具變系數(shù)的非局部高階Kirchhoff方程的整體吸引子族

呂鵬輝， 林國廣， 孫玉婷

(1. 蘇州大學應用技術學院， 江蘇 蘇州215325)

(2. 云南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院， 云南 昆明650500)

(3. 陸軍邊海防學院昆明校區(qū)， 云南 昆明650207)

1 引言

設Ω?RN是具有光滑邊界的有界區(qū)域， 本文主要研究Ω 上具有變系數(shù)非局部高階Kirchhoff方程的漸近行為:

其中Γ 為Ω 的光滑邊界，v是邊界Γ 上的外法向量，m ＞1，a(x)，b(x) 為關于空間變量x的變系數(shù)函數(shù)，f(x) 是外力項，g(x，u) 是滿足一定增長條件和耗散條件的關于未知函數(shù)u的非線性源項.

一般而言， 整體吸引子是一個具有不變性的非空緊集， 并且能夠吸引任何有界集. 對于耗散動力系統(tǒng)， 整體吸引子是解釋系統(tǒng)解的長時間動力學的核心概念， 對于自治動力系統(tǒng)， 通常用整體吸引子來刻畫其漸近行為.

吸引子包含了系統(tǒng)幾乎所有的長時間信息， 因此關于吸引子存在性及結構的研究對整個系統(tǒng)的長時間演變過程有著非常重要的意義. Kirchhoff方程作為一重要的數(shù)學物理方程， 研究其吸引子就顯得相當重要， 近年來， 得到了許多有關Kirchhoff型方程的長時間動力學行為，I.Chueshov[1]研究了帶非線性強阻尼Kirchhoff方程utt-σ(‖?u‖2)Δut-φ(‖?u‖2)Δu+f(u) =h(x) 的長時間動力行為. Guoguang Lin， Penghui Lv 和Ruijin Lou[2]研究了具阻尼項的廣義非線性Kirchhoff-Boussinesq 方程的整體動力學， 研究得到了該類方程的整體吸引子和指數(shù)吸引子. 更多有關低階波動方程或Kirchhoff方程的研究可見文獻[3-5].

隨著研究的深入， 學者開始研究高階波動方程的長時間動力學行為. Salim A. Messaoudia ， Belkacem Said Houari[6]研究了具有Dirichlet 邊界條件的多維高階Kirchhoff方程， 估計了在正初始能量下解爆破. 林國廣， 李卓茜[7]研究了一類非線性非局部且具強阻尼項的高階Kirchhoff方程的初邊值問題， 得到了該類高階方程的整體解的存在唯一性， 并且得到了該類Kirchhoff方程的整體吸引子族， 且整體吸引子族具有有限的Hausdorff維數(shù)和Fractal 維數(shù). Fucai Li[8]研究了有界域上具有非線性耗散的高階Kirchhoff型方程

其中m ＞1，q，p，r ＞0. 當p ≤r時， 得到方程的整體解， 同時當p ＞max{r，2q}時， 對于所有具負初始能量的初始數(shù)據(jù)， 解在Lp+2范數(shù)下將有限時間內爆破. 詳細的關于更多高階Kirchhoff方程的相關研究可見文獻[9-11].

目前帶變系數(shù)的高階Kirchhoff方程的漸近行為見文較少. 本文在得到問題(1.1) 的漸近行為時， 主要的問題是如何處理變系數(shù)， 在變系數(shù)情況下如何得到漸近緊性. 本文運用合理的假設和萊布尼茲公式克服了變系數(shù)帶來的困難， 進而得到有界吸收集和漸近緊性.

本文第2 部分介紹有關概念和動力系統(tǒng)的相關定義及理論; 第3 部分得到問題的先驗估計和整體解; 第4 部分得到問題(1.1) 的整體吸引子族.

2 預備知識

本節(jié)主要給出動力系統(tǒng)和整體吸引子(族) 的相關理論.

首先引進本文需用到的相關記號:

定義H=L2(Ω) 上的內積和范數(shù)分別為(·，·) 和‖·‖，Lp=Lp(Ω)，‖·‖p=‖·‖Lp， 其中p ≥1.現(xiàn)令

其相應的內積和范數(shù)分別為特別地， 當t →∞時， 從u0出發(fā)的一切軌道S(t)u0收斂于A0內， 即有dist(S(t)u0，A0)→0(t →∞)， 則稱緊集A0為半群{S(t)}t≥0的整體吸引子.

