巖石廣義流變?nèi)崃?、模量時間依存性

張海龍，湯 楊，任 汀，大久保誠介

(1.重慶文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，重慶 402160；2.中國建筑第七工程局有限公司，河南 鄭州 450004；3.重慶三峽學(xué)院 土木工程學(xué)院，重慶 404000)

巖石的蠕變和應(yīng)力松弛特性呈現(xiàn)出明顯的時間依存性[1–2]，兩種流變特性與長期強度直接影響到地下工程的穩(wěn)定性和安全性[3–4]。然而，很多深部巖體工程中，巖體既不是純?nèi)渥儯膊皇羌儜?yīng)力松弛，而是隨著時間的增加，應(yīng)力和應(yīng)變同時發(fā)生變化，表現(xiàn)出時間依存性，導(dǎo)致巖體最終破壞，這種現(xiàn)象用一般的蠕變和應(yīng)力松弛很難解釋清楚[5]。Fukui等[6]把應(yīng)力和應(yīng)變同時發(fā)生變化的這種現(xiàn)象稱為廣義應(yīng)力松弛。Okubo等[7]利用非線性黏彈性模型對三城目安山巖廣義應(yīng)力松弛試驗結(jié)果進行了數(shù)值計算。張海龍等[5]基于Maxwell模型的可變模量本構(gòu)方程對河津凝灰?guī)r廣義應(yīng)力松弛試驗進行了數(shù)值模擬，并系統(tǒng)介紹了單軸壓縮荷載下廣義應(yīng)力松弛的工程物理意義。張海龍[8]將隨著時間的增加，應(yīng)力和應(yīng)變同時發(fā)生變化的這種現(xiàn)象稱為廣義流變。廣義流變試驗需要能夠長期準確控制應(yīng)力和應(yīng)變信號，且通過以應(yīng)力和應(yīng)變的組合作為反饋信號（應(yīng)力歸還控制）的伺服試驗機來實現(xiàn)。張海龍等[9]利用變阻器技術(shù)實現(xiàn)了應(yīng)力歸還控制，并執(zhí)行了不同巖石的廣義流變試驗，對不同條件下的廣義流變時效特性進行了深入研究。許江等[10]執(zhí)行了不同圍壓條件下的廣義流變試驗，結(jié)果顯示廣義流變具有明顯的圍壓影響效應(yīng)。

蠕變和應(yīng)力松弛是巖石材料固有的時效特性，與巖石工程長期穩(wěn)定性密切相關(guān)[2,11–12]。流變過程中會導(dǎo)致材料損傷不斷發(fā)展，使巖石整體強度下降。大型巖體工程施工中，由于區(qū)域地應(yīng)力水平較高，工程施工期及運行期圍巖流變現(xiàn)象可能顯著影響工程施工安全及長期穩(wěn)定性[13–16]。蠕變和應(yīng)力松弛是廣義流變的兩種特殊形式，蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ渴菑V義流變的重要特性，在線性黏彈性理論中，明確了蠕變?nèi)崃颗c松弛模量的一般實用表達式[17–19]。黃文柯[20]、劉軍虎[21]、陽建紅[22]等針對瀝青混合料蠕變試驗結(jié)果，采用擬合的方法得到蠕變?nèi)崃颗c松弛模量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。Sun等[23]通過三點彎曲蠕變試驗計算了高黏度瀝青砂的松弛模量。Kassem等[24]通過有限元法計算了火箭彈藥柱蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ康谋磉_式，得到蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ孔儺愊禂?shù)在同一量級上。

綜上所述，蠕變?nèi)崃坑扇渥冊囼灚@得，松弛模量由應(yīng)力松弛試驗獲得，在線性黏彈性理論中，兩者之間可相互轉(zhuǎn)換，沒有本質(zhì)的區(qū)別[25]；但在巖石的非線性黏彈性行為中，兩者關(guān)系還不明確，由應(yīng)力歸還控制實現(xiàn)的廣義流變?yōu)檠芯績烧哧P(guān)系提供了可能，本文通過引入廣義流變理論研究兩者關(guān)系，從而揭示巖石非線性流變的廣義屬性。

