(yōu)勢，為此，本文提出以參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差為修正目標(biāo)的兩步和同步的隨機(jī)模型修正方法，修正效果都較好。兩個算例表明，兩步和同步修正皆可以較好地修正參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，且在不同的試驗響應(yīng)下對參數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差的修正具有魯棒性，具有較大的工程應(yīng)用潛力。

(2) 由于兩步修正需要兩步迭代求解參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，且在第二步求解參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的迭代收斂速度就已慢于同步修正求解參數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差的迭代收斂速度，因此，雖然兩步和同步修正都可以達(dá)到相同的效果，但在時間上同步修正相比兩步修正節(jié)省了許多。

(3) 在使用參數(shù)樣本參與不確定性模型修正時構(gòu)造了徑向基模型，并采用優(yōu)化算法確定徑向基模型的方差值，使所構(gòu)造的徑向基模型具有良好的擬合精度和預(yù)測能力，能代替有限元模型進(jìn)行迭代計算，提高模型修正效率。

(4) 將頻響函數(shù)經(jīng)過小波變換，提取第5層低頻小波系數(shù)作為隨機(jī)模型修正響應(yīng)特征量，具有保留頻響函數(shù)特性的優(yōu)點，且可大量減少輸出響應(yīng)數(shù)目，提高了模型修正計算效率。