冉潔 陳克超
圖像命題是高考命題的熱點(diǎn),而電場(chǎng)中的圖像分析是電場(chǎng)命題的高頻點(diǎn).?現(xiàn)在來探索φ-x圖像線性變化的基本模型與延伸討論.
一、模型分析——x軸、電場(chǎng)線方向共線
圖像的分析策略是點(diǎn)線面的意義分析,再結(jié)合物理過程和函數(shù)思想解決問題.?φ-x圖的點(diǎn)是電勢(shì)與位置的對(duì)應(yīng),可以求出該位置電勢(shì)、電荷具有的電勢(shì)能,兩個(gè)位置間電場(chǎng)力做功和電勢(shì)能的變化;圖像的斜率判斷沿x方向電場(chǎng)強(qiáng)度Ex隨位置x的變化規(guī)律;面積沒有意義.?如果x軸、電場(chǎng)線方向共線,φ-x圖像中圖線呈線性變化,空間必為勻強(qiáng)電場(chǎng),圖像的斜率是勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度,結(jié)合初始條件,可以判斷粒子運(yùn)動(dòng)的加速度、速度時(shí)間,電場(chǎng)力做功、電勢(shì)能變化等,從力和能兩個(gè)觀念分析電場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng).
【例1】(多選)如圖1甲所示,M、N為x軸上的兩點(diǎn),位置坐標(biāo)分別為(x1,0)、(x2,0),電勢(shì)分別為φ1、φ2,整個(gè)空間有平行于x軸的靜電場(chǎng),圖乙為x軸各點(diǎn)電勢(shì)φ隨x變化的圖像.?一電子從某位置靜止釋放,到達(dá)x=0時(shí)的動(dòng)能為Ek,已知電子電量為e,質(zhì)量為m,x=0點(diǎn)處電勢(shì)為零,不計(jì)質(zhì)子重力,則下列分析正確的是( ?)
A.?電子在M點(diǎn)處加速度為
B.?電子在M點(diǎn)處速度為
C.?電子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)間為
D.?電子在N點(diǎn)處動(dòng)能與電勢(shì)能之和為Ek
解析:靜電場(chǎng)平行于x軸,則?準(zhǔn)-x圖線的斜率表示場(chǎng)強(qiáng),所以該靜電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng),E==,運(yùn)動(dòng)的加速度a==,故A錯(cuò)誤;設(shè)質(zhì)子在M點(diǎn)處速度為v1,根據(jù)動(dòng)能定理φ1e=mv12-Ek,v1=,故B正確;同理質(zhì)子在N點(diǎn)處速度為v2=,又x2-x1=t,t=,故C正確;質(zhì)子只受電場(chǎng)力,所以動(dòng)能和電勢(shì)能之和不變,所以任意位置動(dòng)能和電勢(shì)能之和等于x=0點(diǎn)處的動(dòng)能為Ek,故D錯(cuò)誤.
拓展:1.?情景改變?yōu)閤軸方向相反的組合電場(chǎng)模型,粒子做周期性直線運(yùn)動(dòng),并具有對(duì)稱性特征.
【變式1】如圖2,空間存在著平行于x軸方向的靜電場(chǎng),P、M為x軸上的兩點(diǎn),x軸上各點(diǎn)的電勢(shì)φ隨位置坐標(biāo)x的變化如圖所示.?一個(gè)質(zhì)量m,電荷量q的帶正電粒子僅在電場(chǎng)力作用下從P點(diǎn)由靜止開始沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),試判斷:粒子的運(yùn)動(dòng)情況;粒子在x軸左、右側(cè)運(yùn)動(dòng)的加速度大小;運(yùn)動(dòng)的最大速度;運(yùn)動(dòng)的區(qū)間和運(yùn)動(dòng)的周期.
答案:粒子做周期性的勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng);a=、a′=;vm=;(x2-)、(T=+).
2.?情景變?yōu)槌跛俣却怪庇陔妶?chǎng)方向,構(gòu)成典型的電偏轉(zhuǎn)模型.
【變式2】在xoy平面內(nèi)的第三、四象限有平行于x軸向右的勻強(qiáng)電場(chǎng),如圖3所示,電勢(shì)與x坐標(biāo)滿足φ=φ0+kx(坐標(biāo)原點(diǎn)的電勢(shì)為φ0).?一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小球(重力不計(jì))從y=-L的A點(diǎn),以初速度v0沿+y方向射入電場(chǎng),從x軸上的B點(diǎn)射出.?試判斷:B點(diǎn)的電勢(shì)能;粒子在B點(diǎn)的速度大小和速度方向與x軸夾角的正切值;改變?nèi)肷渌俣却笮。ㄟh(yuǎn)小于光速)小球從x軸射出上速度的最小值.
答案:EpB?=?φ0?q+;vB?=,tan?茲=;2v0?.
3.?情景變?yōu)槎嗔W舆\(yùn)動(dòng)比較,體現(xiàn)對(duì)比分析中的函數(shù)思想.