1 試驗方法

Wawersik等[26]把巖石分為Ⅰ類和Ⅱ類巖石，Ⅰ類巖石峰后破壞曲線緩慢下降，呈延性破壞；Ⅱ類巖石峰后破壞曲線急劇下降，呈脆裂破壞。本文選擇Ⅰ類巖石（田下凝灰?guī)r）和Ⅱ類巖石（三城目安山巖）進行廣義流變試驗，這兩種巖石都來自于日本，田下凝灰?guī)r廣義流變試驗在重慶大學(xué)完成，三城目安山巖廣義流變試驗在日本東京大學(xué)完成。試驗由應(yīng)力歸還控制的伺服試驗機執(zhí)行，控制方式如圖1所示，應(yīng)力歸還控制把應(yīng)力和應(yīng)變的線性組合作為控制變量反饋給伺服閥[5]，控制公式為：

圖1 應(yīng)力歸還控制法示意圖Fig. 1 Schematic diagram of stress-feedback controlling method

若僅考慮將應(yīng)變信號反饋給伺服閥，則可令σ＝0，即為應(yīng)變速率控制，如式（2）所示：

若僅考慮將應(yīng)力信號反饋給伺服閥，則可令ε=0，即為應(yīng)力速率控制，如式（3）所示：

可見，應(yīng)變速率控制和應(yīng)力速率控制是應(yīng)力歸還控制的兩種特殊形式[9]。

試件尺寸為直徑25 mm、高50 mm，端面磨平度為0.01 mm。試驗前，將所有試件放置在真空恒溫箱里烘干2周，兩種巖石基本力學(xué)參數(shù)如表1所示。預(yù)施加1%的荷載使試件固定在試驗機上、下壓頭之間，并以C= 1×10–5/s的加載速率從原點開始加載至廣義流變啟動點SPT（starting point）后，停止加載。田下凝灰?guī)rSPT為50%、80%，三城目安山巖SPT為50%、65%、80%，伺服試驗機根據(jù)預(yù)設(shè)的廣義流變方向系數(shù)α（3.0、±∞、–3.0、–1.0、–0.3、0、0.3）執(zhí)行廣義流變試驗，從啟動點開始到試驗結(jié)束或者試件破壞的時間稱為廣義流變時間，廣義流變原理如圖2所示。

表1 兩種巖石基本力學(xué)參數(shù)Tab. 1 Basic mechanical parameters for two rocks

圖2 巖石廣義流變原理Fig. 2 Generalized rheological principle for rocks

圖2中，以SPT為圓點構(gòu)成的四象限中，不同的α值將廣義流變劃分為一個半圓，此半圓沿著順時針方向可分為3個區(qū)：第1象限（區(qū)域Ⅰ），1 ＜α＜+∞；第4象限（區(qū)域Ⅱ）， ?∞＜α＜0；第3象限（區(qū)域Ⅲ），0＜α＜1。 蠕變試驗（ α =±∞）從啟動點開始沿水平軸向右延伸，松弛試驗（ α=0）從啟動點開始沿垂直軸向下延伸。

可見，蠕變和松弛是廣義流變的兩種特殊形式，廣義流變能夠全面描述工程時間中的流變現(xiàn)象。

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2 廣義流變試驗結(jié)果及分析

2.1 廣義流變試驗結(jié)果

選擇50%啟動點的田下凝灰?guī)r和三城目安山巖的試驗結(jié)果分析廣義流變特性，如圖3所示。

圖3 兩種巖石50%應(yīng)力水平廣義流變特性（SPT歸零）Fig. 3 Generalized rheological behaviors for two rocks at 50% stress level (SPT return zero)

圖3中：把原點、橫軸和縱軸平移到歸零后的啟動點SPT處，兩條實線分別為田下凝灰?guī)r和三城目安山巖的全應(yīng)力–應(yīng)變曲線；圓點、正方形點分別為田下凝灰?guī)r、三城目安山巖在第10、100、1 000、10 000 s這4個時刻的廣義流變位置；虛線箭頭是廣義流變方向（即不同α值），與圖1中應(yīng)力歸還控制線的斜率方向一致。由圖3可知：同一流變時刻，三城目安山巖的應(yīng)力和應(yīng)變的變化值大于田下凝灰?guī)r；同一α下，兩種巖石廣義流變方向基本一致，其廣義流變曲線具有相似性，廣義流變試驗結(jié)果與圖2中的原理所述一致。從而可知，Ⅰ類和Ⅱ類巖石廣義流變具有相同的時間依存性。

