常數(shù)變易法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

潘曉琳

摘要：舉例說明常數(shù)變易法在高中數(shù)學(xué)多變量問題中的使用策略。

關(guān)鍵詞：常數(shù)變易法;多變量問題;高中數(shù)學(xué)

高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到多變量問題，所謂多變量問題就是一個(gè)問題中涉及多個(gè)可變因素，變量不僅多，而且還在變化，并且相互制約、相互影響。這類問題內(nèi)涵豐富、綜合性強(qiáng)、方法靈活，是高考數(shù)學(xué)中常見的一類難題，學(xué)生在面對(duì)此類問題時(shí)，最大的困擾就是不知從何處下手，介于此，筆者通過幾個(gè)例題來談?wù)劷鉀Q此類問題的一種策略：常數(shù)變易法。

所謂常數(shù)變易法，是指在解常微分方程時(shí)，從對(duì)應(yīng)的其次線性方程的通解結(jié)構(gòu)出發(fā)，把常數(shù)C變易為一個(gè)待求的函數(shù)，由此得到非齊次線性方程的通解。它為我們提供了一種看待常量和變量的新角度，如果我們淡化變量的運(yùn)動(dòng)性，突出常量的運(yùn)動(dòng)性，認(rèn)為靜中有動(dòng)，就可以以靜制動(dòng)，得到常數(shù)變易法的初等化應(yīng)用，在這種思想的指導(dǎo)下，我們可以對(duì)高中數(shù)學(xué)中的多變量問題有一個(gè)更深入的認(rèn)識(shí)，以此來探尋這一類題目的解法，構(gòu)建起此類問題的解題框架.

一、參變分離，以動(dòng)制動(dòng)

例如：對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，若不等式

恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ____________.

思路：參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，實(shí)現(xiàn)以動(dòng)制動(dòng)的目的。

解法：因?yàn)?，所以兩邊同時(shí)除以，于是等價(jià)轉(zhuǎn)換為恒成立。利用絕對(duì)值三角形不等式，進(jìn)而得到于是得到x的取值范圍是

二、反客為主，辯證統(tǒng)一

例如：若存在實(shí)數(shù)b，使不等式對(duì)任意恒成立，則（ ）

A b的最小值為4 B b的最小值為6

C b的最小值為8 D b的最小值為10

思路：題目中涉及多個(gè)量，對(duì)于函數(shù)，如果變量是x，那么這里就是一個(gè)含有絕對(duì)值的二次函數(shù)最值問題;如果變量是a，那么就是含有絕對(duì)值的一次函數(shù)最值問題。顯然，這里我們會(huì)選擇將參數(shù)a變易成變數(shù)的方法。

解法：?jiǎn)栴}等價(jià)于求 在上的最大值。結(jié)合一元一次函數(shù)的圖形特征，只需滿足且，即且 ，在上恒成立。再結(jié)合函數(shù)和在圖像，進(jìn)而求得。所以選擇答案是B。

常數(shù)變易法解決多變量問題的本質(zhì)就是變量和常量的相互轉(zhuǎn)化與表征，常量和變量之間沒有固定的界限。所以我們?cè)诮虒W(xué)的時(shí)候不要固化方法，應(yīng)該著眼于培養(yǎng)學(xué)生從多角度看待事物，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，將思想方法融會(huì)貫通，避免固化觀念，強(qiáng)調(diào)技巧。

參考文獻(xiàn)：

[1]崔士襄.“常數(shù)變易法”來歷的探討.邯鄲農(nóng)業(yè)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)[N]，1998，15（1）：40-41.

[2]謝偉，王丹.例析多元數(shù)學(xué)問題的求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（3）.

[3]李英明.常數(shù)變易兩例.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊[J]，2003（2）.

[4]徐章韜.《中學(xué)數(shù)學(xué)教材核心內(nèi)容分析》[M].北京：科學(xué)出版社，2021.32-34