空間引力波探測正三角形編隊動力學(xué)機理與控制方法

劉培棟 黨朝輝

1．西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室陜西西安710072

引力波是時空曲率受黑洞并合等劇烈過程影響產(chǎn)生的波動[1?9].引力波探測為揭示宇宙演化、基礎(chǔ)物理學(xué)規(guī)律等提供了新的方法和手段.然而,受制于地面干擾及干涉臂長限制,地面探測器僅能探測到約10 Hz 以上的高頻引力波,對于其他在科學(xué)上有重大意義的中低頻引力波則無能為力.空間引力波探測利用衛(wèi)星編隊超大基線(數(shù)十萬～數(shù)百萬公里)的優(yōu)勢,可有效實現(xiàn)毫赫茲頻段引力波探測,是對引力波探測技術(shù)的重大突破[3?5],已經(jīng)成為當(dāng)前各航天大國爭相發(fā)展的焦點.

歐洲空間局(European Space Agency,ESA)與美國航空航天局(National Aeronautics and Space Administration,NASA)于1993年最早提出了空間引力波探測計劃LISA 項目[6?7].隨后,日本、歐洲等也先后提出了類似的計劃,如DECIGO(2001)、BBO(2004)、ALIA(2005)等.我國從2008年開始探討空間引力波探測的可行性[1?3],先后開展了概念與方案設(shè)計、關(guān)鍵科學(xué)載荷研制等,并于2014年和2016年提出“天琴計劃”和“太極計劃”[1,2].2020年、2021年,科技部連續(xù)發(fā)布國家重點研發(fā)計劃“引力波探測”重點專項指南,布局未來十年內(nèi)的引力波探測關(guān)鍵技術(shù)攻關(guān),并計劃在2035年前實現(xiàn)空間引力波探測在軌試驗.

空間引力波探測可推動關(guān)乎我國重大戰(zhàn)略利益的技術(shù)發(fā)展[4?5].通過開展毫赫茲頻段引力波探測,可以全面推動高精度空間慣性基準(zhǔn)、星間激光干涉測量、高精度衛(wèi)星編隊、超靜超穩(wěn)衛(wèi)星平臺技術(shù)等,帶動一系列對國民經(jīng)濟和國家戰(zhàn)略需求有重要價值的關(guān)鍵技術(shù)的發(fā)展,對于建立高精度全球時空坐標(biāo)體系、全球重力場測量、導(dǎo)航與深空探測,以及前沿空間科學(xué)實驗等都具有重要的意義.

空間引力波探測的基本原理是通過三顆航天器形成空間正三角形編隊,以邁克爾遜激光干涉方式,測量航天器間由引力波引起的距離變化[1?2].其特殊的測量原理要求編隊構(gòu)形為完全等邊三角形,三邊邊長相等、內(nèi)角均為60?[1?9].空間引力波探測的基本要求是確保空間正三角形編隊的動力學(xué)穩(wěn)定,實現(xiàn)引力波探測信號不被衛(wèi)星自身運動及環(huán)境噪聲淹沒[10].

然而,受中心天體非球形引力攝動、三體引力攝動等的影響,空間正三角形編隊的構(gòu)形穩(wěn)定性極易遭到破壞.為了保證探測器相對測距精度,按照引力波探測科學(xué)要求,編隊構(gòu)形穩(wěn)定性必須控制在1%以內(nèi)[1?3].而且構(gòu)形指標(biāo)變化范圍越小,對硬件要求就越低,越容易在工程上實現(xiàn)[9].由于編隊動力學(xué)的非線性,構(gòu)形穩(wěn)定條件的數(shù)值搜索需要耗費大量計算時間,在無動力學(xué)機理引導(dǎo)的情況下,很難給出精度高、過程穩(wěn)定,同時又能反映系統(tǒng)真實物理性質(zhì)的數(shù)值解[1].為此,需要重點突破空間正三角形編隊的動力學(xué)形成機制及攝動發(fā)散機理.

在動力學(xué)機理闡明的基礎(chǔ)上,高效的空間正三角形編隊構(gòu)形控制是引力波探測開展的前提[11].構(gòu)形控制包括構(gòu)形初始化控制和構(gòu)形重構(gòu)控制.其中,前者解決編隊構(gòu)建問題,后者解決編隊構(gòu)形保持與調(diào)整問題.未來的編隊控制技術(shù)會朝著自主化、智能化、安全化的方向發(fā)展[12],甚至可能會發(fā)展基于數(shù)據(jù)鏈組網(wǎng)架構(gòu)的動態(tài)協(xié)同策略[13].然而,有別于已經(jīng)廣泛研究的近距離編隊和星座系統(tǒng),空間引力波探測編隊具有尺度超大(數(shù)十萬～百萬公里量級)、推力極小(微牛級別及有限機動能力)、精度極高(≤1%)、時間極長(數(shù)月～數(shù)年)的特點,這給經(jīng)典編隊控制理論提出了前所未有的挑戰(zhàn).

遺憾的是:面對如此重大的國家戰(zhàn)略科技需求,空間正三角形編隊的動力學(xué)與控制研究,目前大多局限于特定的工程任務(wù)和可行性分析上,缺乏系統(tǒng)深入的動力學(xué)機理與控制方法研究.作為航天器編隊動力學(xué)與控制領(lǐng)域的學(xué)者,如何從編隊動力學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和分析面向引力波探測的空間正三角形編隊運行過程的科學(xué)問題,并通過航天器軌道動力學(xué)學(xué)科與控制學(xué)科所特有的手段有效地予以解決,是擺在我們面前不可回避的問題,我們應(yīng)作出最積極的反應(yīng).

因此,亟需建立一套完整的空間正三角形編隊動力學(xué)與控制理論,系統(tǒng)揭示引力場軌道動力學(xué)約束下空間正三角形編隊構(gòu)形的形成機理,深入闡明復(fù)雜攝動影響下,超大尺度編隊構(gòu)形演化規(guī)律及長期穩(wěn)定條件,完整創(chuàng)建多約束條件下的空間正三角形編隊構(gòu)形初始化及重構(gòu)控制方法,為我國“天琴”、“太極”等空間引力波探測任務(wù)的編隊飛行控制設(shè)計與優(yōu)化奠定理論基礎(chǔ).

