三角函數(shù)高考考點(diǎn)例析

童其林

三角函數(shù)除了具有一般函數(shù)的各種性質(zhì)外，還具有周期性和獨(dú)特的對(duì)稱性，再加上系統(tǒng)豐富的三角公式，使其產(chǎn)生的各種問題豐富多彩，層次分明，變化多端.?圍繞三角函數(shù)的考題總是以新穎的形式出現(xiàn)，在高考試題中占據(jù)重要的位置，成為高考命題的熱點(diǎn)之一.?下面就三角函數(shù)高考考點(diǎn)作個(gè)例題分析，供考生參考.

考點(diǎn)一：三角函數(shù)的基本概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

三角函數(shù)的概念、同角公式、誘導(dǎo)公式是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)，可以單獨(dú)考查，也常和后面的三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角變換及解三角形結(jié)合在一起進(jìn)行考查.?其中，三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式是考查的重要內(nèi)容.?本考點(diǎn)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，因此復(fù)習(xí)中要重視選擇、填空題的一些特殊方法，如數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)法、代入檢驗(yàn)法、特殊值法、待定系數(shù)法、排除法等.?另外對(duì)有些具體問題還要掌握和運(yùn)用一些基本結(jié)論.

例1.（2021年全國新高考Ⅰ卷第6題）若tan=-2，則=（????）

A.?-?B.?- ? C.? ? D.

解析1：因?yàn)閠an=-2<0，根據(jù)三角函數(shù)定義，知的終邊落在第二或第四象限.

當(dāng)?shù)慕K邊落在第二象限時(shí)，sin=，cos=-，sin2=2sincos=2··（-）=-，

所以==.

當(dāng)?shù)慕K邊落在第四象限時(shí)，sin=-，cos=，

sin2=2sincos=2·（-）·）=-，

==.

兩種情形的答案都是，故選C.

解析2：將式子進(jìn)行齊次化處理得：

==sin（sin+cos）====，故選C.

點(diǎn)評(píng)：解析1用的是分類討論，即利用tan=-2，求出sin，cos的值，需要分象限討論其正負(fù).?解析2通過齊次化處理，可以避開了這一討論，簡化了運(yùn)算，這是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的正確運(yùn)用.

例2.?已知tan=2，則=________.

解法1：=

=

==.

解法二：由已知條件得sin=2cos，

==，因?yàn)閏os2=，所以，原式==.

點(diǎn)評(píng)：（1）由tan=2可知cos≠0，為了能用化名法使目標(biāo)式向tan靠近，可先用變1法將分子、分母變換為三次齊次式;（2）由已知條件得sin=2cos，代入原式可將異名函數(shù)化為同名函數(shù).

考點(diǎn)二：三角函數(shù)的作圖、識(shí)圖和用圖

專家強(qiáng)調(diào)：“在高考中，充分利用選擇題和填空題的題型特點(diǎn)，為考查數(shù)形結(jié)合的思想提供了方便，能突出考查考生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形問題來解決的意識(shí).”根據(jù)這一思想，每一年的高考題中的選擇或填空題（包括解答題）都有運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的題目，側(cè)重考察的是作圖、識(shí)圖、用圖的能力，而三角函數(shù)是考查作圖、識(shí)圖和用圖的重要內(nèi)容.

例3.?函數(shù)y=的圖像與曲線y=2sinx（-2≤x≤4）的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于________.

解析：如圖所示，兩個(gè)圖像在點(diǎn)（1，0）對(duì)稱，當(dāng)x∈[-2，4]時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，對(duì)稱的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為2，4個(gè)點(diǎn)就是兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，所以和為4.

例4.?已知函數(shù)f（x）=Asin（？棕x+）（A>0，？棕>0，|φ|<）的圖像的一部分如圖2所示.

（1）求函數(shù)f（x）的解析式;

（2）當(dāng)x∈[-6，-]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值.

解析：（1）由圖像知A=2，T=8=，

∴ω=，得f（x）=2sin（x+）.

由×1+=2k+=2k+，k∈Z.

又|φ|<，∴φ=.?∴?f（x）=2sin（x+）.

（2）f（x）=2sin（x+）.

∵x∈[-6，-]，∴x+∈[-，]，

∴當(dāng)x+=-，即x=-6時(shí)f（x）取得最大值為，

當(dāng)x+=-，即x=-3時(shí)f（x）取得最小值為-2.

考點(diǎn)三：三角函數(shù)的定義域、值域、最值

例5.?函數(shù)f（x）=，x∈（0，2）的定義域是（???）

A.[，]??B.[，]??C.[，]??D.[，]

解析：定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

由題意可得sinx-≥0sinx≥+2k≤x≤+2k，k∈Z，又x∈（0，2π），

∴函數(shù)f（x）=，x∈（0，2）的定義域是[，].?故選B.

點(diǎn)評(píng)：求定義域要緊緊抓住三角函數(shù)本身自變量的取值范圍，如y=sinx，y=cosx的定義域?yàn)镽，y=tanx的定義域?yàn)閧x|x≠k+，k∈Z?}，再結(jié)合具體給出的函數(shù)，使得分母不為零，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，算術(shù)根非負(fù)，x0中的x不為零，等等.

