基于蒙特卡羅方法模擬球面上60個點電荷的穩(wěn)定態(tài)結(jié)構(gòu)

周 正，嚴 正，李 煒

(1.復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系,上海 200433;2.香港大學(xué) 物理系,香港)

隨著計算機技術(shù)飛越地發(fā)展，使得計算模擬在現(xiàn)代物理學(xué)的研究中扮演著至關(guān)重要的角色.在當前前沿的眾多計算物理模擬方法中，典型代表的有分子動力學(xué)模擬方法、基于密度泛函理論框架下的第一性原理計算模擬方法和蒙特卡羅模擬方法[1].其中利用隨機數(shù)的產(chǎn)生以及基于Metropolis算法的蒙特卡羅模擬方法在前沿凝聚態(tài)物理學(xué)的研究中展現(xiàn)出巨大的威力，特別是早先利用蒙特卡羅方法模擬兩維和三維Ising模型的鐵磁有序性[2]以及在當前前沿有關(guān)鐵基超導(dǎo)母體的磁有序行為特性[3]、Skyrmions磁拓撲有序結(jié)構(gòu)中的重要應(yīng)用[4].

在本文中，我們將利用基于蒙特卡羅模擬方法研究60個帶正電荷的點電荷在球面上所形成的穩(wěn)定態(tài)的結(jié)構(gòu).根據(jù)數(shù)學(xué)對稱性可知，60個點電荷在球面上所可能形成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)有[5]：截角二十面體，即足球烯C60結(jié)構(gòu)[6]，小斜方截半二十面體結(jié)果和扭棱十二面體結(jié)構(gòu)，如圖1所示.然而，在我們的實際蒙特卡羅模擬計算模擬中發(fā)現(xiàn)這3種結(jié)構(gòu)的能量并不是最低的，而最低的一種能量的結(jié)構(gòu)卻是另外一種新的，全部都由三角形所形成的結(jié)構(gòu).

1 模型與方法

在半徑為R的球面上放置著60個帶正電荷的單位點電荷(+e)，考慮到這些點電荷之間存在著靜電庫侖相互作用能為[7]

(1)

根據(jù)數(shù)學(xué)對稱性可知[5]，由60個點電荷為頂點在球面上將構(gòu)成具有高對稱性的多面體空間結(jié)構(gòu)大約有3種，即

1)截角二十面體. 如圖1(a)所示，將正二十面體的所有12個頂點削去，就得到截角二十面體.它由12個正五邊形面、20個正六邊形面、60個頂點和90個棱構(gòu)成. 每個頂點的配位數(shù)為3. 對稱性與正十二面體相同，空間點群對稱群為Ih. 同時這里需要指出的是這種截角二十面體和足球烯結(jié)構(gòu)一樣，即60個碳原子所形成的球狀結(jié)構(gòu)[6].

2)小斜方截半二十面體. 如圖1(b)所示，將正二十面體30條棱和12個頂點都削去，就得到小斜方截半二十面體. 它由20個正三角形面、30個正方形面、12個正五邊形面、60個頂點和120條棱構(gòu)成. 每個頂點的配位數(shù)為4. 該結(jié)構(gòu)的空間點群對稱性對稱性與截角正十二面體的對稱群結(jié)構(gòu)相同,即點群對稱群為Ih.

圖1 由60個頂點構(gòu)成的具有高對稱性的多面體結(jié)構(gòu)

3)扭棱十二面體. 如圖1(c)所示，將正十二面體的正五邊形面邊往外拉邊旋轉(zhuǎn)，在空缺的位置填入正三角形，就得到扭棱十二面體. 它由80個正三角形面、12個正五邊形面、60個頂點和150條棱構(gòu)成. 每個頂點的配位數(shù)為5. 相較于正十二面體而言，該扭棱十二面體結(jié)構(gòu)中的中心對稱性已經(jīng)破缺，使得該結(jié)構(gòu)的空間點群對稱性降低為點群對稱群I.