1 空間正三角形編隊的動力學(xué)機理

空間正三角形編隊的動力學(xué)機理包括正三角形編隊構(gòu)形的形成機制與攝動發(fā)散機理.

1.1 空間正三角形編隊的形成機制

任意3 顆衛(wèi)星均可形成三角形編隊,但若要求在軌道運動中始終保持各邊相等則非常困難;這需要極為特殊的動力學(xué)條件.由于空間引力波探測的需要,研究人員提出3 種有效的空間正三角形編隊機制[1?3]:1)共軌星座方式;2)相對繞飛方式;3)三角平動點方式.編隊尺度從1 000 km 到8.6 AU,如圖1所示.

圖1 空間引力波探測的三類空間正三角形編隊Fig.1 Three kinds of triangular formations for space-based gravitational-wave observatory

共軌星座方式形成正三角形編隊的基本原理為:3 顆航天器相隔120?均勻分布在同一條圓軌道上圍繞共同的中心引力體(地球或太陽)運動,利用圓軌道運動速度恒定的規(guī)律,形成穩(wěn)定的等邊三角形.從軌道動力學(xué)機理上分類,這種正三角形構(gòu)形本質(zhì)上是一種衛(wèi)星星座.典型代表為“天琴計劃”[1](以地球為中心,高度10 萬公里,邊長約17 萬公里)、OMEGA[14](高度60 萬公里,邊長約100 萬公里)、gLISA/GEOGRAWI[15](地球靜止軌道,邊長7.3萬公里)、GADFLI[16](與前同)、B-DECIGO[17].

相對繞飛方式形成正三角形編隊的基本原理為:3 顆航天器相隔120?均勻分布在圓參考軌道附近的一個空間相對繞飛圓上,繞飛圓的平面與軌道平面(例如黃道面)夾角為±60?,編隊會隨著繞飛圓而旋轉(zhuǎn),周期與參考軌道周期一致(當(dāng)為地球公轉(zhuǎn)軌道時,周期正好為1 a).典型代表為“太極計劃”[6]、LISA[18]、eLISA[1,5]、ALIA[3]、DECIGO[17],均沿地球公轉(zhuǎn)軌道運動,其邊長分別為300 萬公里、500 萬公里(后又改為250 萬公里)、100 萬公里及1 000 km.

三角平動點方式形成正三角形編隊的基本原理為:3 個航天器位于平面圓型限制性三體的L3、L4、L5 平動點附近構(gòu)成正三角形.典型代表為LAGRANGE[19]、ASTROD-GW[8?9]、ASTRODEM[3]、Super-ASTROD[3]等飛行計劃.其中,LAGRANGE 位于地月系統(tǒng),邊長67 萬公里;ASTRODGW 位于日地系統(tǒng),邊長2.6 億公里.盡管已提出了上述3 種正三角形編隊形成機制,但是否還具有其他可能的機制?這是現(xiàn)有文獻中尚未研究的.

在上述原理的指導(dǎo)下,如何具體設(shè)計空間正三角形編隊構(gòu)形? 對于類LISA 編隊,Folkner等[20]、Nayak 等[21]、李廣宇等[22]建立了一種基于軌道幾何關(guān)系的空間正三角形編隊構(gòu)形設(shè)計方法,首先確定其中一顆衛(wèi)星的軌道,然后通過繞垂直黃道面方向旋轉(zhuǎn)±120?,得到另外兩顆衛(wèi)星的軌道.而Dhurandhar 等[23]、Marchi 等[24]則建議采用相對軌道動力學(xué)的Clohessy-Wiltshire(CW)方程構(gòu)造出相對繞飛圓,然后通過相位均勻分配實現(xiàn)正三角形構(gòu)建.楊弛航等[25]指出,由于CW 方程僅有一階精度,因此,設(shè)計后的構(gòu)形需要通過進一步優(yōu)化才能達到要求.對于類“天琴”編隊,張雪峰等[26]、萬小波等[27]、葉伯兵等[28?29]、檀莊斌等[30]在系列論文中給出了初步的設(shè)計方法,建立了軌道面和軌道半徑的選取方法,分析了地月系引力場干擾,研究了地影規(guī)避方法,并通過數(shù)值優(yōu)化搜索改進構(gòu)形設(shè)計.對于類ASTROD-GW 編隊,倪維斗等[3,9]、門金瑞等[8]以日地平動點L3～L5 點附近的三條繞日圓軌道作為初值,提出了詳細的正三角形編隊設(shè)計方法.

1.2 空間正三角形編隊的攝動演化機理

空間正三角形編隊在復(fù)雜攝動下的演化規(guī)律是重要的研究問題,對引力波探測方案的優(yōu)化具有重要意義.

