巧用樓層法深入淺出認(rèn)識(shí)正方體堆疊問題的方法探析

張超

摘 要：小學(xué)生的空間觀念和空間想象力相對(duì)較差，正處于不斷培養(yǎng)和發(fā)展的階段，所以在圖形與幾何模塊的學(xué)習(xí)過程中會(huì)比較困難。文章以正方體堆疊問題為例，介紹一種“樓層法”，將正方體類比成樓房，通過數(shù)樓層數(shù)即可判斷出小正方體個(gè)數(shù)。這個(gè)方法可以幫助學(xué)生更好地理解正方體堆疊問題。通過不斷的觀察、分析和想象，逐步在學(xué)生的認(rèn)知里培養(yǎng)空間觀念和想象力，為今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：正方體堆疊;小學(xué)數(shù)學(xué);空間觀念

正方體堆疊問題在考試題中頻頻出現(xiàn)，空間想象力欠缺的小學(xué)生在面對(duì)這類題時(shí)很難形成空間立體圖形，而教師在教學(xué)中多半是讓學(xué)生自己去想象，缺少對(duì)空間觀念的培養(yǎng)。文章將介紹一種分析方法，即“樓層法”。該方法是通過改變學(xué)生觀察的角度，以“排”為單位，從縱向來觀察，在正方體的頂部進(jìn)行觀察和想象，這種方法不會(huì)忽略無法觀察到的正方體，可以準(zhǔn)確快速地判斷出堆疊的小正方體的個(gè)數(shù)，讓學(xué)生更好地理解空間圖形，也為教師對(duì)學(xué)生空間想象力的培養(yǎng)提供了新的方法。

一、 如何使用“樓層法”解決正方體堆疊問題

“樓層法”顧名思義，我們將每列的正方體類比成單元樓（圖1），從左邊數(shù)起分別為：一單元，二單元，三單元和四單元。每一個(gè)單元樓的樓層數(shù)是不同的，分別是：4層、3層、2層和1層。那么這個(gè)正方體堆疊圖形中含有的小正方體個(gè)數(shù)就是4+3+2+1=10（個(gè)）。這就是用“樓層法”解決正方體堆疊問題。正方體可以類比成樓房，是因?yàn)檎襟w堆疊與蓋房子原理是一樣，正方體堆疊是從下面開始，一個(gè)一個(gè)小正方體往上堆，而樓房也是同樣的，從最底層開始，一層一層地往上蓋，因此將正方體類比成樓房是非常合理的;此外，樓房在生活中隨處可見，將正方體類比成樓房的方法，與生活實(shí)際相結(jié)合，學(xué)生可以更好地理解立體圖形，有助于空間觀念的培養(yǎng)。

二、 利用“樓層法”求解正方體堆疊問題

【例1】 如圖2，右側(cè)的立體圖中哪個(gè)與左側(cè)的立體圖中的小正方體個(gè)數(shù)相同？

解析：左側(cè)立體圖中小正方體的個(gè)數(shù)：左側(cè)一排中的每一列都是由1層組成，中間排是有2列組成，每列分別是3層和2層，右側(cè)共兩列，每列只有1層，故左側(cè)立方體圖中小正方體的個(gè)數(shù)為：1+1+1+3+2+1+1=10（個(gè)）。接下來需要從右側(cè)四個(gè)圖形中找到由10個(gè)小正方體組成的圖形。

選項(xiàng)A：左側(cè)中有1+1=2（個(gè)），即2個(gè)小正方體。中間一排在數(shù)層數(shù)時(shí)要注意，前面是1層，中間是3層，后面還有1層，很多學(xué)生可能會(huì)將這個(gè)小正方體忽略掉。右側(cè)只有1層，因此，A選項(xiàng)中小正方體個(gè)數(shù)有2+1+3+1+1=8（個(gè)），與左側(cè)圖形數(shù)目不同，不符合題意。當(dāng)我們對(duì)于這種方法熟練后，可以直接寫出每列的樓層數(shù)，即小正方體個(gè)數(shù)，直接加和求解。選項(xiàng)B：1+3+2+2+1=9（個(gè)）。選項(xiàng)C：1+1+1+3+1+2+1=10（個(gè)）。與左側(cè)圖形中小正方體個(gè)數(shù)相同。選項(xiàng)D中小正方體個(gè)數(shù)為：1+1+2+4+1+1+1=11（個(gè)），與題目中的要求不符。因此答案為C。

