源于φ-x圖像線性變化的延伸探討

冉潔 陳克超

圖像命題是高考命題的熱點(diǎn)，而電場(chǎng)中的圖像分析是電場(chǎng)命題的高頻點(diǎn).?現(xiàn)在來(lái)探索φ-x圖像線性變化的基本模型與延伸討論.

一、模型分析——x軸、電場(chǎng)線方向共線

圖像的分析策略是點(diǎn)線面的意義分析，再結(jié)合物理過(guò)程和函數(shù)思想解決問(wèn)題.?φ-x圖的點(diǎn)是電勢(shì)與位置的對(duì)應(yīng)，可以求出該位置電勢(shì)、電荷具有的電勢(shì)能，兩個(gè)位置間電場(chǎng)力做功和電勢(shì)能的變化;圖像的斜率判斷沿x方向電場(chǎng)強(qiáng)度Ex隨位置x的變化規(guī)律;面積沒(méi)有意義.?如果x軸、電場(chǎng)線方向共線，φ-x圖像中圖線呈線性變化，空間必為勻強(qiáng)電場(chǎng)，圖像的斜率是勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度，結(jié)合初始條件，可以判斷粒子運(yùn)動(dòng)的加速度、速度時(shí)間，電場(chǎng)力做功、電勢(shì)能變化等，從力和能兩個(gè)觀念分析電場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng).

【例1】（多選）如圖1甲所示，M、N為x軸上的兩點(diǎn)，位置坐標(biāo)分別為（x1，0）、（x2，0），電勢(shì)分別為φ1、φ2，整個(gè)空間有平行于x軸的靜電場(chǎng)，圖乙為x軸各點(diǎn)電勢(shì)φ隨x變化的圖像.?一電子從某位置靜止釋放，到達(dá)x=0時(shí)的動(dòng)能為Ek，已知電子電量為e，質(zhì)量為m，x=0點(diǎn)處電勢(shì)為零，不計(jì)質(zhì)子重力，則下列分析正確的是（ ?）

A.?電子在M點(diǎn)處加速度為

B.?電子在M點(diǎn)處速度為

C.?電子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)時(shí)間為

D.?電子在N點(diǎn)處動(dòng)能與電勢(shì)能之和為Ek

解析：靜電場(chǎng)平行于x軸，則？準(zhǔn)-x圖線的斜率表示場(chǎng)強(qiáng)，所以該靜電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，E==，運(yùn)動(dòng)的加速度a==，故A錯(cuò)誤;設(shè)質(zhì)子在M點(diǎn)處速度為v1，根據(jù)動(dòng)能定理φ1e=mv12-Ek，v1=，故B正確;同理質(zhì)子在N點(diǎn)處速度為v2=，又x2-x1=t，t=，故C正確;質(zhì)子只受電場(chǎng)力，所以動(dòng)能和電勢(shì)能之和不變，所以任意位置動(dòng)能和電勢(shì)能之和等于x=0點(diǎn)處的動(dòng)能為Ek，故D錯(cuò)誤.

拓展：1.?情景改變?yōu)閤軸方向相反的組合電場(chǎng)模型，粒子做周期性直線運(yùn)動(dòng)，并具有對(duì)稱(chēng)性特征.

【變式1】如圖2，空間存在著平行于x軸方向的靜電場(chǎng)，P、M為x軸上的兩點(diǎn)，x軸上各點(diǎn)的電勢(shì)φ隨位置坐標(biāo)x的變化如圖所示.?一個(gè)質(zhì)量m，電荷量q的帶正電粒子僅在電場(chǎng)力作用下從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，試判斷：粒子的運(yùn)動(dòng)情況;粒子在x軸左、右側(cè)運(yùn)動(dòng)的加速度大小;運(yùn)動(dòng)的最大速度;運(yùn)動(dòng)的區(qū)間和運(yùn)動(dòng)的周期.

答案：粒子做周期性的勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng);a=、a′=;vm=;（x2-）、（T=+）.

2.?情景變?yōu)槌跛俣却怪庇陔妶?chǎng)方向，構(gòu)成典型的電偏轉(zhuǎn)模型.

【變式2】在xoy平面內(nèi)的第三、四象限有平行于x軸向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，如圖3所示，電勢(shì)與x坐標(biāo)滿(mǎn)足φ=φ0+kx（坐標(biāo)原點(diǎn)的電勢(shì)為φ0）.?一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電小球（重力不計(jì)）從y=-L的A點(diǎn)，以初速度v0沿+y方向射入電場(chǎng)，從x軸上的B點(diǎn)射出.?試判斷：B點(diǎn)的電勢(shì)能;粒子在B點(diǎn)的速度大小和速度方向與x軸夾角的正切值;改變?nèi)肷渌俣却笮。ㄟh(yuǎn)小于光速）小球從x軸射出上速度的最小值.

答案：EpB?=?φ0?q+;vB?=，tan？茲=;2v0?.

3.?情景變?yōu)槎嗔Ｗ舆\(yùn)動(dòng)比較，體現(xiàn)對(duì)比分析中的函數(shù)思想.

