空間幾何體中球的切接問題

袁海軍

空間幾何體的外接球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，更是高考的熱點(diǎn).?通常涉及求幾何體的表面積、體積并以較難的選填題來考查.?我們可以通過對幾何體的割補(bǔ)構(gòu)造或?qū)で髱缀误w外接球的球心兩大策略求解此類問題.?而對于其內(nèi)切球通常采用等體積法來求解.

引例：（2021高考全國？芋卷第11題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點(diǎn)，且AC⊥BC，AC=BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為（????）

A.????B.????C.????D.

解析：∵AC⊥BC，AC=BC=1，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AB=2r=?，

∴△ABC外接圓的半徑：r=?，又球的半徑為1，

設(shè)O到平面ABC的距離為d，?則d?=?=?，

所以VO-ABC=?S△ABC·d=?×?×1×1×?=?.

故選：A.

點(diǎn)評：本題作為選擇題第11題，表面看似較難，實(shí)則簡單.?它考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.

接下來我們談?wù)効臻g幾何體中有關(guān)球問題的解題策略.

策略一、對空間幾何體的割補(bǔ)構(gòu)造法，通常構(gòu)造熟悉的幾何體（如長方體、正方體等）

題型1.?墻角模型

例1.?如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6、4、3，那么它的外接球的表面積是???????????.

解析：三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為a，b，c（a，b，c∈R+），則

ab=12，bc=8，ac=6，∴?abc=24，∴?a=3，?b=4，c=2，

（2R）2=a2+b2+c2=29，S=4？仔R2=29？仔.

點(diǎn)評：此法適應(yīng)于墻角模型（即三條線兩兩垂直，不需要找球心的位置即可求出球半徑），它可以通過構(gòu)造長方體，直接用公式（2R）2=a2+b2+c2，即2R=?，求出R.

鞏固題1.（2020年高考天津卷第5題）若棱長為2?的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（????）

A.?12？仔????B.?24？仔????C. ?36？仔????D.?144？仔

解析：設(shè)外接球的半徑為R，易知2R=?×2?=6，所以R=3，于是表面積S=4？仔R2=36？仔，故選C.

題型2.?對棱相等模型

例2.?在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為???????????.

解析：已知三棱錐的三組對棱分別相等，可補(bǔ)形構(gòu)造長方體.

設(shè)補(bǔ)形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為a，b，c，則a2+b2=9，

b2+c2=4，c2+a2=16?∴2（a2+b2+c2）=9+4+16=29，2（a2+b2+c2）

=9+4+16=29，a2+b2+c2=?，4R2=?，S=?？仔.

點(diǎn)評：此法適應(yīng)于對棱相等模型（補(bǔ)形為長方體）.

此類題型解法的基本步驟：題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（AB=CD，AD=BC，AC=BD）.

第一步：畫出一個長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對棱;

第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為a，b，c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程組，

a2+b2=x2，b2+c2=y2，c2+a2=z2？圯（2R）2=a2+b2+c2=?，

補(bǔ)充：VA-BCD=abc-?abc×4=?abc.

第三步：根據(jù)墻角模型，2R=?=?，

R2=?，R=?，求出R.

例如，正四面體的外接球和內(nèi)切球半徑可用此法快速求解.

鞏固題2.?若四面體的各條棱長都為?，則該四面體外接球的體積為???????????，內(nèi)切球表面積為???????????.

解析：可知該幾何體為正四面體，這也是對棱相等模式的一種特殊情況，可補(bǔ)形為正方體，易得正方體棱長a=1.?設(shè)其外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則：

2R=?a=?，R=?，V=?？仔·?=?？仔，

2r?=a=1，∴?r?=?，S=4？仔r2=？仔.

策略二、尋求空間幾何體外接球球心、截面圓心及球心到截面距離的勾股法

題型3.?垂面模型（一條直線垂直于一個平面）

1.?題設(shè)：如圖3，PA⊥平面ABC

解題步驟：

第1步：將△ABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點(diǎn)，作小圓的直徑AD，連接PD，則PD必過球心O;

第2步：O1為△ABC的外心，所以O(shè)O1⊥平面ABC，算出小圓O1的半徑O1D=r（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得：

=?=?=2r），OO1=?PA;

第3步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：

①（2R）2=PA2+（2r）2？圳2R=?;

②?R2=r2+O?？圳R=?.

例3.?已知在三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA⊥平面ABC，底面ABC是邊長為?的正三角形，SA=2?，則該三棱錐的外接球體積等于?????????.

解析：設(shè)其外接球半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則2r=?=2，（2R）2=（2r）2+SA2=4+12=16，∴R2=4，∴R=2，即三棱錐的外接球體積：V=?？仔R3=?？仔.

點(diǎn)評：此法關(guān)鍵是求出小圓的直徑，再用勾股法求出外接球的半徑.?基本思路：外心法（加中垂線）找球心;正弦定理求小圓半徑.

鞏固題3.?已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為???????????.