LISA 研究團隊對相對繞飛方式的空間正三角形編隊演化規(guī)律進行了深入研究[20?25,31?34].Cornish等[33]通過精確軌道積分發(fā)現(xiàn)基于CW 方程一階線性解構(gòu)造的正三角形編隊在演化過程中存在“呼吸現(xiàn)象”:三角形內(nèi)角(也稱作呼吸角)具有一個緩慢的波動,并由此帶來三角形邊長(也稱作臂長)的屈伸變化.由于呼吸現(xiàn)象導(dǎo)致的臂長峰值變化量會達到115 000 km(等效誤差為2.3%),明顯超出了引力波探測要求的≤1%誤差.為解決上述問題,Nayak等[21]構(gòu)造了考慮非線性引力的二階CW 方程解析解,并由此推導(dǎo)得到了編隊傾角與臂長峰值變化量之間的解析關(guān)系.Nayak 等[21]發(fā)現(xiàn),若將編隊傾角標(biāo)稱值(±60?)進行小范圍修正(0.47?～0.63?),可將三年臂長變化量降低到60 000 km(等效誤差為1.2%).李廣宇等[22]基于不同方法也得到了類似的修正結(jié)果.Dhurandhar 等[34]在Nayak 等[21]的基礎(chǔ)上進一步構(gòu)造了考慮三體引力攝動的二階CW 方程解析解,將臂長的3年變化量降低到了48 000 km(等效誤差為0.96%).Pucacco 等[31]在以上二階CW 方程模型上進一步考慮了太陽相對論進動(relativistic precession)和太陽引力四極矩的影響.易照華等[35]針對LISA 三角形編隊問題,建立了一種考慮地球引力攝動的共軌限制性三體(co-orbital restricted problem)動力學(xué)模型,并通過攝動法得到了編隊質(zhì)心滯后角及其矢徑的近似解析解.基于上述解析結(jié)果,李廣宇等[22]進一步研究了初始質(zhì)心滯后角與編隊質(zhì)心漂移的規(guī)律,發(fā)現(xiàn)標(biāo)稱20?的滯后角若能修正為22?,則編隊具有最小的漂移.同時,李廣宇等[22]還以上述解析解為基礎(chǔ),通過數(shù)值優(yōu)化搜索得到了10年任務(wù)期里最小漂移構(gòu)形(等效誤差為1.26%～1.82%).夏炎等[36?37]進一步改進了上述優(yōu)化方法,通過采用混合反應(yīng)禁忌搜索算法,使臂長變化量減小到49 960 km(等效誤差為0.99%).

“天琴計劃”的研究團隊對共軌星座方式下的空間正三角形編隊演化規(guī)律進行了詳細研究[26].張雪峰等[26]、葉伯兵等[28]指出,為實現(xiàn)空間引力波探測,“天琴”的構(gòu)形穩(wěn)定性在5年任務(wù)期里需滿足:臂長變化量≤0.5%,相對速度≤10 m/s,呼吸角≤0.2?.萬小波等[27]發(fā)現(xiàn)平均半長軸不同時會對構(gòu)形發(fā)散起到主導(dǎo)作用,因此,通過平均軌道根數(shù)優(yōu)化,將“天琴” 構(gòu)形穩(wěn)定性改進到:臂長變化小于1 500 km(等效誤差為0.88%).張雪峰等[26]發(fā)現(xiàn),只有同時匹配平均半長軸、傾角和升交點赤經(jīng),才能更好維持構(gòu)形穩(wěn)定性;這一發(fā)現(xiàn)與J2 不變相對軌道[38?39]的研究機理一致.葉伯兵等[28]發(fā)現(xiàn)在“天琴”的標(biāo)稱軌道高度上,月球引力攝動影響最大,其次為太陽引力和地球J2 攝動,且編隊指向在上述攝動作用下存在大約2.5?的長期漂移.檀莊斌等[30]發(fā)現(xiàn),月球引力對“天琴”的編隊構(gòu)形影響主要發(fā)生在幾個共振軌道高度上,當(dāng)避開共振高度后,構(gòu)形具有較好穩(wěn)定性(誤差可降低到0.3%);當(dāng)編隊位于黃道面內(nèi)時,月球引力影響較大,而在90?和140?傾角時影響極小[26].葉伯兵等[29]研究了月食和地球陰影規(guī)避問題,研究表明若將軌道高度提升約900 m、形成與月球1:8 的共振,效果明顯.“天琴”團隊同時還采用數(shù)值優(yōu)化進一步改進編隊構(gòu)形的穩(wěn)定性,現(xiàn)有技術(shù)已可實現(xiàn)“3 +3”個月觀測期內(nèi)編隊臂長變化量≤0.1%,相對速度≤4 m/s,呼吸角變化≤0.1?[26,28].

由于L3 點為弱不穩(wěn)定點且不穩(wěn)定時間尺度大(55.6 yr),L4、L5 均為穩(wěn)定點,因此,基于平動點的空間正三角形編隊總體上較為穩(wěn)定[8].即便如此,通過調(diào)節(jié)軌道平均周期和偏心率,可以進一步改進ASTROD-GW 的穩(wěn)定性[40?41].

綜上可知,空間正三角形編隊的動力學(xué)機理已取得一定研究成果,但也存在一些局限性.一是從工程應(yīng)用角度提出了3 種不同的正三角形編隊形成機制,但是否還存在其他機制不清楚;二是現(xiàn)有構(gòu)形設(shè)計方法能夠初步達到引力波探測的穩(wěn)定性要求,但穩(wěn)定性指標(biāo)能否進一步提升以及其極限是什么尚不清楚;三是現(xiàn)有構(gòu)形優(yōu)化方法只能針對具體軌道或特定引力波探測任務(wù)提供數(shù)值優(yōu)化結(jié)果,而對各類不同任務(wù)、不同尺度以及不同機制下的正三角形編隊的一般攝動發(fā)散機理及內(nèi)在穩(wěn)定性規(guī)律未作充分闡明.

1.3 研究建議與思路

結(jié)合天體力學(xué)規(guī)律,尤其是日地月系統(tǒng)的時間尺度特征規(guī)律,對現(xiàn)有3 種機制下形成的正三角形編隊對應(yīng)的編隊尺度范圍、探測頻段范圍、探測方向范圍進行系統(tǒng)梳理和比較,并在此基礎(chǔ)上對各類機制對應(yīng)的最佳探測對象進行編目分析,形成完備的空間正三角形編隊構(gòu)形圖譜.

圖2 3 種不同的空間正三角形編隊構(gòu)形生成方式Fig.2 Three different generation methods of space-based triangular formation

然后,重點對基于繞飛方式的正三角形編隊形成機制進行優(yōu)化改進.經(jīng)典CW 方程是一組描述相對軌道運動的線性定常系統(tǒng),具有顯式解析解;通過滿足y方向的速度條件,可進一步構(gòu)造出周期解.在所有周期解中,通過施加約束條件x2+y2+z2=d2,可找到一組稱為空間圓的繞飛構(gòu)形初始條件,其規(guī)定了繞飛圓半徑和初始相位角到初始相對狀態(tài)的映射關(guān)系:當(dāng)3顆衛(wèi)星在繞飛圓上分布時,通過滿足相位角關(guān)系:可實現(xiàn)三星在任意時刻構(gòu)成空間正三角形編隊.