【變式3】如圖4，在xoy平面內(nèi)有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，M、N點(diǎn)在x軸上.?質(zhì)量不相等的兩個(gè)帶正電荷的同位素粒子，以相同的速度v0同時(shí)從M、N點(diǎn)垂直射入電場(chǎng)中，不計(jì)粒子的重力和粒子間的庫(kù)侖力作用.?已知兩粒子都能經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在此過(guò)程中，試比較兩粒子的質(zhì)量、到達(dá)P點(diǎn)的時(shí)間、動(dòng)量的變化、電勢(shì)能的變化關(guān)系.

答案：mM>mN、時(shí)間相等、△PM<△PN、△EPM?<△EPN?.

二、模型延伸應(yīng)用

如果x軸的方向與電場(chǎng)線平行有夾角？茲，那么涉及正交分解法來(lái)研究，沿x方向的場(chǎng)強(qiáng)Ex=E·cos？茲.

（一）電場(chǎng)方向與x軸垂直.

電場(chǎng)方向與x軸垂直時(shí)，φ-x圖為平行于x軸的直線，x軸是等勢(shì)面，抓住等勢(shì)面這個(gè)特征，結(jié)合初始條件分析粒子的運(yùn)動(dòng)，從而求解.

【例2】如圖5，在L>y>0的空間中，存在沿+y方向的靜電場(chǎng)，在-L

（1）電子在y方向的分運(yùn)動(dòng)周期;

（2）電子通過(guò)x軸時(shí)的動(dòng)能;

（3）電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與x軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離l.

解析：?（1）y=L和y=-L處電勢(shì)均為φ0，x軸電勢(shì)為零，所以空間分布的是兩個(gè)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).?電子射入電場(chǎng)后，x方向的分運(yùn)動(dòng)一直為勻速運(yùn)動(dòng);y方向的分運(yùn)動(dòng)為先是+y方向的加速運(yùn)動(dòng)后減速運(yùn)動(dòng)，接著沿-y方向的加速運(yùn)動(dòng)后減速運(yùn)動(dòng)，……如此反復(fù).?設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，粒子的加速度大小為a，有E=，a==，又d=at2，電子在y方向分運(yùn)動(dòng)的周期為：T=4t=4

（2）由動(dòng)能定理有qEd=Ek-mv20，粒子第一次到達(dá)x軸時(shí)動(dòng)能為Ek=mv20+ed

（3）在水平方向上：x=v0?t=v0

電子運(yùn)動(dòng)的軌跡與x軸的各個(gè)交點(diǎn)中，任意兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離l：l=2x=2v0.

拓展：

1.?多粒子垂直于電場(chǎng)方向射入電場(chǎng)區(qū)，電偏轉(zhuǎn)中打在極板上、飛出場(chǎng)區(qū)、示波管原理幾種模型組合.

【變式1】如圖6所示，第一象限內(nèi)L>x>0的區(qū)域內(nèi)存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一電子束以相同的某初速度沿水平方向從+y軸上不同位置射入場(chǎng)區(qū)，如圖所示，其中電子從+y軸上y=的A點(diǎn)處進(jìn)入電場(chǎng)，恰好從x=L處的B點(diǎn)射出場(chǎng)區(qū)（A、B兩點(diǎn)未畫(huà)出），已知A處電勢(shì)為φA，射出點(diǎn)B處電勢(shì)為φB，電子電量為-e，質(zhì)量為m.?試判斷：電子在由A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中電場(chǎng)力做的功WAB;電子束的初速度;電場(chǎng)后從電場(chǎng)的右邊界飛出時(shí)運(yùn)動(dòng)方向是否仍然彼此平行？射出場(chǎng)區(qū)時(shí)的x坐標(biāo)值和射入場(chǎng)區(qū)時(shí)的y坐標(biāo)值的關(guān)系式.

答案：WAB=e（φB-φA）;v0=;平行;在電場(chǎng)中直接過(guò)x軸情形x2=2Ly、飛出場(chǎng)區(qū)后過(guò)x軸情形x=+y.

2.?粒子向各個(gè)方向發(fā)射，粒子到達(dá)x軸的判斷.

【變式2】如圖7，在豎直平面內(nèi)存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，y=l的P點(diǎn)能在沿豎直平面內(nèi)以相同的速率v0，向各個(gè)方向不斷發(fā)射電荷量為+q，質(zhì)量為m的粒子（不計(jì)重力），所有粒子都能到達(dá)x軸所在的水平面，且它們到達(dá)x軸時(shí)動(dòng)能都相等.?若射出時(shí)速度方向與-y方向的夾角為60°粒子，它經(jīng)過(guò)x軸上的B點(diǎn)時(shí)速度方向與-y方向的夾角為30°.?試判斷：P、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差;場(chǎng)強(qiáng)的大小方向;水平方向發(fā)射的粒子到達(dá)x軸所在水平面的范圍.

答案：UPB=;E=;O點(diǎn)為圓心圓面S=2？仔l(wèi)2.

3.?電磁組合場(chǎng)中粒子的周期性運(yùn)動(dòng).