解析：依題意可設(shè)所求的外接球球心為O，半徑為R，△EAB的外接圓圓心為O1，半徑為r1，矩形ABCD外接圓圓心為O2，半徑為r2.

方法1：不難得△EAB是等邊三角形，且△EAB的外接圓半徑為r1=?，OO1=1，R=?=2;可得S=16？仔.

方法2：O1M=?，r2=O2D=?，R2=?+?=4，R=2，可得S=16？仔.

題型4.?漢堡模型

題設(shè)：如圖5，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第1步：確定球心O的位置，O1是△ABC的外心，則OO1⊥平面ABC;

第2步：算出小圓O1的半徑AO1=r，OO1=?AA1=?h（AA1=h也是圓柱的高）;

第3步：勾股定理：OA2=O1A2+O1O2？圯R2=（?）2+r2？圯R=?，解出R.

例4.?已知一個正六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該正六棱柱的體積為?，底面周長為3，則這個球的體積為_______.

解析：設(shè)底面正六邊形邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的關(guān)徑為r，則a=?r?=?，底面積為S=6·?·（?）2=?，V柱=Sh=?h=?，

∴?h=?，R2=（?）2+r2=（?）2+（?）2=1，R=1，球的體積為V=?.

點(diǎn)評：此法適應(yīng)于漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球），關(guān)鍵是先求出底面外接圓的半徑，球心一定落在上下兩個圓心連線的中點(diǎn)，再用勾股定理求出外接球的半徑即可.

鞏固題4.?已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于??????????.

解析：依題意得：BC=2?，由正弦定理得：2r=?=4，r=2，

∴?R2=（?）2+r2=12+22=5，即S=4？仔R2=20？仔.

題型五.?折疊模型

題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊（如圖6）

第1步：先畫出如圖6所示的圖形，將△BCD畫在小圓上，找出△BCD和△A′BD的外心H1和H2;

第2步：過H1和H2分別作平面BCD和平面A′BD的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心O，連接OE，OC;

第3步：解△OEH1，算出OH1，在Rt△OCH1中，勾股定理：O?+C?=OC2.

例5.?在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為（??????）

A.??？仔???????B.??？仔?????????C.??？仔????????D.??？仔

解析：依題意可得：所求外接球球心即為線段AC的中點(diǎn)，且2R=AC=5，

∴R=?，故V=?？仔R3=?？仔·?=?，選C.

點(diǎn)評：此題是一種特殊的折疊模型：兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐），關(guān)鍵是直接得出兩直角三角形公共斜邊的中點(diǎn)O就是外接球球心.

鞏固題5.?在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為?????????????????.

解析：依題意得：線段BD的中點(diǎn)就是球心O，2R=BD=?，S=4？仔R2=13？仔.

題型六.?空間幾何錐體的內(nèi)切球問題（以正三棱錐為例）

思路1：題設(shè)：如圖7，三棱錐P-ABC上正三棱錐，求其外接球的半徑.

第1步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，E，H分別是兩個三角形的外心;

第2步：求DH=?BD，PO=PH-r，PD是側(cè)面△ABP的高;

第3步：由△POE相似于△PDH，建立等式：?=?，解出r.

思路2：題設(shè)：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑

方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等.

第1步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積;

第2步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，建立等式：VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+VO-PAC+VO-PBC？圯VP-ABC=?S△ABC·r+?SPAB·r+?SPAC·r+?SPBC·r=?（S△ABC+S△PAB+SPAC+S△PBC）·r;

第3步：解出r=?.

例6.（2020年全國3卷理數(shù)第15題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________.

解析：易知半徑最大的球即為該圓錐的內(nèi)切球.?圓錐PE及其內(nèi)切球O如圖8所示，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，則sin∠BPE=?=?=?，所以O(shè)P=3R，

所以PE=4R=?=?=2?，所以R=?，

所以內(nèi)切球的體積V=?？仔R3?=?？仔，即該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為?？仔.

點(diǎn)評：涉及到幾何體的內(nèi)切球問題：若所求的內(nèi)切球與幾何體的各個表面都有相切，通常采用等體積法，但如果沒有與所有的表面相切，那就要取決于最小的那組內(nèi)切圓作為大圓了.

鞏固題6.?在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.?若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，則V的最大值是（）

A.?4？仔 ? B.??？仔 ? C.?6？仔 ? D.??？仔

解析：由AB⊥BC，AB=6，BC=8，？圯AC=10.?要使球的體積V最大，

則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側(cè)面相切.

設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，

則S△=?×6×8=?（6+8+10）×r，？圯r=2.?又由于2r=4?>3，∴不合題意.

若球與三棱柱的上、下底面相切時，則此時球的半徑R最大.

由2R=3，？圯R=?.???故球的最大體積V=?？仔R3=?？仔.

∴答案B.

題型七.?有關(guān)球的截面、弧長問題

例7.?已知三棱錐P-ABC中，AB，AP，AC三條棱兩兩垂直，且長度均為2?，以頂點(diǎn)P為球心，4為半徑作一個球，則該球面被三棱錐四個表面截得的所有弧長之和為 ??? .

