G- 布朗運(yùn)動(dòng)指數(shù)泛函的矩估計(jì)

胡鑫宇， 閆理坦， 郭夢(mèng)凡

(1. 東華大學(xué)理學(xué)院統(tǒng)計(jì)系，上海201620)

(2. 中國工商銀行上海分行，上海200120)

1 引言

在快速發(fā)展的金融市場(chǎng)， 金融衍生品的定價(jià)問題一直以來都是人們關(guān)注的焦點(diǎn)， 其中亞式期權(quán)作為股票期權(quán)衍生的一種新式期權(quán)， 其特殊性在于它是通過相關(guān)證券在合同期間某段時(shí)間內(nèi)的平均價(jià)格來決定回報(bào)， 這就既減少了合同期內(nèi)價(jià)格浮動(dòng)對(duì)期權(quán)定價(jià)的影響， 同時(shí)也能較為準(zhǔn)確地反映資產(chǎn)價(jià)格的浮動(dòng)趨勢(shì). 在經(jīng)典的Black-Scholes 期權(quán)定價(jià)模型中， 亞式期權(quán)的定價(jià)問題等價(jià)于布朗運(yùn)動(dòng)指數(shù)泛函的分布問題， 可以表示為以下數(shù)學(xué)形式， 若～B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)

其中S(t)為定價(jià)過程，A(t)為平均定價(jià)過程.

近些年來， 眾多學(xué)者對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)指數(shù)泛函的相關(guān)問題進(jìn)行了廣泛研究. Marc.Yor[1]，Dufresne.Daniel[2-3] 研究了指數(shù)泛函的分布問題并將其應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)理論與年金問題中.Tam′as.Szabados[4-6] 利用對(duì)稱隨機(jī)游動(dòng)構(gòu)造出指數(shù)泛函的離散化形式， 進(jìn)一步研究其矩問題.

然而Black-Scholes 定價(jià)公式本身的一些假設(shè)與現(xiàn)實(shí)存在差距. 比如金融資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布， 且波動(dòng)率為常數(shù). 但實(shí)際上， 波動(dòng)率可能是不確定的， 不一定是常數(shù).G- 布朗運(yùn)動(dòng)的參數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)變化， 更加符合復(fù)雜多變的金融市場(chǎng). 在不確定問題、風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度和金融中的超套期保值問題的驅(qū)動(dòng)下， 彭實(shí)戈[7-8] 院士提出了次線性空間的概念， 這是概率空間的一個(gè)推廣.G- 正態(tài)分布與G- 布朗運(yùn)動(dòng)在次線性期望理論中起著正態(tài)分布與布朗運(yùn)動(dòng)在線性期望中相同重要的作用.

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1 令Ω 為給定非空集合， H 為定義在Ω 上的由全體實(shí)值函數(shù)組成的線性空間，且滿足1∈H; 若X ∈H， 則|X|∈H; 若φ ∈Cb，Lip(Rd)，Xi ∈H，i= 1，2，···，d， 則有φ(X1，X2，···，Xd)∈H. 其中Cb，Lip(Rd)表示Rd上的全體有界Lipschitz 函數(shù)的集合. 如果定義在H 上的函數(shù)?E 滿足對(duì)任意X，Y ∈H， 有

(1) 單調(diào)性: 若X ≥Y， 那么?E[X]≥?E[Y]，

(2) 保常性: 對(duì)任意c ∈R， 有?E[c]=c，

(3) 次可加性: ?E[X+Y]≤?E[X]+ ?E[Y]，

(4) 正齊次性: 若λ ≥0， 則?E[λX]=λ?E[X]，

則稱函數(shù)?E 為次線性期望. (Ω，H，?E)為次線性期望空間， 其中H 被看作是Ω 上的隨機(jī)變量空間.

定義2.2 在次線性期望空間(Ω，H，?E)中， 隨機(jī)過程{Bt，t ≥0} ∈H 叫做G- 布朗運(yùn)動(dòng)， 如果滿足以下條件

3 At 的積分矩

進(jìn)而將公式(3.19)代入公式(3.18)可推出

同理可得

定理3.5 若λ ∈R，n ∈N， 且t ≥0， 則有進(jìn)而可得

4 Y 的矩估計(jì)

參考Tam′as.Szabados[5] 提出的方法， 我們可以借助“扭曲與收縮”對(duì)稱隨機(jī)游動(dòng)來定義標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的一種近似序列， 即將單位一的步長壓縮至1/2m，m= 1，2，···， 對(duì)應(yīng)完成該步長的時(shí)間被壓縮至1/22m，m=1，2，···. 接下來我們將簡(jiǎn)述這一方法.exp(2-mXm(j) +μ2-2m). 當(dāng)n →∞時(shí)，Ym，n →Ym，Ym= 2-2m(1 +ξm1+ξm1ξm2+···+ξm1ξm2···)， 且Ym滿足分布自相似性