【變式3】如圖8所示，在直角坐標(biāo)系xoy平面內(nèi)，在第一、二象限沿-y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E;在第三、四象限內(nèi)存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為.?一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子，從y軸上y=h點(diǎn)以一定初速度沿+x方向射出，第一次射出電場(chǎng)時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為60°.?不計(jì)粒子重力.?試判斷：粒子第一次射出電場(chǎng)的位置坐標(biāo);粒子第一次射出磁場(chǎng)的位置坐標(biāo);粒子是否能通過(guò)x=2h位置點(diǎn).

答案：x1=h;x2=0;能.

（二）電場(chǎng)方向與x軸有夾角？茲.

電場(chǎng)與x軸有夾角時(shí)，φ與x的函數(shù)圖像的斜率是x方向的分場(chǎng)強(qiáng)，巧妙分解力或者分解速度，運(yùn)用拋體運(yùn)動(dòng)模型分析求解.

【例3】如圖9所示，空間存在方向沿紙面內(nèi)平行于OM的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電勢(shì)φ與x坐標(biāo)滿(mǎn)足φ=φ0+kx（坐標(biāo)原點(diǎn)的電勢(shì)為φ0）.?一帶電量為+q、質(zhì)量為m的粒子（不計(jì)重力），以初速度v0由O點(diǎn)沿+x方向射入電場(chǎng)區(qū).?已知OM與+x方向的夾角為？茲，ON間距離為L(zhǎng)，求：

（1）ON兩點(diǎn)的電勢(shì)差;

（2）粒子回到過(guò)O點(diǎn)的等勢(shì)面時(shí)的位置坐標(biāo);

（3）粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在+x方向偏離y軸的最大值.

解析：（1）ON兩點(diǎn)的電勢(shì)差為UON=-kL

（2）由φ=φ0+kx知，Ex=k，所以則勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E==，粒子所受電場(chǎng)力方向斜向左下方，小球做類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)，沿OM方向和垂直于OM方向分解初速度，沿OM方向做往返的勻減速運(yùn)動(dòng)，回到過(guò)O點(diǎn)的等勢(shì)面的時(shí)間t=2=，離O點(diǎn)的距離為S=v0sin？茲·t=，粒子回到過(guò)O點(diǎn)的等勢(shì)面時(shí)的位置坐標(biāo)，x=S·sin？茲=，y=-S·cos？茲=-

（3）小球做類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)，將電場(chǎng)力沿-x和-y方向分解，粒子沿+x方向做往返勻減速運(yùn)動(dòng)，同理有v0=ax?t，xm=ax?t2，解得xm=.

拓展：

1.?改變初速度方向，初速度與電場(chǎng)方向、x軸均不共線.

【變式1】如圖10所示，在xoy坐標(biāo)系內(nèi)有一直角三角形OAB，處于平行于紙面的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠A是直角，∠B=30°，OB長(zhǎng)為2L，已知A點(diǎn)的電勢(shì)為？漬（？漬>0），B點(diǎn)的電勢(shì)為2？漬，O點(diǎn)的電勢(shì)為0，一帶電的粒子以初速度v0從O點(diǎn)入射，方向與-x方向夾角為60°，粒子恰能過(guò)圖中的A點(diǎn).?不計(jì)粒子的重力，試判斷：電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和粒子的比荷大小.

答案：E=;=.

2.?初速度與電場(chǎng)方向、x軸均不共線，同時(shí)組合電場(chǎng)模型的多過(guò)程運(yùn)動(dòng).

【例4】如圖11所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第一、四象限內(nèi)，分別存在大小均為E、方向不同的兩個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩個(gè)電場(chǎng)的方向與x軸所夾的銳角都是60°.?一質(zhì)量為m、電量為+q的粒子（不計(jì)重力），從+y軸上p點(diǎn)沿著與+y方向成60°角方向以初速度v0射入場(chǎng)區(qū)，第一次到達(dá)x軸上的Q點(diǎn)時(shí)速度方向與+x方向成30°角.?試判斷：粒子在P、Q兩點(diǎn)速度之比;P、Q兩點(diǎn)電勢(shì)能的變化;粒子第一次與第二次通過(guò)x軸的坐標(biāo)之比.

答案：=;0;=.

總之，φ-x圖像線性變化對(duì)應(yīng)著勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)的方向與x軸共線、垂直、有夾角三種情況為依據(jù)，通過(guò)改變初位置點(diǎn)、初速度方向、多電場(chǎng)、多粒子來(lái)改變問(wèn)題情境，帶點(diǎn)粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)取決于初位置點(diǎn)、初速度方向、x軸、電場(chǎng)線方向四個(gè)條件的變化，以x軸、電場(chǎng)線方向關(guān)系為基礎(chǔ)，巧妙融入帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中加速與偏轉(zhuǎn)模型，深挖電場(chǎng)方向與x軸的兩線的空間關(guān)系為基本點(diǎn)，通過(guò)改變問(wèn)題的視角、維度和層次，展示考查學(xué)生能力背后的解題方法的深度與廣度、數(shù)學(xué)運(yùn)用能力與思維策略，符合高考以能力為根本的命題立意.

責(zé)任編輯?李平安