但CW 方程僅具有一階精度,由其解析解構(gòu)造的正三角形編隊構(gòu)形,在真實非線性引力場及攝動干擾下會迅速發(fā)散.為解決該問題,可通過非線性攝動技術(shù)、能量匹配原理、攝動平均化方法的綜合運用,首先得到相對運動高階周期解并設(shè)計出空間正三角形基準(zhǔn)構(gòu)形;然后以此解為基礎(chǔ),以其修正量為優(yōu)化變量,采用分層優(yōu)化和全局?jǐn)?shù)值搜索實現(xiàn)穩(wěn)定構(gòu)形的精確構(gòu)造.具體原理如下:

1)非線性攝動技術(shù)(perturbation technique)是處理弱非線性尤其是小擾動動力學(xué)問題的經(jīng)典數(shù)學(xué)方法,可對形如的動力學(xué)積分問題有效解決,其中ε 為弱非線性或小擾動(ε ?1)對應(yīng)的參數(shù).其中,對應(yīng)CW 方程的線性動力學(xué),N(XXX,ε)可根據(jù)研究需要對應(yīng)二體引力差、主星軌道偏心率、非球形引力攝動、三體引力攝動等(其中,弱非線性參數(shù)ε 根據(jù)應(yīng)用場景分別對應(yīng)偏心率e、非球形攝動系數(shù)J2或三體質(zhì)量比μ等).具體計算原理為:首先求解線性動力學(xué)部分得到一階近似解XXX(1);然后代入二階非線性動力學(xué)得到二階近似解XXX(2);以此類推,直到得到各階修正量XXX(N);最后,獲得高階解析解XXX=XXX(1)+εXXX(2)+···.

2)上述攝動法得到的高階解析解,能夠在短時間范圍內(nèi)對真實解進行嚴(yán)格逼近,但在長時間范圍后因截斷誤差會發(fā)散.考慮到二體軌道運動的周期性,因而可通過能量匹配原理(energy matching principle),將各星初始相對狀態(tài)進行修正,從而使多星之間的相對運動嚴(yán)格滿足周期性,確保相對運動有界.但在復(fù)雜攝動情形下,單星絕對軌道可能不具有周期性,因此,無法通過能量匹配進行精確周期調(diào)節(jié);此時可通過軌道動力學(xué)理論中的攝動平均化方法(averaging theory)分離出長期項,并通過匹配長期變化率最小化構(gòu)形發(fā)散.

3)以上解析方法能夠消除大部分構(gòu)形發(fā)散,但相對運動中殘余的短周期漲落,仍會導(dǎo)致正三角形臂長、呼吸角等的波動,影響引力波探測的精度.為此,可在高階解析解XXXi0的基礎(chǔ)上,構(gòu)造初始相對狀態(tài)的修正量?XXXi0,采用數(shù)值優(yōu)化方法使殘余波動振幅最小化.借鑒LISA 任務(wù)中采用的優(yōu)化模型,但將優(yōu)化變量由軌道根數(shù)改為更容易利用高階解析解的直角坐標(biāo)狀態(tài),如式(1)所示:

其中:XXXi為第i個衛(wèi)星的相對狀態(tài)矢量,XXXi0表示通過解析方法得到的初始相對狀態(tài)高階解,?XXXi0為擬優(yōu)化搜索的初始相對狀態(tài)修正值.優(yōu)化目標(biāo)J定義為多個構(gòu)形參數(shù)變化量的加權(quán)函數(shù),加權(quán)系數(shù)為ωj(j=1,··· ,4);構(gòu)形參數(shù)包括:li j表示衛(wèi)星i和j之間的臂長,表示臂長變化率,αi表示衛(wèi)星i對應(yīng)的呼吸角,γ 為編隊中心滯后角.

上述優(yōu)化問題直接求解較為困難,主要原因是:一是優(yōu)化變量較多,含3 個衛(wèi)星共18 個初始相對位置和相對速度修正量;二是優(yōu)化過程涉及動力學(xué)積分,且動力學(xué)方程因非線性和攝動干擾的引入較為復(fù)雜,長時間數(shù)值積分(例如數(shù)年)需要極長的計算時間;三是優(yōu)化目標(biāo)存在數(shù)量眾多的局部極小值,容易陷入局部最優(yōu)而無法找到最優(yōu)解.為解決上述3個困難,采取的思路如下:

1)針對優(yōu)化變量較多的問題,基于軌道動力學(xué)內(nèi)在規(guī)律進行降維處理.首先將相對位置和相對速度進行分層優(yōu)化,其中,相對位置修正量作為外層優(yōu)化變量,相對速度修正量作為內(nèi)層優(yōu)化變量;其次,根據(jù)編隊距離內(nèi)在約束,將相對位置變化限定在球殼范圍內(nèi),從而減少一個自由度;最后,根據(jù)能量匹配原理或攝動項長期變化率匹配關(guān)系,將相對速度修正量作出約束,從而再減少一個自由度.由此可將原有的18 維(6×3)優(yōu)化問題降低為12 維(4×3),且因為分層優(yōu)化而每次僅有6 個變量進行搜索,從而大大提高優(yōu)化效率.

圖3 空間正三角形編隊的構(gòu)形參數(shù)及其變化量示意圖Fig.3 The configuratio parameters and the variation diagram of space-based triangular formation

2)針對動力學(xué)積分耗時大的問題,構(gòu)造軌道運動積分延拓算法進行處理.如圖4所示,我們提出一種基于離散解析數(shù)據(jù)庫及差分計算的保精度軌道積分延拓算法(算法1:軌道積分延拓算法).其中,離散解析數(shù)據(jù)庫的構(gòu)建方式為:a)將初始狀態(tài)附近的位置速度空間進行網(wǎng)格劃分,同時對時間軸進行離散化;b)對網(wǎng)格空間的每個離散點進行精確積分,得到未來離散時刻上的精確狀態(tài);c)將所有“時間狀態(tài)”對保存為數(shù)據(jù)庫;d)當(dāng)需要離散時刻之間的狀態(tài)時,通過高階解析解進行遞推求解;e)當(dāng)需要非離散點的積分結(jié)果時,則通過附近離散點積分結(jié)果構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,進而插值得到相應(yīng)結(jié)果.