【變式3】如圖4,在xoy平面內(nèi)有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)E,M、N點(diǎn)在x軸上.?質(zhì)量不相等的兩個(gè)帶正電荷的同位素粒子,以相同的速度v0同時(shí)從M、N點(diǎn)垂直射入電場(chǎng)中,不計(jì)粒子的重力和粒子間的庫侖力作用.?已知兩粒子都能經(jīng)過P點(diǎn),在此過程中,試比較兩粒子的質(zhì)量、到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)間、動(dòng)量的變化、電勢(shì)能的變化關(guān)系.
答案:mM>mN、時(shí)間相等、△PM<△PN、△EPM?<△EPN?.
二、模型延伸應(yīng)用
如果x軸的方向與電場(chǎng)線平行有夾角?茲,那么涉及正交分解法來研究,沿x方向的場(chǎng)強(qiáng)Ex=E·cos?茲.
(一)電場(chǎng)方向與x軸垂直.
電場(chǎng)方向與x軸垂直時(shí),φ-x圖為平行于x軸的直線,x軸是等勢(shì)面,抓住等勢(shì)面這個(gè)特征,結(jié)合初始條件分析粒子的運(yùn)動(dòng),從而求解.
【例2】如圖5,在L>y>0的空間中,存在沿+y方向的靜電場(chǎng),在-L (1)電子在y方向的分運(yùn)動(dòng)周期; (2)電子通過x軸時(shí)的動(dòng)能; (3)電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與x軸的各個(gè)交點(diǎn)中,任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離l. 解析:?(1)y=L和y=-L處電勢(shì)均為φ0,x軸電勢(shì)為零,所以空間分布的是兩個(gè)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).?電子射入電場(chǎng)后,x方向的分運(yùn)動(dòng)一直為勻速運(yùn)動(dòng);y方向的分運(yùn)動(dòng)為先是+y方向的加速運(yùn)動(dòng)后減速運(yùn)動(dòng),接著沿-y方向的加速運(yùn)動(dòng)后減速運(yùn)動(dòng),……如此反復(fù).?設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,粒子的加速度大小為a,有E=,a==,又d=at2,電子在y方向分運(yùn)動(dòng)的周期為:T=4t=4 (2)由動(dòng)能定理有qEd=Ek-mv20,粒子第一次到達(dá)x軸時(shí)動(dòng)能為Ek=mv20+ed (3)在水平方向上:x=v0?t=v0 電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與x軸的各個(gè)交點(diǎn)中,任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離l:l=2x=2v0. 拓展: 1.?多粒子垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)區(qū),電偏轉(zhuǎn)中打在極板上、飛出場(chǎng)區(qū)、示波管原理幾種模型組合. 【變式1】如圖6所示,第一象限內(nèi)L>x>0的區(qū)域內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng),一電子束以相同的某初速度沿水平方向從+y軸上不同位置射入場(chǎng)區(qū),如圖所示,其中電子從+y軸上y=的A點(diǎn)處進(jìn)入電場(chǎng),恰好從x=L處的B點(diǎn)射出場(chǎng)區(qū)(A、B兩點(diǎn)未畫出),已知A處電勢(shì)為φA,射出點(diǎn)B處電勢(shì)為φB,電子電量為-e,質(zhì)量為m.?試判斷:電子在由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中電場(chǎng)力做的功WAB;電子束的初速度;電場(chǎng)后從電場(chǎng)的右邊界飛出時(shí)運(yùn)動(dòng)方向是否仍然彼此平行?射出場(chǎng)區(qū)時(shí)的x坐標(biāo)值和射入場(chǎng)區(qū)時(shí)的y坐標(biāo)值的關(guān)系式. 答案:WAB=e(φB-φA);v0=;平行;在電場(chǎng)中直接過x軸情形x2=2Ly、飛出場(chǎng)區(qū)后過x軸情形x=+y. 2.?粒子向各個(gè)方向發(fā)射,粒子到達(dá)x軸的判斷. 【變式2】如圖7,在豎直平面內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng),y=l的P點(diǎn)能在沿豎直平面內(nèi)以相同的速率v0,向各個(gè)方向不斷發(fā)射電荷量為+q,質(zhì)量為m的粒子(不計(jì)重力),所有粒子都能到達(dá)x軸所在的水平面,且它們到達(dá)x軸時(shí)動(dòng)能都相等.?若射出時(shí)速度方向與-y方向的夾角為60°粒子,它經(jīng)過x軸上的B點(diǎn)時(shí)速度方向與-y方向的夾角為30°.?試判斷:P、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差;場(chǎng)強(qiáng)的大小方向;水平方向發(fā)射的粒子到達(dá)x軸所在水平面的范圍. 答案:UPB=;E=;O點(diǎn)為圓心圓面S=2?仔l(wèi)2. 3.?電磁組合場(chǎng)中粒子的周期性運(yùn)動(dòng). 