解析：如圖9，AP=2?，PN=4，則AN=2，∠APN=?，

∴∠APN=?-?=?，

∴?=?×4=?，同理?=??，

=??×2-？仔，?=?×4=?.

故球面與三棱錐的表面相交所得到的四段弧長之和等于?+?+？仔+?=3？仔，

鞏固題7.（?2020年全國新高考？玉卷第16題）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°，以D1為球心，?為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為__________.

解析：如圖10，連接B1D1，易知VB1C1D1為正三角形，所以B1D1=C1D1=2.?分別取B1C1，BB1，CC1的中點(diǎn)M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G=D1H=?=?，D1M⊥B1C1，且D1M=?.

由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點(diǎn).?在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P，使MP=?，連接D1P，則：

D1P=?=?=?.

連接MG，MH，易得MG=MH=?，故可知以M為圓心，?為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線.?由∠B1MG=∠C1MH=45°知∠GMH=90°，

所以GH的弧長為?×2？仔×?=?.

高考真題演練：

例1.（2020年高考全國1卷理數(shù)第10題）已知A，B，C為球O的球面上的三個點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4？仔，AB=BC=AC=OO1則球O的表面積為（??）

A.?64？仔???B.?48？仔???C.?36？仔???D.?32？仔

例2.（2020年全國2卷理數(shù)第10題）已知△ABC是面積為?的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.?若球O的表面積為16？仔，則O到平面ABC的距離為（???）

A.?????B.?????C.?1???D.

例3.（2019年全國1卷第12題）已知三棱錐P-ABC四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（???）

A.?8?？仔??B.?4?？仔??C.?2?？仔??D.??？仔

例4.（2018年全國3卷第10題）設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為?9?，則三棱錐D-ABC體積的最大值為（???）

A.?12???B.?18????C.?24???D.?54

高考真題演練參考答案：

例1.?解析：如圖11所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因?yàn)椤袿1的面積為4？仔，所以4？仔=？仔r2，

解得r=2，又AB=BC=AC=OO1，所以?=2r，解得AB=2?，

故OO1=2?，所以R2=O?+r2=（2?）2+22=16，

所以球O的表面積S=4？仔R2=64？仔.?故選A.

例2.?解析：由等邊三角形ABC的面積為?，得?AB2=?，得AB=3，則△ABC的外接圓半徑r=?×?AB=?AB=?.?設(shè)球的半徑為R，則由球的表面積為16？仔，得4？仔R2=16？仔，

得R=2，則球心O到平面ABC的距離d=?=1，?故選C.

例3.?解析：方法1：（還原長方體法）

∵?PA=PB=PC，△ABC為邊長為2的等邊三角形，

∴?P-ABC為正三棱錐，

∴?PB⊥AC，又E，F(xiàn)分別為PA、AB中點(diǎn).

∴?EF?∥PB，∴?EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC=C，∴?EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，∴∠APB=90°，∴?PA=PB=PC=?，∴?P-ABC為正方體一部分，2R=?=?，

即?R=?，∴?V=?？仔R3=?？仔×?=?？仔，故選D.?方法2：（余弦定理法）

設(shè)PA=PB=PC=2x，E，F(xiàn)分別為PA，AB中點(diǎn)，

∴?EF?∥PB，且EF=?PB=?x.

∵△ABC為邊長為2的等邊三角形，

∴?CF?=?又∠CEF=90°，

∴?CE=?，AE=?PA=x.

△AEC中余弦定理cos∠EAC=?，作PD⊥AC于D，∵?PA=PC，

QD為AC中點(diǎn)，cos∠EAC=?=?，∴??=?.

∴?2x2+1=2，∴?x2=??x=?，∴?PA=PB=PC=?，又AB=BC=AC=2，∴?PA，PB，PC兩兩垂直，∴?2R=?=?，∴?R=?，∴?V=?？仔R3=?？仔×?=?？仔，故選D.

解法3：（解三角形法）

設(shè)PA=PB=PC=2x，則CE=?，

在△ACP中，由中線長定理AC2+CP?2=2（AE2+CE2），

即4+4x2=2[x2+（3-x2）]，x2=?，PC=?，

PQ=?=?，

又r2=OQ2+QC2=（?）2+（?）2，解得r=?，

所以V=?？仔r3=?？仔·?·?=?？仔.

例4.?解析：作圖，D為MO?與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)DM⊥平面ABC時，

三棱錐D-ABC體積最大，然后進(jìn)行計算可得.?詳解：如圖14所示，

點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，

當(dāng)DM⊥平面ABC時，三棱錐D-ABC體積最大.

此時OD=OB=R=4，

∵?S△ABC=?AB2=9?，?∴?AB=6，

∵點(diǎn)M為三角形ABC的中心，∴?BM=?BE=2?.

∴?Rt△OMB中，有OM=??=2，

∴?DM=OD+OM=4+2=6.

∴（VD-ABC）max=?×9?×6=18?，故選B.

責(zé)任編輯 徐國堅