圖4 保精度軌道積分延拓算法原理Fig.4 Principle of orbit integral continuation algorithm with guaranteed accuracy

3)針對優(yōu)化目標(biāo)存在大量局部極小值的問題,通過構(gòu)造分層全局優(yōu)化算法加以解決.在LISA 編隊構(gòu)形優(yōu)化中,現(xiàn)有研究使用了混合反應(yīng)禁忌搜索算法,基本思想是將適用于局部函數(shù)優(yōu)化問題的仿射篩選算法,和適用于全局組合優(yōu)化的禁忌搜索算法結(jié)合使用.計算實踐表明,該算法具有較高的搜索效率和穩(wěn)定性.因此,可借鑒該方法的基本原理,并通過結(jié)合所提出的高階攝動解析解作為優(yōu)化初值、軌道積分延拓算法,用于動力學(xué)積分計算、分層優(yōu)化提高優(yōu)化效率,最終使全局最優(yōu)性得到大幅改進(算法2:分層禁忌搜索算法).

值得說明的是,基于繞飛式的空間正三角形編隊形成問題,本質(zhì)上等價于:引力場軌道運動中是否存在完美圓形相對運動(perfect circular relative motion)? 也就是說:在二體引力場、考慮J2攝動的引力場、或考慮三體攝動的引力場中,是否存在精確的空間繞飛圓相對運動?如果存在,則用于引力波探測的編隊可以無限優(yōu)化,即得到構(gòu)形發(fā)散極小的正三角形編隊;如果不存在,那么完美圓可以接近的理論極限是多少? 在二體非線性引力情況下,截至二階精度為止,LISA 研究團隊通過數(shù)值方法得到的極限結(jié)果與完美圓的偏差為0.96%;而通過二階分析解引導(dǎo)數(shù)值搜索,可將相對圓構(gòu)形偏差減小到0.021%(見圖5).根據(jù)相對圓構(gòu)形的極值點分布規(guī)律(見圖6),現(xiàn)有結(jié)果似乎支持完美圓形相對運動不存在的結(jié)論.但無論上述問題最終結(jié)果如何,這都將既是一個有趣的理論猜想,也是一個重要的應(yīng)用問題.

圖5 二體非線性引力下的空間正三角形構(gòu)形優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization results of spatial equilateral triangle configuratio under two-body nonlinear gravity fiel

圖6 二體非線性引力下相對圓運動多極值點分布規(guī)律Fig.6 Distribution law of multi-extremum points of circular relative motion under two-body nonlinear gravity fiel

未來將根據(jù)實際難度和可行性,拓展探索空間正三角形編隊的其他可能形成機制—例如平動點附近的周期相對運動或太陽帆編隊.如果存在,則空間引力波探測的編隊設(shè)計和工程實施方案會更靈活、更豐富.

2 空間正三角形編隊構(gòu)形控制方法

動力學(xué)機理是解決“如何設(shè)計編隊”的問題,而構(gòu)形控制是解決“如何使編隊運行”的問題,兩者之間具有緊密的耦合關(guān)系[39].

2.1 空間正三角形編隊的構(gòu)形初始化控制

編隊構(gòu)形初始化是指構(gòu)成編隊的多個航天器從運載平臺(一般為火箭上面級或母星平臺)上分離采用脈沖或連續(xù)控制進入目標(biāo)構(gòu)形各自位置的過程.

Sweetster 等[42]研究了LISA 編隊構(gòu)形的初始化控制問題.其初始化控制的起點是以太陽為中心比地球公轉(zhuǎn)軌道略高的圓形停泊軌道;由于停泊軌道周期比地球公轉(zhuǎn)軌道周期略長幾個星期,因此,在發(fā)射入軌一年后,3 個衛(wèi)星將隨著運載器到達距離地球后方20?的位置.以此時的狀態(tài)為起點,Sweetster等[42]計算得到了三星通過9 個月的轉(zhuǎn)移各自到達目標(biāo)構(gòu)形位置的三脈沖速度增量需求(也即燃耗需求).結(jié)果表明900 m/s～1 096 m/s 的速度增量即可完成構(gòu)形初始化.由于脈沖初始化控制存在一定誤差,Sweetster 等[42]建議初始化控制完成后需要一個構(gòu)形校準(zhǔn)控制,以實現(xiàn)正三角形構(gòu)形對動力學(xué)初始條件的嚴(yán)格要求.但該文沒有介紹脈沖控制和構(gòu)形校準(zhǔn)控制的具體算法.

夏炎等[36?37]同樣研究了LISA 編隊的構(gòu)形初始化問題.與Sweetster 等[42]的方案略微不同,夏炎等[36?37]考慮從期望編隊構(gòu)形的中心開始分離3 個航天器,并進而通過各航天器的脈沖機動控制進入各自的構(gòu)形位置.夏炎等[36?37]采用二體問題的Lambert 算法求解分離(起始)和制動(末端)所需要的兩脈沖速度增量.研究結(jié)果表明,當(dāng)轉(zhuǎn)移過程的時間大于80 d 后,所需的兩脈沖速度增量趨于平穩(wěn)(最大1 100 m/s).但該算法沒有考慮采用多脈沖是否能夠進一步減小燃耗需求.夏炎等[30?31]指出,標(biāo)準(zhǔn)Lambert 算法未考慮其他天體的引力攝動,因此,有必要在基礎(chǔ)解上進行修正;但如何修正未作進一步研究.

吳岸明等[43]針對ASTROD-GW 任務(wù)的空間正三角形編隊部署問題進行了研究.其軌道轉(zhuǎn)移的起點為:兩個航天器位于地球靜止軌道朝向太陽的位置,第3 個航天器位于遠離太陽的位置.吳岸明等[43]采用霍曼轉(zhuǎn)移方式設(shè)計了3 個航天器進入日地L3 ～L5 平動點的兩脈沖控制.由于構(gòu)形尺度較大(2.6 億公里),該初始化過程單星需要的燃料消耗最小需要4.4 km/s,且轉(zhuǎn)移時間超過3.2 a.

