通過(guò)一題多解提升學(xué)生的核心素養(yǎng)的方法探究

何歡歡

摘 要：時(shí)代的發(fā)展要求數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中落實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而習(xí)題講解是教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。文章從求解陰影圖形面積的習(xí)題入手，通過(guò)一題多解，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，變式拓展，不僅可以加深學(xué)生對(duì)陰影部分圖形面積解法的理解和掌握，而且還有助于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究能力，從而達(dá)到提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)的效果。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);陰影圖形面積;一題多解

當(dāng)前，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)教育界的熱門(mén)話題，史寧中教授說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)，是讓學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！蔽覀兡軌蛲ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)教育把學(xué)生培養(yǎng)成為什么樣的人，使學(xué)生具備哪些數(shù)學(xué)能力，這一直是我們一線教師要始終思考和落實(shí)的重要問(wèn)題。每一位學(xué)生如何在數(shù)學(xué)課堂中獲得良好的數(shù)學(xué)教育，得到不同程度的發(fā)展，是我們每一位數(shù)學(xué)教師應(yīng)該去深入探索研究的問(wèn)題。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)關(guān)鍵在于如何落實(shí)到平時(shí)的課堂教學(xué)中。

而數(shù)學(xué)的課后習(xí)題也是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中一個(gè)重要的部分，所以教師同樣需要注重在習(xí)題課中落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。習(xí)題課不是單純機(jī)械簡(jiǎn)單的習(xí)題講評(píng)，它應(yīng)該是一堂經(jīng)過(guò)教師精心選材，合理設(shè)計(jì)，能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課。文章嘗試結(jié)合一道課后求陰影圖形面積的習(xí)題的教學(xué)片段，來(lái)談?wù)勅绾卧谝活}多解教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。陰影圖形面積的求解方法靈活多樣，并且可能有多種不同的解法，通過(guò)一題多解，不僅可以加深學(xué)生對(duì)陰影部分圖形面積知識(shí)的理解和掌握，而且還有助于提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。

一、 問(wèn)題展示

習(xí)題來(lái)自新人教版九年級(jí)上冊(cè)第115頁(yè)第4題。

題目：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫(huà)半圓，求圖中陰影部分的面積。

二、 教學(xué)分析

本題是《弧長(zhǎng)和扇形面積》的配套習(xí)題。本題涉及正方形、圓以及三角形的面積等相關(guān)知識(shí)。解決這類(lèi)題的關(guān)鍵是利用和差法將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為基本圖形的面積，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的識(shí)圖能力和靈活變通的思維方式。而本題求解過(guò)程中所涉及的思想方法包含化歸、轉(zhuǎn)化、整體、數(shù)形結(jié)合、方程以及類(lèi)比思想。

為了讓學(xué)生更好地解決問(wèn)題，筆者在課堂中設(shè)置了鋪墊練習(xí)。

（環(huán)節(jié)一）鋪墊練習(xí)：

題目1. 如圖，以AB為直徑畫(huà)半圓，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積。2. 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，以它的一組對(duì)邊為直徑向正方形內(nèi)畫(huà)半圓，求圖中陰影部分的面積。3. 正方形AOBP的邊長(zhǎng)為a，分別以點(diǎn)O、P為圓心，a為半徑向正方形內(nèi)畫(huà)弧，求圖中陰影部分的面積。

陰影部分的面積表達(dá)式S陰影=??? S陰影=??? S陰影=

分析：以上三個(gè)圖形，第一個(gè)圖形是一個(gè)半圓內(nèi)部有一個(gè)三角形，第二個(gè)圖形是一個(gè)正方形內(nèi)部有兩個(gè)半圓，第三個(gè)圖形是一個(gè)正方形內(nèi)部有兩個(gè)四分之一圓，且有重疊。求解第三個(gè)圖形面積的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖體會(huì)陰影部分形成的過(guò)程。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)三個(gè)題目遵循立足原題的原則，不僅讓學(xué)生復(fù)習(xí)陰影圖形面積的求法，還本著由淺入深、滲透方法、開(kāi)啟思路的原則，使學(xué)生能夠從不同角度觀察、發(fā)現(xiàn)陰影部分與熟悉圖形之間的關(guān)系，為解決原題做鋪墊。心理研究的結(jié)果表明，由淺入深的順序更符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

有了鋪墊練習(xí)的引導(dǎo)，再讓學(xué)生來(lái)解決課本這道題。

（環(huán)節(jié)二）解決原題：

原題：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫(huà)半圓，求圖中陰影部分的面積。（為方便敘述將原題陰影部分的每一片稱(chēng)為“葉形”）

這個(gè)環(huán)節(jié)采取先給學(xué)生充分獨(dú)立思考的時(shí)間，教師可根據(jù)學(xué)生的情況給予適當(dāng)引導(dǎo)，再讓學(xué)生分小組討論的方式來(lái)完成小結(jié)和反思，以便形成解題經(jīng)驗(yàn)。教師此時(shí)的角色轉(zhuǎn)化為傾聽(tīng)者，將課堂放手給學(xué)生，讓學(xué)生去觀察，思考，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在討論中學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。此處讓學(xué)生從不同角度觀察陰影部分的構(gòu)成。學(xué)生可能會(huì)想到先求出兩處空白部分的面積，再用正方形面積與空白部分面積求差，進(jìn)而求陰影部分的面積。于是得到第一種解法。

解法1：先求出兩處空白部分面積，再用正方形面積減去空白面積的兩倍。

S兩個(gè)空白=S正方形-2S半圓=a2-πa22=a2-πa24

S陰影=S正方形-2S兩個(gè)空白=a2-2a2-πa24=πa22-a2

解法1中學(xué)生把注意力放在了兩個(gè)半圓上，緊接著筆者引導(dǎo)學(xué)生能否只利用其中一個(gè)半圓，找出它與葉形面積的關(guān)系。目的是讓他們把本題與鋪墊練習(xí)第1題聯(lián)系起來(lái)，想到將半圓分割成三角形和弓形，于是又有了第二種解法。

解法2：連接AO、BO，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，一個(gè)“葉形”的面積=半圓面積-等腰三角形AOB的面積。

∴S陰影=4×（S半圓-S△AOB）=4×12πa22-12a·12a=4×πa28-14a2=πa22-a2

前兩種解法都是從靜態(tài)的角度來(lái)看陰影部分，我們也可以從動(dòng)態(tài)的角度觀察。不妨讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖來(lái)體會(huì)陰影部分的形成過(guò)程。有了這個(gè)體驗(yàn)過(guò)程和鋪墊練習(xí)3的啟發(fā)，學(xué)生得到了如下解法。

解法3：因?yàn)殛幱安糠质撬膫€(gè)半圓的重疊部分，所以：

S陰影=4×S半圓-S正方形=4×12πa22-a2=πa22-a2

在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們還可以考慮用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何問(wèn)題。為此，可以引導(dǎo)學(xué)生引進(jìn)未知數(shù)，建立方程，用方程的思想解決幾何圖形求面積問(wèn)題。

解法4：觀察發(fā)現(xiàn)該圖由若干個(gè)相同面積的部分組成，不妨設(shè)一個(gè)葉形面積為x，一塊空白部分的面積為y，則有