從數(shù)值計算模擬角度上講，我們將這60個點電荷置于半徑為R的球面上，同時連接這些點電荷為頂點所形成的上述3種多面體結(jié)構(gòu)，如圖1所示，其中我們假設(shè)以1計算構(gòu)型的能量單位[7]，E0=e2/4πε0R2，并將這3種結(jié)構(gòu)對應(yīng)的能量的數(shù)值計算結(jié)果列于表1. 從這些計算數(shù)據(jù)中我們可以發(fā)現(xiàn)具有高對稱性的構(gòu)型結(jié)構(gòu)中，小斜方截半二十面體的能量是最低的，而不是我們所期望看到的截角二十面體(足球烯結(jié)構(gòu))的能量最低，亦不是空間點群最低的扭棱十二面體結(jié)構(gòu)的能量最低.

表1 由60 個點電荷為頂點所構(gòu)成的具有高對稱性的多面體的性質(zhì)及相應(yīng)的能量

為了從數(shù)值上驗證小斜方截半二十面體是否是在球面上的60個點電荷所形成的能量最低的構(gòu)型，于是我們采用基于熱退火的方法[8]對系統(tǒng)進行蒙特卡羅方法模擬[9]. 在實際的計算模擬過程中我們采用線性地降低系統(tǒng)所處的溫度，即

(2)

(3)

表示接受更新. 在每一次的MCS中的i均遍歷球面上的每一個點電荷. 在我們的實際計算模擬過程中我們設(shè)置總步數(shù)為τ0=106MCS，設(shè)置初始溫度為T0=10E0/kB.

2 計算結(jié)果與討論

通過蒙特卡羅的退火計算模擬結(jié)果，如圖2所示，我們發(fā)現(xiàn)體系的能量很快地降低于目前根據(jù)對稱性所知的3種可能存在的結(jié)構(gòu)[5]所對應(yīng)的體系總能量. 隨著時間繼續(xù)演化，體系的能量逐漸地趨于收斂. 其收斂時的體系能量為Emin=1543.83E0，相比于截角二十面體(足球烯結(jié)構(gòu))所對應(yīng)的能量低8.07，相比于3種已知結(jié)構(gòu)的最穩(wěn)定態(tài)結(jié)構(gòu)，比小斜方截半二十面體，的能量低2.98，說明我們通過蒙特卡羅計算模式所獲得的結(jié)構(gòu)對應(yīng)的能量確實是最穩(wěn)定的.同時，我們也將獲得最終收斂時的體系結(jié)構(gòu)，如圖3所示，該構(gòu)型對應(yīng)的多面體是由116個三角形面組成，60個頂點中有48個六配位和12個五配位. 從對稱性角度看，我們還發(fā)現(xiàn)它也不具有高對稱性. 我們發(fā)現(xiàn)了不存在著中心反演對稱性，也不具有旋轉(zhuǎn)對稱性的一種全新結(jié)構(gòu).

圖2 蒙特卡羅模擬中能量隨時間的演化關(guān)系(ΔE=E-Emin，Emin為退火到達的最低能量，3條水平線分別為3個高對稱性構(gòu)型對應(yīng)的能量)

圖3 蒙特卡羅退火模擬得到的能量最低的構(gòu)型

3 總結(jié)

在本文中我們通過基于蒙特卡羅模擬方法，揭示出60個點電荷在球面上所形成的穩(wěn)定態(tài)的結(jié)構(gòu)并不是我們所預(yù)期的足球烯C60結(jié)構(gòu)(截角二十面體)，亦不是早先從數(shù)學(xué)對稱性角度分析給出的小斜方截半二十面體結(jié)果和扭棱十二面體結(jié)構(gòu)，而是一種新的，由116個三角形面組成，60個頂點中有48個六配位和12個五配位組成的新的球面空間結(jié)構(gòu).它在能量上比其它3種結(jié)構(gòu)的能量均要低.因此，這些方面的研究及其結(jié)構(gòu)不僅能為今后本科生學(xué)習基礎(chǔ)物理的提供重要的思路與參考資料，而且也為后續(xù)利用基于蒙特卡羅模擬方法探索研究不同的分子結(jié)構(gòu)的模擬提供一種新的技能以尋找可能存在的新的結(jié)構(gòu).