Hellings 等[44]針對OMEGA 任務(wù)的空間正三角形編隊構(gòu)形初始化問題進行了研究,提出了基于類圣杯低能軌道的方式,通過169 d 的軌道轉(zhuǎn)移將3顆衛(wèi)星發(fā)射至60 萬公里目標(biāo)軌道,然后再通過上面級減速的方式降低軌道近地點在186 d 內(nèi)形成正三角形.

2.2 空間正三角形編隊的構(gòu)形保持與重構(gòu)控制

構(gòu)形保持與重構(gòu)問題源自兩個現(xiàn)實需要:一是由于入軌誤差、控制偏差、系統(tǒng)故障以及攝動干擾的影響,編隊構(gòu)形隨時間演化顯著偏離標(biāo)稱構(gòu)形;二是由于任務(wù)變更或調(diào)整,編隊需變化為新的構(gòu)形才能滿足任務(wù)要求[39].其中構(gòu)形保持控制主要用于構(gòu)形小幅度調(diào)整,構(gòu)形重構(gòu)控制主要解決構(gòu)形大范圍調(diào)整.

LISA 任務(wù)是ESA“宇宙憧憬2015–2025” 計劃中的第三次大型任務(wù),預(yù)期于2034年發(fā)射.為解決LISA 空間正三角形編隊構(gòu)形的保持問題,Hechler等[45]從全流程任務(wù)角度進行了深入研究.研究結(jié)果表明,無法同時對3 個臂長進行穩(wěn)定,只能在幾年內(nèi)穩(wěn)定一個或兩個臂長的變化率.Bik 等[46]為LISA 的三角形編隊構(gòu)形保持問題設(shè)計了雙環(huán)控制算法,其中外環(huán)用于補償精確建模的攝動干擾,內(nèi)環(huán)采用比例微分(PD)控制實現(xiàn)各航天器的位置保持.黃文濤等[47]針對“天琴”任務(wù)的編隊構(gòu)形保持問題,提出一種基于虛擬編隊的方法,采用四脈沖控制策略,實現(xiàn)了軌道中途修正.張立華等[10]、王繼河等[11]對當(dāng)前引力波探測的編隊構(gòu)形控制問題進行了深入調(diào)研和分析,認(rèn)為:有限的機動控制能力是空間引力波探測編隊構(gòu)形控制的一個顯著特征,應(yīng)在考慮工程實際約束的前提下重點考慮組合式控制方案,充分發(fā)揮火箭上面級與衛(wèi)星平臺共同實現(xiàn)構(gòu)形初始化與重構(gòu)控制的能力.

針對引力波編隊控制問題,中國科學(xué)院院士、“天琴計劃” 首席科學(xué)家羅俊等[1]在2021年1月14日出版的論文中著重指出:“超遠的星間距離(17 萬公里)和僅裝有μN 級微推力器等特點,使得“天琴”所涉及的空間正三角形星座動力學(xué)與控制問題有別于現(xiàn)在已經(jīng)廣泛研究的近距離編隊和星座系統(tǒng),對超遠距離構(gòu)形發(fā)散機理、機動能力受限下的高精度姿軌控制等方面提出了前所未有的挑戰(zhàn).”羅俊等[1]還指出,“天琴”編隊任務(wù)應(yīng)區(qū)分科學(xué)模式與非科學(xué)模式的不同,其中控制算法的設(shè)計應(yīng)保證通過盡可能少的軌道保持實現(xiàn)構(gòu)形長期穩(wěn)定,在科學(xué)模式下要實現(xiàn)多星協(xié)調(diào)控制,在非科學(xué)模式下應(yīng)確保燃料最優(yōu).上述這些分析既為研究目標(biāo)提出了需求,也為如何開展超大型編隊構(gòu)形控制提供了思路.

開展編隊構(gòu)形控制研究是有非常迫切的現(xiàn)實需求的.隨著歐洲LISA Pathfinde 技術(shù)驗證星(2015年)、我國“太極一號”(2019)及“天琴一號”技術(shù)驗證星(2019)等陸續(xù)成功發(fā)射,多星編隊飛行任務(wù)逐漸被提上日程.2020年9月,中國科學(xué)院院士、“太極計劃”首席科學(xué)家吳岳良說,中科院正在啟動空間引力波探測計劃第二步“太極二號”雙星計劃.而與此同時,“天琴”團隊也計劃2025年前后發(fā)射雙星.由此可知,空間引力波探測編隊的高精度構(gòu)形控制需求變得越來越迫切[1,11].然而,綜合現(xiàn)有國內(nèi)外情況可知,當(dāng)前空間正三角形編隊構(gòu)形的控制問題總體研究較少,且有限的研究結(jié)果無法滿足引力波探測的任務(wù)要求[1?5,10?11].

2.3 研究建議和思路

2.3.1 空間正三角形編隊的構(gòu)形初始化控制

空間正三角形編隊的構(gòu)形初始化,是指3 個衛(wèi)星從位于停泊軌道上的運載平臺上分離進入任務(wù)軌道并形成正三角形構(gòu)形的過程.可以考慮兩種基本的構(gòu)形構(gòu)建方式:并行式和串行式,如圖7所示.其中,并行式構(gòu)建方式中,假設(shè)衛(wèi)星攜帶較多燃料,可通過自主機動進行空間交會;三星從編隊中心的運載平臺上脫離后,同步進行軌跡轉(zhuǎn)移,可以較短時間完成構(gòu)形初始化.串行式構(gòu)建方式中,假設(shè)運載平臺具有較多的剩余燃料,可攜帶三星到達各自構(gòu)形目標(biāo)位置并依次釋放,從而節(jié)省衛(wèi)星的燃料使用,但構(gòu)形構(gòu)建時間略長.