2.2 廣義流變?nèi)崃?、模?/h3>

線彈性材料中，材料變形破壞過程中的應(yīng)變與應(yīng)力的比值稱為柔量，在恒定應(yīng)力條件下，蠕變應(yīng)變和蠕變應(yīng)力水平的比值稱為蠕變?nèi)崃縂creep?comp(t)；與蠕變?nèi)崃肯鄬?yīng)，松弛應(yīng)力和松弛應(yīng)變水平的比值稱為松弛模量Grelax?modu(t)，具體定義為[21]：

式中， ε(t) 為 蠕變應(yīng)變， σcrp為蠕變應(yīng)力水平， σ (t)為松弛應(yīng)力， εrelax為松弛應(yīng)變水平。由式（4）和（5）可知，線彈性材料的蠕變?nèi)崃縂creep?comp(t)和松弛模量Grelax?modu(t) 互 為 反 比 例 關(guān) 系，即Gcreep?comp(t)∝1/Grelax?modu(t)，呈線性流變特征。在非線性黏彈性材料中，基于式（4）和（5），本文定義式（6）和（7）為廣義流變?nèi)崃縂c(t)和模量Gm(t)，如圖4所示。

圖4 巖石廣義流變?nèi)崃?、模量Fig. 4 Generalized rheological-compliance and modulus of rocks

式中： ε(t)為 廣義流變時間t=0 和t=ti時刻等時線應(yīng)變的差值； σ(t)為 廣義流變時間t=0 和t=ti時刻等時線應(yīng)力的差值；在方向系數(shù)α條件下，廣義流變曲線延長線相交橫軸為εr點 ，相交縱軸為σc點，分別稱為廣義關(guān)聯(lián)應(yīng)變和廣義關(guān)聯(lián)應(yīng)力。

式（6）和（7）有如下4種情況：

1）蠕變（α =±∞） 和松弛（α =0）：蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ坑嬎闳鐖D4（a）所示。如果是松弛條件，則 εr=εrelax；如果是蠕變條件，則σc=σcrp。計算方法和式（4）和（5）相同。

2）區(qū)域Ⅰ（1 ＜α＜+∞）：廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ坑嬎闳鐖D4（b）所示。εr為負值，且隨著α順時針方向增大，εr減?。沪襝總為正值，且隨著α順時針方向增大，σc增大，具體如式（8）、（9）所示：

3）區(qū)域Ⅱ（ ?∞＜α＜0）：廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ坑嬎闳鐖D4（c）所示。εr和σc為正值，且隨著α順時針方向增大，εr減 小，σc增大，具體如式（10）、（11）所示：

4）區(qū)域Ⅲ（ 0 ＜α＜1）：廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ坑嬎阋妶D4（d）。εr為 正值，σc總為負值，且隨著α順時針方向增大，εr減 小，σc增大，具體如式（12）、（13）所示：

綜上所述，εr和 σc的定義方法包含了蠕變和松弛現(xiàn)象，與廣義流變原理相一致，本文定義的廣義流變?nèi)崃?、模量的表達式能描述蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ浚瑥亩炞C了蠕變和松弛是廣義流變的兩種特殊形式，描述了流變的廣義特征。

由試驗結(jié)果可知，不同方向系數(shù)α條件下，三城目安山巖的σc和εr見圖5。3個區(qū)域中，應(yīng)力水平越大，關(guān)聯(lián)應(yīng)力和關(guān)聯(lián)應(yīng)變的絕對值都增大；區(qū)域Ⅱ中，方向系數(shù)α越大，關(guān)聯(lián)應(yīng)變值減小，關(guān)聯(lián)應(yīng)力值增大。

圖5 三城目安山巖廣義關(guān)聯(lián)應(yīng)變和應(yīng)力Fig. 5 Generalized related strain and stress for Sanjome andesite

圖6為80%應(yīng)力水平下，田下凝灰?guī)r廣義流變?nèi)崃亢腿悄堪采綆r廣義流變模量隨時間的變化規(guī)律。圖6（a）中：6個方向系數(shù)α下，田下凝灰?guī)r廣義流變?nèi)崃侩S時間增加而增大；當(dāng) α=?0.3時，廣義流變?nèi)崃繒r間依存性最大；當(dāng) α=±∞時，廣義流變?nèi)崃繒r間依存性最小。圖6（b）中：6個方向系數(shù)α下，三城目安山巖廣義流變模量隨時間增加而增大；當(dāng) α=0.3時，廣義流變模量時間依存性最大；當(dāng) α=3.0時，廣義流變模量時間依存性最小。對6個方向系數(shù)下的廣義流變?nèi)崃?、模量的?shù)據(jù)在同一時刻求平均值，如圖6中虛線所示；對廣義流變?nèi)崃?、模量進行數(shù)值擬合，如圖6中實線所示，平均值大于擬合曲線值。