分析：這一組立體圖較為復(fù)雜，有很多隱藏起來的正方形，如果直接去數(shù)小正方體個(gè)數(shù)，很容易丟掉某個(gè)小正方體，尤其是選項(xiàng)B，利用“樓層法”完全避免了這種錯(cuò)誤，只要是在直觀圖中看到的，就可以根據(jù)層數(shù)數(shù)出小正方體的個(gè)數(shù)。

【例2】 圖3中立體圖形至少由??? 個(gè)小正方體組成的？

解析：【解法1】利用簡(jiǎn)單的“樓層法”數(shù)出每一列的小正方體個(gè)數(shù)。左側(cè)一排是由1+2+3+4+5=15（個(gè)）;第二排：1+2+3+4=10（個(gè)）;第三排：1+2+3=6（個(gè)）;第四排有3個(gè)，最后一排只有1個(gè)。最后將每一排小正方體個(gè)數(shù)相加：15+10+6+3+1=35（個(gè)）。因此，圖3中的立體圖形至少由35個(gè)小正方體組成的。

【解法2】利用“分層法”從最高層或者從最底層數(shù)起，數(shù)出每層含有的小正方體個(gè)數(shù)，然后加和。仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)圖3中的立方體在堆疊時(shí)有一定的規(guī)律性，即：下層小正方體的個(gè)數(shù)是在上層正方體的基礎(chǔ)上依次增加2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)小正方體。例如：第2層小正方體的個(gè)數(shù)是在第1層1個(gè)正方體的基礎(chǔ)上加上2個(gè)小正方體，即1+2=3（個(gè)）;第3層是在第2層3個(gè)的基礎(chǔ)上加上3個(gè)小正方體，即1+2+3=6（個(gè)）;以此類推，第4層小正方體的個(gè)數(shù)為：1+2+3+4=10（個(gè)）;第5層小正方體的個(gè)數(shù)有：1+2+3+4+5=15（個(gè)）。最后將每一層的小正方體數(shù)加起來為：1+3+6+10+15=35（個(gè)）。與解法1的答案相同。

分析：比較兩種解題方法，解法2是先通過觀察和分析發(fā)現(xiàn)被壓的小正方體的個(gè)數(shù)與上一層的小正方體個(gè)數(shù)相同，每多加一層，小正方體的個(gè)數(shù)就在上層小正方體的個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上增加該層的層數(shù)個(gè)。這種方法需要學(xué)生仔細(xì)觀察，不僅需要空間思維能力還需要學(xué)生的總結(jié)歸納和分析能力。而“樓層法”則相對(duì)簡(jiǎn)單，通過比較樓層的高低，我們能夠清晰地觀察到每一列所含的小正方體的個(gè)數(shù)，不會(huì)因?yàn)檎趽鹾投询B而漏掉某個(gè)小正方體。

拓展：教師在進(jìn)行解法2的講解時(shí)，可以增設(shè)一問：如果依規(guī)律擺下去，當(dāng)擺到第10層時(shí)，立體圖形是由??? 個(gè)小正方體組成的？依照規(guī)律，第幾層就是在上一層的基礎(chǔ)上加上該層層數(shù)個(gè)小正方體，所以第10層的小正方體個(gè)數(shù)為第9層的小正方體個(gè)數(shù)加10。即：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）+…+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=220（個(gè)）。這一問的增設(shè)，既可以加深學(xué)生對(duì)解法2的理解，又可以調(diào)動(dòng)學(xué)生探究未知的積極性，讓學(xué)生更好地融入課堂的學(xué)習(xí)中。

三、 正方體堆疊與補(bǔ)全正方體的混合求解

【例3】 如圖4所示，要想把下面左邊的立體圖形補(bǔ)全成為右邊的大的完整的正方體，至少還需要多少個(gè)小正方體呢？

解析：想要知道還需要多少個(gè)小正方體，首先需要確定右側(cè)的大正方體（我們將完整的大正方體定義為“整體”）和左側(cè)的殘缺的立體圖（我們將殘缺的立體圖定義為“部分”）中含有的小正方體個(gè)數(shù)，再利用“整體的數(shù)量-部分的數(shù)量=需要補(bǔ)充的數(shù)量”的方法，求解出還需要多少個(gè)小正方體。根據(jù)“樓層法”可以直接判斷出“部分”圖形中含1+2+3+1+2+2+1+1+1=14（個(gè)）小正方體。右側(cè)“整體”的立體圖形中總共有3+3+3+3+3+3+3+3+3=27（個(gè)）小正方體。因此，根據(jù)“整體的數(shù)量-部分的數(shù)量=需要補(bǔ)充的數(shù)量”計(jì)算，故至少還需要27-14=13（個(gè)）小正方體，可以將左邊的立體圖形補(bǔ)全成為右邊的大的完整的正方體。答案為13個(gè)。