圖7 空間正三角形編隊的構(gòu)形初始化Fig.7 Configuratio initialization of Space-based triangular formation

采用基于脈沖式的控制方式實現(xiàn)單星空間交會控制.脈沖控制模型通過CW 方程構(gòu)建:給定N個脈沖施加時刻、初始相對狀態(tài)、空間正三角形構(gòu)形期望相對狀態(tài),則N個脈沖速度增量的表達式為:

得到的軌跡稱作多脈沖最優(yōu)軌跡.具體優(yōu)化時,可采用主矢量理論(primer theory)輔助判斷最優(yōu)性及改進方向,從而加速優(yōu)化過程.但上述控制模型僅具有一階精度,無法滿足引力波探測對編隊構(gòu)形精確性的要求.因此,需通過微分校正(derivative correction)原理對多脈沖的具體數(shù)值進行進一步修正:

1)通過動力學(xué)精確數(shù)值積分獲得給定控制下的末端狀態(tài)偏差:

3)迭代計算得到最終精確控制.

空間正三角形構(gòu)形要求初始相對狀態(tài)滿足嚴(yán)格穩(wěn)定性條件,需要數(shù)值搜索才能得到.該穩(wěn)定性條件對應(yīng)初始化控制問題的終端相對狀態(tài).由于轉(zhuǎn)移軌跡的不確定,該終端狀態(tài)的精確數(shù)值事先未知;若將終端狀態(tài)的實時搜索加入多脈沖優(yōu)化,則因耗時巨大而無法實現(xiàn).為此,可通過對空間圓離散化,對每個離散點采用如1.3 節(jié)的解析構(gòu)造和數(shù)值優(yōu)化方法,離線得到嚴(yán)格穩(wěn)定的相對狀態(tài)并構(gòu)造數(shù)據(jù)庫;然后對所有離散點進行三角配對形成初始化控制所需要的正三角形目標(biāo)構(gòu)形站位,如圖8所示.構(gòu)形初始化優(yōu)化時,目標(biāo)狀態(tài)將從三角配對集合中抽取和搜索(算法3:構(gòu)形三角配對算法).

圖8 空間繞飛圓的離散化及三角配對原理Fig.8 Discretization of circular relative motion and triangular matching principle

以上優(yōu)化僅為交會軌跡優(yōu)化,對應(yīng)于確定的初始條件.實際上,引力波探測任務(wù)的起點可能發(fā)生變化,由此帶來更多的優(yōu)化余地.可對分離位置不在編隊中心、停泊軌道偏離標(biāo)稱軌道兩大情形進一步探索,如圖9所示.

圖9 空間正三角形編隊構(gòu)形初始化過程的優(yōu)化問題類型Fig.9 Types of optimization problems in the space-based triangular formation configuratio initialization

2.3.2 空間正三角形編隊的構(gòu)形重構(gòu)控制

空間正三角形編隊的構(gòu)形重構(gòu)問題來源于3 種實際需求:1)攝動及誤差積累導(dǎo)致的構(gòu)形恢復(fù)需求;2)引力波探測頻段更改帶來的編隊構(gòu)形尺度調(diào)整需求;3)引力波探測方向更改帶來的編隊平面指向調(diào)整需求.考慮到引力波探測航天器實際配置約束,可在小推力連續(xù)控制模式下設(shè)計構(gòu)形重構(gòu)控制算法.

首先研究面向構(gòu)形恢復(fù)的空間正三角形編隊構(gòu)形重構(gòu)控制方法.由于空間正三角形編隊的構(gòu)形參數(shù)包括:中心位置c、臂長l、呼吸角α、編隊平面傾角β 等,因此,構(gòu)形恢復(fù)的基本類型也包括4 種,如圖10所示.但真實情況下的構(gòu)形變形,是以上4 種情形的組合,即同時包含多種構(gòu)形參數(shù)的變化.構(gòu)形恢復(fù)控制問題的求解思路為:1)確定目標(biāo)中心c,由此計算參考軌道根數(shù)以及相對坐標(biāo)系;2)確定構(gòu)形基準(zhǔn)相位角θ 并由此計算空間正三角形編隊構(gòu)形對應(yīng)的3 個衛(wèi)星的標(biāo)稱狀態(tài);3)通過最優(yōu)化控制方法(例如LQR 控制)使每個衛(wèi)星的相對狀態(tài)誤差消除為零.其中,目標(biāo)中心c和構(gòu)形基準(zhǔn)相位角θ 的確定需要通過離散化優(yōu)化實現(xiàn)(算法4:c?θ 優(yōu)化算法),具體原理為:1)從構(gòu)形發(fā)散后的中心附近按照一定間隔選取一系列待選中心點ck;2)在首個衛(wèi)星相位角的附近按照一定間隔選取一系列待選基準(zhǔn)相位角θk;3)然后,以所建立的兩脈沖控制解析解作為燃料消耗優(yōu)化指標(biāo),經(jīng)數(shù)值搜索確定出最佳c?和θ?.

圖10 空間正三角形編隊構(gòu)形恢復(fù)的4 種基本類型Fig.10 Four basic types of configuratio recovery for Space-based triangular formation configuratio

然后研究面向構(gòu)形尺度調(diào)整的空間正三角形構(gòu)形重構(gòu)控制方法.構(gòu)形尺度調(diào)整本質(zhì)上與構(gòu)形恢復(fù)問題相似,但不同之處在于前者具有較大范圍的尺度變化,直接采用誤差消除的反饋控制方法時會因推力受限而失效.因此,采用基于形狀的軌跡優(yōu)化方法(shape-based method)實現(xiàn)小推力作用下的構(gòu)形重構(gòu),如圖11所示.基本原理為:1)用一條參數(shù)化方程描述轉(zhuǎn)移軌道,該參數(shù)化方程在起點滿足初始狀態(tài)約束、在終點滿足目標(biāo)狀態(tài)約束;2)通過對參數(shù)化方程施加軌道動力學(xué)約束,反算出實現(xiàn)該軌道運動的控制函數(shù).形狀法計算效率高、優(yōu)化方便,但采用何種形狀(等價為參數(shù)化方程的形式)描述轉(zhuǎn)移軌道,長期以來具有較大的隨意性.

