若干delta勢(shì)的薛定諤方程的傅里葉變換求解

熊路淋，譚 鑫，羅 光

(重慶師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院,重慶 401331)

delta函數(shù)是一類(lèi)重要函數(shù)，該函數(shù)描述的勢(shì)在量子力學(xué)中也是一個(gè)非常重要的勢(shì).delta函數(shù)對(duì)應(yīng)薛定諤方程的求解方法的討論和研究也一直是學(xué)界的熱門(mén)，而且求解一般僅涉及由于涉及單或者雙delta勢(shì)[1-3]，討論多delta勢(shì)問(wèn)題則相對(duì)較少.delta勢(shì)約束下的薛定諤方程由于涉及分段問(wèn)題以及相應(yīng)的銜接條件，求解過(guò)程并不簡(jiǎn)單.特別是勢(shì)的個(gè)數(shù)多時(shí)，薛定諤方程的求解過(guò)程更加繁瑣[4-6].

針對(duì)量子力學(xué)中的傅里葉變換的討論，一般在涉及坐標(biāo)空間表象和動(dòng)量空間表象中的關(guān)系時(shí)才給出.實(shí)際上傅里葉變換本身是一種比較有效的求解薛定諤方程的方法.但是由于傅里葉變換的條件較為苛刻，通過(guò)查閱傅里葉變換表[7-9]可知滿足傅里葉變換的函數(shù)不多，因此在量子力學(xué)中用傅里葉變換法求解的實(shí)例不多，甚至并未真正提出這樣一個(gè)求解方法[10-13].對(duì)于涉及雙delta勢(shì)阱、三delta勢(shì)阱甚至n個(gè)delta勢(shì)阱(即梳狀delta勢(shì)阱)的薛定諤方程，如果采用傅里葉變換法來(lái)求解，則求解過(guò)程將會(huì)變得相當(dāng)簡(jiǎn)便.

本文研究基于傅里葉變換法求解若干delta勢(shì)阱作用下定態(tài)薛定諤方程.

1 單delta勢(shì)阱約束下傅里葉變換法求解

勢(shì)V(x)約束下的定態(tài)薛定諤方程[3]為

(1)

當(dāng)V(x)為delta勢(shì)時(shí)，有

V(x)=-γδ(x)

(2)

這種情況下，薛定諤方程的常規(guī)求解一般需要從x≠0和x=0兩種情況出發(fā)，得出對(duì)應(yīng)的通解形式，然后利用|x|→∞時(shí)的邊界條件以及x=0處的銜接條件，以確定相關(guān)的常數(shù)，最后得出特解和能級(jí)形式.但是如果采用傅里葉變換法求解，上述繁瑣過(guò)程就可以大大簡(jiǎn)化.

(3)

(4)

對(duì)式(4)作傅里葉逆變換，可以從以下3種情況進(jìn)行分析

1)E>0：對(duì)式(4)兩邊作傅里葉逆變換，有

(5)

由于奇偶函數(shù)的傅里葉變換將保持函數(shù)的奇偶性的特點(diǎn)[14]，式(5)得出的把函數(shù)也應(yīng)該滿足奇偶性，即φ(-x)=φ(x)，故當(dāng)x>0時(shí)

(6)

當(dāng)x<0時(shí)

(7)

因此傅里葉逆變換結(jié)果為

(8)

進(jìn)而得φ(0)=0，與前文矛盾，因此需舍去.

2)E=0：式(4)傅里葉逆變換表達(dá)式為

(9)

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

(10)

(11)

進(jìn)而得

(12)

所以依然需要考慮保持被變換函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)φ(-x)=φ(x)，因此

(13)

由于φ(x)有限要求φ(0)=0，與前文矛盾，因此需舍去.綜合1)和2)，下文就不再討論E≥0，僅僅討論E<0的情況.

3)E<0：式(4)傅里葉逆變換結(jié)果為[9]

(14)

圖1 單delta勢(shì)約束下的波函數(shù)示意圖

2 雙delta勢(shì)阱約束下傅里葉變換法求解

當(dāng)V(x)為雙delta勢(shì)時(shí)，有

V(x)=-γ1δ(x+a1)-γ2δ(x-a2)

(15)

(16)

(17)

僅考慮E<0，對(duì)上式作傅里葉逆變換，結(jié)果為[9]

(18)

由于雙delta勢(shì)關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)，方程(1)的解一般是具有宇稱(chēng)性.

(19)

(20)

這樣波函數(shù)可以最終確定出來(lái)，示意圖如圖2(a)所示.

圖2 雙delta勢(shì)約束下的波函數(shù)示意圖

(21)

這樣波函數(shù)可以最終確定出來(lái)，示意圖如圖2(b)所示.

3 三delta勢(shì)阱約束下傅里葉變換法求解

當(dāng)V(x)為三delta勢(shì)時(shí)，有

V(x)=-γδ(x+a)-γδ(x)-γδ(x-a)

(22)

對(duì)相應(yīng)的薛定諤方程做傅里葉變換可得

(23)

僅考慮φ(-a)eiwa+φ(0)+φ(a)e-iwa≠0且E<0，有

(24)

對(duì)上式作傅里葉逆變換，結(jié)果為[9]

(25)

利用波函數(shù)在x=-a、0、a處的取值以及歸一化條件可以確定系數(shù)φ(-a)、φ(0)、φ(a)及E的取值.由式(25)，也可以畫(huà)出具有奇偶宇稱(chēng)性的波函數(shù)的示意圖如圖3所示.

圖3 三delta勢(shì)約束下的波函數(shù)示意圖

4 奇數(shù)(2n+1)個(gè)delta勢(shì)約束下方程的求解

當(dāng)V(x)為delta勢(shì)時(shí)

(26)

對(duì)三delta勢(shì)阱約束下的薛定諤方程作傅里葉變換，得

(27)

(28)

依然考慮E<0的情況，作傅里葉逆變換，結(jié)果為[9]

(29)

利用x=ja處波函數(shù)特殊性及歸一化條件：

(i=-n,-n+1,…,n)

(30)

(31)

可以定出能量E和φ(ja)，最終可以確定出波函數(shù).由(式29)，也可以畫(huà)出具有奇偶宇稱(chēng)性的波函數(shù)(這里選擇n=3時(shí))的示意圖如圖4所示.

圖4 7個(gè)delta勢(shì)約束下的波函數(shù)示意圖

5 偶數(shù)(2n)個(gè)delta勢(shì)約束下方程求解

當(dāng)V(x)為delta勢(shì)時(shí)，有

(32)

對(duì)三delta勢(shì)阱約束下的薛定諤方程作傅里葉變換，得

(33)

(34)

依然考慮E<0的情況，作傅里葉逆變換，結(jié)果為[9]

(35)

(36)

(37)

圖5 8個(gè)delta勢(shì)約束下的波函數(shù)示意圖

5 結(jié)論

雖然基于傅里葉變換法的薛定諤方程的求解在量子力學(xué)中不多見(jiàn)，但這的確是一種簡(jiǎn)捷有效的方法.從本文討論的具有若干delta勢(shì)阱約束下的薛定諤方程的傅里葉變換法求解過(guò)程可以看出這一點(diǎn).