圖6 廣義流變?nèi)崃俊⒛Ａ康臅r間依存性（80%應(yīng)力水平）Fig. 6 Time-dependency for generalized rheological-compliance and modulus at 80% stress level

由以上分析可知，廣義流變?nèi)崃?、模量擬合結(jié)果呈非線性流變特征，兩種巖石的擬合公式如下：

式中，Gc為廣義流變?nèi)崃?，Gm為廣義流變模量，C1和C2為擬合參數(shù)，t為時間。兩種巖石擬合參數(shù)如表2所示，隨著應(yīng)力水平增加，參數(shù)C1和C2都增大，可認為隨著應(yīng)力水平的增加，廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ慷荚黾樱哂忻黠@的時間依存性和應(yīng)力水平依存性。

表2 兩種巖石廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ繑M合系數(shù)Tab. 2 Fitting parameters of generalized rheologicalcompliance and modulus for two rocks

圖7（a）為田下凝灰?guī)r在不同方向系數(shù)α下的廣義流變?nèi)崃孔兓?guī)律，可知廣義流變?nèi)崃烤哂忻黠@的時間依存性，但方向系數(shù)依存性不明顯。圖7（b）為三城目安山巖在不同方向系數(shù)α下的廣義流變模量的變化規(guī)律，和廣義流變?nèi)崃恳粯?，具有明顯的時間依存性，但對方向系數(shù)依存性不敏感。

圖7 廣義流變?nèi)崃?、模量的方向系?shù)依存性Fig. 7 Direction coefficient-dependence for generalized rheological-compliance and modulus

3 討 論

對線彈性材料而言，蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ炕榉幢壤P(guān)系，呈線性流變特征，兩者沒有本質(zhì)區(qū)別。蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ渴菑V義流變的主要內(nèi)容，是巖石流變力學(xué)理論的重要特性，應(yīng)力歸還控制的廣義流變試驗，為研究廣義流變相關(guān)特性提供了試驗基礎(chǔ)。本文定義的廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ坑嬎惴椒ň哂袕V義性，當(dāng) σc=σcrp時 ，可計算蠕變?nèi)崃?；?dāng) εr=εrelax時，可計算松弛模量。田下凝灰?guī)r和三城目安山巖具有非線性黏彈性特性，其廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ恐g的關(guān)系如圖8所示。Gc/Gm比值可認為是巖石局部剛度，在峰前80%應(yīng)力水平下，隨著時間的增加，兩種巖石的局部剛性都在減小，故可認為兩種巖石破壞前塑性變形都增加，巖石剛性和塑性變形呈反比例關(guān)系。這一結(jié)果能解釋巖石的破壞機理，并為以后在研究中將巖石剛性和塑性變形進行分離，并定量分析兩者之間的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，也為未來研究巖體剛性下降規(guī)律、支護后強度恢復(fù)和長期穩(wěn)定性等方面提供了思路。但峰后Gc/Gm比值還未知，需要繼續(xù)追加大量試驗，可作為未來研究課題。

圖8 廣義流變?nèi)崃颗c模量的關(guān)系（80%應(yīng)力水平）Fig. 8 Relationship between generalized rheological-compliance and modulus at 80% stress level

4 結(jié) 論

本文在廣義流變理論基礎(chǔ)上，以應(yīng)力歸還控制法執(zhí)行了Ⅰ類和Ⅱ類巖石的廣義流變試驗，對廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ窟M行了系統(tǒng)研究，主要結(jié)論為：

1）提出了一種計算廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ康姆椒ǎ摲椒ň哂袕V義特性，可描述材料的非線性流變特性。

2）Ⅰ類和Ⅱ類巖石廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ烤哂忻黠@的時間依存性和非線性流變特征，其兩種規(guī)律具有相似性。

3）對線性黏彈性材料而言，蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ恐g可相互轉(zhuǎn)換，沒有本質(zhì)的區(qū)別。但在巖石的非線性黏彈性行為中，廣義流變?nèi)崃亢湍Ａ烤哂蟹蔷€性流變特征，且在破壞前兩者比值逐漸減小，說明接近破壞前，巖石剛性逐漸降低，此現(xiàn)象可定量研究巖體的流變現(xiàn)象和破壞機理，對評估地下工程的長期穩(wěn)定性具有重要的意義。