圖11 基于小推力最優(yōu)轉(zhuǎn)移的空間正三角形編隊構(gòu)形尺度重構(gòu)Fig.11 Size reconfiguratio of space-based triangular formation based on low-thrust trajectory transfer

筆者所在課題組近年來提出了一種基于Bezier(貝塞爾)曲線和引力場圓錐曲線方程相結(jié)合的復(fù)合函數(shù)形狀法,能夠充分利用自然軌道演化的內(nèi)在性質(zhì),且能夠通過貝塞爾曲線的高度自由性提高轉(zhuǎn)移軌跡的最優(yōu)性;相比以往的形狀法展現(xiàn)出更優(yōu)的性能.將上述方法改進后用于相對軌道運動問題(算法5:復(fù)合函數(shù)軌跡優(yōu)化算法),此時基于復(fù)合函數(shù)形狀法得到的構(gòu)形重構(gòu)轉(zhuǎn)移軌跡可用式(3)描述:

其中:rrr(s)為轉(zhuǎn)移軌跡的參數(shù)化方程,s∈ [0,1]為歸一化的時間變量,rrrH1(t)和rrrH2(t)為初始繞飛圓對應(yīng)的相對運動解析解、目標(biāo)繞飛圓對應(yīng)的相對運動解析解,BBB1(s)和BBB2(s)為貝塞爾曲線方程.這里s與時間變量t之間滿足由用戶定義的歸一化關(guān)系:s=G(t).貝塞爾曲線形如其中bi,n(s)為貝塞爾系數(shù),PPPi為待定參數(shù).通過起點、終點的約束關(guān)系:可以得到完全平滑的轉(zhuǎn)移軌跡.當(dāng)貝塞爾曲線的階數(shù)n較大時,多余的待定參數(shù)PPPi可作為優(yōu)化變量,提升轉(zhuǎn)移軌跡的最優(yōu)性.一旦轉(zhuǎn)移軌跡確定,則需要的控制可通過反解動力學(xué)得到:

與初始化控制問題類似,構(gòu)形重構(gòu)時的目標(biāo)相對狀態(tài)也具有優(yōu)化余地,因此,可采用算法3(構(gòu)形三角配對算法),將目標(biāo)構(gòu)形上的相對狀態(tài)進行離散化,從而通過數(shù)值優(yōu)化搜索確定出最佳的重構(gòu)目標(biāo).

最后研究面向編隊指向調(diào)整的空間正三角形構(gòu)形重構(gòu)控制方法.編隊指向調(diào)整問題的示意圖如圖12所示.與前述編隊構(gòu)形恢復(fù)、編隊尺度調(diào)整兩類問題不同,編隊指向調(diào)整只能通過參考軌道(即編隊中心所在的空間圓軌道)調(diào)整實現(xiàn).這是因為,根據(jù)空間正三角形構(gòu)形的形成機制可知,正三角形編隊的平面與參考軌道平面的夾角β 只能為±60?兩種情形(但考慮攝動時,β 會發(fā)生小幅度≤1?變化).因此,若要實現(xiàn)指向特定引力波方向的正三角形編隊飛行,則必須調(diào)整編隊中心所在的軌道.當(dāng)在軌任務(wù)發(fā)生變化,需要從一個探測方向(γ,φ)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粋€方向(γ′,φ′)時,則按照以下流程進行計算:1)根據(jù)擬探測方向確定參考軌道的軌道根數(shù);2)確定參考中心的位置c及對應(yīng)的相對坐標(biāo)系;3)再根據(jù)優(yōu)選規(guī)則確定目標(biāo)構(gòu)形的基準(zhǔn)相位角θ;4)按照研究內(nèi)容一所建立的動力學(xué)模型和優(yōu)化搜索方法,確定出目標(biāo)構(gòu)形對應(yīng)的3 個衛(wèi)星的位置和速度;5)最后采用算法5(復(fù)合函數(shù)形狀法),設(shè)計得到各衛(wèi)星的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌跡及控制函數(shù).其中,上述計算流程中所說的中心位置c及基準(zhǔn)相位角θ,需要通過優(yōu)化以減小構(gòu)形重構(gòu)所需要的總?cè)剂舷?具體可采用算法4(c?θ 優(yōu)化算法)進行求解.

圖12 基于小推力最優(yōu)轉(zhuǎn)移的空間正三角形編隊構(gòu)形指向重構(gòu)Fig.12 Direction reconfiguratio of space-based triangular formation based on low-thrust trajectory transfer

3 結(jié)論

本文對面向引力波探測的空間正三角形編隊動力學(xué)機理及控制方法研究現(xiàn)狀,作了系統(tǒng)全面的調(diào)研和分析.綜合現(xiàn)有情況可知,空間正三角形編隊構(gòu)形的動力學(xué)形成機制、攝動演化規(guī)律及長期穩(wěn)定策略已取得較為豐富的研究成果,能夠支持特定引力波探測工程任務(wù)的設(shè)計需求.但現(xiàn)有動力學(xué)機理研究的不足在于缺少完整統(tǒng)一的理論框架體系,且已闡明的構(gòu)形演化規(guī)律嚴(yán)重依賴數(shù)值計算結(jié)果,缺乏清晰的理論依據(jù)和物理解釋.現(xiàn)有的引力波探測控制研究在單星無拖曳控制方面成果較多,而在三星正三角形編隊控制方面成果較少.考慮到我國已明確提出在2035年前后實現(xiàn)空間引力波探測在軌實驗的計劃,多星編隊的構(gòu)形初始化、保持與控制將成為未來重要的研究方向.本文結(jié)合最新研究成果,揭示了正三角形編隊動力學(xué)機理存在的若干研究空白以及潛在的解決思路,同時借鑒經(jīng)典編隊飛行理論,建立了引力波探測編隊的構(gòu)形初始化、保持與重構(gòu)控制模型和原理.本文相關(guān)結(jié)果將為我國未來引力波探測的編隊飛行任務(wù)設(shè)計與實施提供重要的理論基礎(chǔ).