【變式3】如圖8所示,在直角坐標(biāo)系xoy平面內(nèi),在第一、二象限沿-y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)大小為E;在第三、四象限內(nèi)存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為.?一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子,從y軸上y=h點(diǎn)以一定初速度沿+x方向射出,第一次射出電場(chǎng)時(shí),速度方向與x軸正方向的夾角為60°.?不計(jì)粒子重力.?試判斷:粒子第一次射出電場(chǎng)的位置坐標(biāo);粒子第一次射出磁場(chǎng)的位置坐標(biāo);粒子是否能通過x=2h位置點(diǎn). 答案:x1=h;x2=0;能. (二)電場(chǎng)方向與x軸有夾角?茲. 電場(chǎng)與x軸有夾角時(shí),φ與x的函數(shù)圖像的斜率是x方向的分場(chǎng)強(qiáng),巧妙分解力或者分解速度,運(yùn)用拋體運(yùn)動(dòng)模型分析求解. 【例3】如圖9所示,空間存在方向沿紙面內(nèi)平行于OM的勻強(qiáng)電場(chǎng),電勢(shì)φ與x坐標(biāo)滿足φ=φ0+kx(坐標(biāo)原點(diǎn)的電勢(shì)為φ0).?一帶電量為+q、質(zhì)量為m的粒子(不計(jì)重力),以初速度v0由O點(diǎn)沿+x方向射入電場(chǎng)區(qū).?已知OM與+x方向的夾角為?茲,ON間距離為L,求: (1)ON兩點(diǎn)的電勢(shì)差; (2)粒子回到過O點(diǎn)的等勢(shì)面時(shí)的位置坐標(biāo); (3)粒子運(yùn)動(dòng)過程中在+x方向偏離y軸的最大值. 解析:(1)ON兩點(diǎn)的電勢(shì)差為UON=-kL (2)由φ=φ0+kx知,Ex=k,所以則勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E==,粒子所受電場(chǎng)力方向斜向左下方,小球做類斜上拋運(yùn)動(dòng),沿OM方向和垂直于OM方向分解初速度,沿OM方向做往返的勻減速運(yùn)動(dòng),回到過O點(diǎn)的等勢(shì)面的時(shí)間t=2=,離O點(diǎn)的距離為S=v0sin?茲·t=,粒子回到過O點(diǎn)的等勢(shì)面時(shí)的位置坐標(biāo),x=S·sin?茲=,y=-S·cos?茲=- (3)小球做類斜上拋運(yùn)動(dòng),將電場(chǎng)力沿-x和-y方向分解,粒子沿+x方向做往返勻減速運(yùn)動(dòng),同理有v0=ax?t,xm=ax?t2,解得xm=. 拓展: 1.?改變初速度方向,初速度與電場(chǎng)方向、x軸均不共線. 【變式1】如圖10所示,在xoy坐標(biāo)系內(nèi)有一直角三角形OAB,處于平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)中,O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),∠A是直角,∠B=30°,OB長為2L,已知A點(diǎn)的電勢(shì)為?漬(?漬>0),B點(diǎn)的電勢(shì)為2?漬,O點(diǎn)的電勢(shì)為0,一帶電的粒子以初速度v0從O點(diǎn)入射,方向與-x方向夾角為60°,粒子恰能過圖中的A點(diǎn).?不計(jì)粒子的重力,試判斷:電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和粒子的比荷大小. 答案:E=;=. 2.?初速度與電場(chǎng)方向、x軸均不共線,同時(shí)組合電場(chǎng)模型的多過程運(yùn)動(dòng). 【例4】如圖11所示,在直角坐標(biāo)系xOy的第一、四象限內(nèi),分別存在大小均為E、方向不同的兩個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng),兩個(gè)電場(chǎng)的方向與x軸所夾的銳角都是60°.?一質(zhì)量為m、電量為+q的粒子(不計(jì)重力),從+y軸上p點(diǎn)沿著與+y方向成60°角方向以初速度v0射入場(chǎng)區(qū),第一次到達(dá)x軸上的Q點(diǎn)時(shí)速度方向與+x方向成30°角.?試判斷:粒子在P、Q兩點(diǎn)速度之比;P、Q兩點(diǎn)電勢(shì)能的變化;粒子第一次與第二次通過x軸的坐標(biāo)之比. 答案:=;0;=. 總之,φ-x圖像線性變化對(duì)應(yīng)著勻強(qiáng)電場(chǎng),電場(chǎng)的方向與x軸共線、垂直、有夾角三種情況為依據(jù),通過改變初位置點(diǎn)、初速度方向、多電場(chǎng)、多粒子來改變問題情境,帶點(diǎn)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)取決于初位置點(diǎn)、初速度方向、x軸、電場(chǎng)線方向四個(gè)條件的變化,以x軸、電場(chǎng)線方向關(guān)系為基礎(chǔ),巧妙融入帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中加速與偏轉(zhuǎn)模型,深挖電場(chǎng)方向與x軸的兩線的空間關(guān)系為基本點(diǎn),通過改變問題的視角、維度和層次,展示考查學(xué)生能力背后的解題方法的深度與廣度、數(shù)學(xué)運(yùn)用能力與思維策略,符合高考以能力為根本的命題立意. 責(zé)任編輯?李平安