例6.?函數(shù)y=sin2x+2cosx在區(qū)間?[-，]?上的值域?yàn)椋???）

A.[-，2]??B.[-，2]??C.[-，]??D.[-，]

解析：∵x∈[-，]，∴cosx∈[-，1]?.

又∵y=sin2x+2cosx=1-cos2x+2cosx=-（cosx-1）2+2，則y∈[-，2]?.?故選A.

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的值域問題要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，如轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，二次函數(shù)，或轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)處理，或利用函數(shù)的有界性、單調(diào)性求解.?注意變換前后函數(shù)的等價(jià)性，正弦、余弦的有界性及函數(shù)定義域?qū)ψ钪荡_定的影響，含參數(shù)函數(shù)的最值，解題要注意參數(shù)的作用和影響.

考點(diǎn)四：三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性

例7.?設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0）.?若f（x）在區(qū)間[，]上具有單調(diào)性，且f（）=f（）=-f（），則f（x）的最小正周期為________.

解析：結(jié)合圖像3，得=-，即T=π.

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的周期問題一般將函數(shù)式化為y=Af（ωx+φ）（其中f（x）為三角函數(shù)，ω>0）.?實(shí)際上，滿足本題的一個(gè)函數(shù)解析式為f（x）=Asin（2x+），但本題中代入函數(shù)值計(jì)算不太方便，故要充分利用函數(shù)圖像的特征進(jìn)行判斷求解.

例8.?若將函數(shù)f（x）=sin（2x+）的圖像向右平移φ個(gè)單位，所得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ的最小正值是_______.

解法1：將f（x）=sin（2x+）的圖像向右平移φ個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（2x+-2φ）的圖像，由該函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，可知sin（-2φ）=±1，即sin（2φ-）=±1，故2φ-=kπ+，k∈Z，即φ=+，k∈Z，所以當(dāng)φ>0時(shí)，φmin=.

解法2：由f（x）=sin（2x+）的圖像向右平移φ個(gè)單位后所得的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱可知，-2φ=+kπ，k∈Z，又φ>0，所以φmin=.

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的奇偶性的判別主要依據(jù)定義：首先判定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，再運(yùn)用奇偶性定義判別.?特別要注意的是，一個(gè)三角函數(shù)可能不具有奇偶性，但仍有可能關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，或者關(guān)于直線對(duì)稱.

例9.（多選題）已知函數(shù)f（x）=2sin2x·cosx-sinx，則（???）

A.?將函數(shù)f（x）的圖像向左平移得到的函數(shù)圖像解析式為g（x）=cos3x

B.?函數(shù)f（x）最小正周期為

C.?函數(shù)f（x）圖像的對(duì)稱中心為（，0），k∈Z

D.?函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=k+，k∈Z對(duì)稱

解法1：f（x）=2sin2x·cosx-sinx

=4sinx·cos2x-sinx=sinx·（4cos2x-1）=sinx·（2cos2x+cos2x）

=sinx·（2cosx·cosx+cos2x）=sin2x·cosx+sinx·cos2x=sin3x，

所以f（x）的周期為T=，B對(duì).

將函數(shù)f（x）的圖像向左平移得到的解析式為g（x）=sin3（x+）=-cos3x，A錯(cuò).

f（x）=sin3x圖像的對(duì)稱中心為（，0），k∈Z，C對(duì).

f（x）=sin3x圖像的關(guān)于直線x=+，k∈Z，對(duì)稱，D錯(cuò).

所以選BC.

解法2：f（x）=2sin2x·cosx-sinx=sin2x·cosx+sin2x·cosx-sinx=sin2x·cosx+sinx·（2cos2x-1）=sin2x·cosx+sinx·cos2x=sin3x.

以下同解法1.

點(diǎn)評(píng)：本題的化簡，有一定的技巧.

例10.?寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)f（x）=________.

解析：基本初等函數(shù)中既為周期函數(shù)又為奇函數(shù)的函數(shù)為y=sinx，或y=tanx，所以此題可考慮在此基礎(chǔ)上調(diào)整周期使其滿足題意.

設(shè)f（x）=sin？棕x，且T=2=？棕=，所以最小正周期為2的一個(gè)奇函數(shù)可以為f（x）=sinx.

或者f（x）=tanx.

點(diǎn)評(píng)：開放性問題，答案不唯一.

考點(diǎn)五：三角函數(shù)的求值

三角函數(shù)的求值，包含“給角求值”，“給值求值”，“給值求角”等問題.

例11.?求值sin+cos=________.

解法1：由半角公式，得原式=+=.

解法2：由差角公式，得原式=sin（-）+cos（-）=.

解法3：由倍角公式，得原式==.

解法4：直接將原式變形，得原式sin（+）=sin=.

點(diǎn)評(píng)：上面四種解法運(yùn)用了不同的公式和變形方法，不僅進(jìn)一步熟悉了三角公式的用法，也訓(xùn)練了思維的靈活性.