引理2.3[7]設X是Banach 空間， 連續(xù)的算子半群{S(t)}t≥0滿足

(1) 半群{S(t)}t≥0在X中一致有界， 即?R ＞0 存在正常數(shù)C(R) 使得‖u‖X ≤R， 有

(2) 存在X中有界吸收集B0， 則任意一個有界集B ?X， 存在一個時刻t0， 使得

(3) 對t ＞0，S(t) 是全連續(xù)算子;

則半群{S(t)}t≥0具有緊的整體吸引子A0.

定義2.4 (整體吸引子族) 設Xk，k=1，2，···，m， 是Banach 空間，{S(t)}t≥0為連續(xù)的算子半群， 如果緊集Ak ?Xk滿足

(1) 不變性 在半群{S(t)}t≥0作用下為不變集， 即S(t)Ak=Ak(?t ≥0);

(2) 吸引性Ak吸引Xk中一切有界集， 即?Bk ?Xk為Xk中的有界集， 有

特別地， 當t →∞時， 從u0出發(fā)的一切軌道S(t)u0收斂于Ak內， 即有dist(S(t)u0，Ak)→0(t →∞)， 則稱緊集Ak為半群{S(t)}t≥0的整體吸引子族.

引理2.5 設Xk，k=1，2，···，m， 是Banach 空間， 連續(xù)的算子半群{S(t)}t≥0滿足

(1) 半群{S(t)}t≥0在Xk中一致有界， 即?R ＞0 存在正常數(shù)Ck(Rk) 使得‖u‖Xk ≤Rk，有

(2) 存在Xk中有界吸收集B0k， 則任意一個有界集B ?Xk， 存在一個時刻t0k， 使得

(3) 對t ＞0，S(t) 是全連續(xù)算子;

則半群{S(t)}t≥0具有緊的整體吸引子族Ak.

3 整體解的存在性

(M)M ∈C1(R+)， 且0＜M0≤M(s)≤M1，?s ∈R+，x ∈Ω，k= 0，1，···，m， 非線性項g(x，u) 滿足下列條件: 存在正常數(shù)β1，β2，β3，β4，β5＞0， 對?u ∈R，x ∈Ω， 滿足

其中v=ut+εu. 且存在一個正常數(shù)R0和t0＞0， 使得

證 將v與方程組(1.1) 在L2(Ω) 中作內積， 得

分別處理(3.9) 中各項:

因此， 存在一個正常數(shù)R0和t0＞0， 使得

引理3.1 證畢.

引理3.2 設(H) 成立，M滿足(M)，f ∈Vk， (3.1)-(3.5) 成立， (u0，u1)∈Xk，k=1，2，···，m， 由問題(1.1) 確定的(u，v) 滿足

引理3.3 (整體解的存在唯一性) 在引理3.1 和引理3.2 假設條件下， (u0，u1)∈Xk，k=0，1，···，m， 則初邊值問題(1.1) 存在唯一的整體解(u，v)∈L∞([0，+∞)，Xk).

證 存在性 利用Galerkin 方法證明整體解的存在性.

第一步， 近似解構造

滿足初始條件un(0)=un0，unt(0)=un1， 當n →+∞時， 在Xk中(un0，un1)→(u0，u1)， 由常微分方程的基本理論可知近似解un(t) 在(0，tn) 存在.

第二步， 先驗估計

現(xiàn)需證明Xk(k= 0，1，···，m) 空間解的存在在性， 故在(3.45) 兩端同時乘以λkj(h′j(t)+εhj(t))， 并對j求和， 令vn(t)=unt(t)+εun(t).

由引理3.1 和引理3.2 得

當k=0 時， 得到X0空間中解的先驗估計

由此可知， (un，vn) 在L∞([0，+∞);X0) 中有界， (un，vn) 在L∞([0，+∞);Xk) 中有界.第三步， 極限過程

在Xk，k=0，1，···，m空間中， 從序列un中選取子列， 仍用un表示， 則

在L∞([0，+∞);Xk) 中弱* 收斂.

由Rellich-Kohdrachov 緊嵌入定理知Xk(k= 1，2，···，m) 緊嵌入X0， 有(un，vn)→(u，v)

在X0中幾乎處處強收斂.

由(3.48) 得

從而解的唯一性得證.

4 整體吸引子族的存在性

定理4.1 在引理3.1 和3.2 的假設條件下及引理3.3， 問題(1.1) 存在整體吸引子族:

定理4.1 證畢.