“給角求值”，一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.

例12.?已知tan=-2，tan（+）=，則tan的值為_______.

解析：tan?=tan（+?-）===3.

點(diǎn)評(píng)：“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.

例13.?已知tan（-?）=，tan?=-，且，∈（0，），求2-的值.

解析：∵2-?=2（-?）+?，tan?（-?）=，

∴tan2（-?）==，

從而tan（2-?）=tan[2（-?）+?]====1.

又∵tan=tan[（-?）+?]==<1.

且0<<，∴0<<.?∴0<2<.

又tan?=-<0，且∈（0，），

∴

∴-<2-?<0.?∴2-?=-.

點(diǎn)評(píng)：“給值求角”，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.即解決“給值求角”問題是由兩個(gè)關(guān)鍵步驟構(gòu)成：①把所求角用含已知角的式子表示;②由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.

考點(diǎn)六：三角函數(shù)式的化簡與證明

例14.?化簡（<<2）

解析：∵<<2，∴=cos=cos.

又∵<<，∴=sin=sin，∴原式=sin.

例15.?若2tan=3tan?β，證明：tan（-?β）=.

解析：∵tan=tan?β，

∴tan（-β）===.

又∵=

===.

∴tan（α-β）=.

點(diǎn)評(píng)：將被證等式的兩邊都用tan?β表示，而不含tan?α，本質(zhì)上是“消元法”.?將多個(gè)變量的表達(dá)式，變?yōu)閱蝹€(gè)變量的表達(dá)式，往往要使用“消元”的方法.

考點(diǎn)七：三角函數(shù)的應(yīng)用

三角函數(shù)是工具，在平面幾何、立體幾何、向量、導(dǎo)數(shù)問題中都有用武之地.

例16.?如圖4，直線l⊥平面?α，垂足為O，已知在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，AB=.?該直角三角形在空間做符合以下條件的自由運(yùn)動(dòng)：①A∈l，②C∈α.?則B、O兩點(diǎn)間的最大距離為_______.

解析：易知，當(dāng)A，O，C，B共面且O、B在CA異側(cè)時(shí)，B、O兩點(diǎn)間有最大距離.?此時(shí)點(diǎn)B記為點(diǎn)B′，過B′作α的垂線B′D，垂足為D，設(shè)∠B′CD=，則CD=cos，B′D=sin，OC=2cos（-）=2sin，

所以O(shè)D=2sin+cos在直角三角形OB′D中，

OB′==

==

==

當(dāng)2-=時(shí)，OB有最大值=+1.

點(diǎn)評(píng)：首先要判斷問題何時(shí)兩點(diǎn)間有最大距離，然后設(shè)法表示兩點(diǎn)間的距離，引入輔助角是武器.

例17.?在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)A（-1，0），B（0，），C（30）動(dòng)點(diǎn)D滿足=1，則++的最大值是__________.

解析：動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以C為圓心的單位圓（x-3）2+y2=1，可設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（3+cos，sin）（0∈[0，2）），則

++=，

==，

所以++的最大值為=1+.

例18.?設(shè)函數(shù)f（x）=，則（?）

A.?f（x）=f（x+）??????????B.??f（x）的最大值為

C.?f（x）在（-，0）單調(diào)遞增?????D.?f（x）在（0，）單調(diào)遞減

解析：f（x）==，代入驗(yàn)證可知f（x）=f（x+），所以A正確.

又f（x）可變形為f（x）===2·，f（x）的幾何意義為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)（sin2x，cos2x）與點(diǎn)（-4，0）連線的斜率的2倍（如圖所示5），相切時(shí)取最大值為，故B錯(cuò).

當(dāng)x∈（-，0）時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在第二象限從左到右運(yùn)動(dòng)，斜率先增大后減小，故C錯(cuò).

當(dāng)x∈（0，）時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在第一象限從左到右運(yùn)動(dòng)，斜率先增大后減小，故D正確.

故正確答案是AD.

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造適合題意的圖形，利用其幾何意義判斷BCD是否正確，是快速求解本題的有效途徑.

例19.?如圖6，圓O的直徑AC=8cm，直線l與圓相切于點(diǎn)A，P為圓的右半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，PB⊥直線l于B，求△PAB面積的最大值.

解析：設(shè)∠POC=，半徑OP=4cm，

作PD⊥AC于D，∵AC⊥l，PB⊥l，∴?PD=AB，PB=AD.

∴?AB=PD=4sin，PB=AD=4+4cos

∴△PAB的面積

S=f（）=AB·PB=8sin（1+cos）=8（sin+sincos），∈（0，）

S′=?f?′（）=8（cos+cos2-sin2）=16（cos-）（cos+1），cos∈（-1，1）.

在（0，）內(nèi)f?′（）>0，在（，）內(nèi)f?′（）<0，即f（）在（0，）內(nèi)遞增，在（，）內(nèi)遞減，

∴?=時(shí)，（S△PAB）max=?f（）=6cm2.

∴?△PAB面積的最大值為6cm2.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)