多層FitzHugh-Nagumo 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的控制同步

程 卉

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 湖北 武漢430072)

1 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是生物、物理、工程和社會科學(xué)中很多系統(tǒng)的通用模型[1-3]. 近些年來， 人們開始對網(wǎng)絡(luò)中的代數(shù)關(guān)系、統(tǒng)計內(nèi)容和圖論相關(guān)性質(zhì)以及它們和網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)之間的關(guān)系產(chǎn)生濃厚的興趣. 隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在信息傳輸、模式識別和圖像處理等方向的廣泛應(yīng)用， 神經(jīng)系統(tǒng)的動態(tài)行為成為研究的熱點(diǎn)[4-6].

生物神經(jīng)系統(tǒng)是一個由數(shù)億個神經(jīng)細(xì)胞構(gòu)成的極其錯綜復(fù)雜的信息網(wǎng)絡(luò). 生物機(jī)體的整個系統(tǒng)和器官在信息的加工和傳播過程中受到控制和協(xié)調(diào)， 使其能夠適應(yīng)內(nèi)外環(huán)境的差異，完成各種生理過程[7]. 神經(jīng)元作為神經(jīng)系統(tǒng)中最基本的結(jié)構(gòu)單元， 其許多的動態(tài)行為通過放電活動來表現(xiàn)出來. 許多個神經(jīng)元通過電突觸和化學(xué)突觸緊密相連， 組成一個巨大的復(fù)雜的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)， 具有高層次和多功能的特性. 為了能更加了解神經(jīng)元信息傳遞的過程以及其認(rèn)知、思想、控制等功能， 我們需要探索更多的神經(jīng)元和網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為.

過去生物神經(jīng)研究主要集中在大腦的不同部分， 但現(xiàn)代的研究更偏向于使用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的模式來分析不同神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為[8]. 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中最基本的結(jié)構(gòu)單元是神經(jīng)元， 而突觸建立了神經(jīng)元之間進(jìn)行信息交流和傳遞的橋梁. 由于神經(jīng)元的類型和神經(jīng)元間連接的突觸方式的多樣性， 神經(jīng)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣， 具有非線性的動力學(xué)行為. 龐大的神經(jīng)系統(tǒng)對于信息的處理并不是由單個的神經(jīng)元完成的， 而是由相互作用的神經(jīng)元集群共同完成的. 所以， 我們需要從復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的角度來探究神經(jīng)元系統(tǒng)進(jìn)行信息處理、管理、整合的方式， 通過研究神經(jīng)元系統(tǒng)的復(fù)雜同步行為和時變動力學(xué)行為來進(jìn)一步了解神經(jīng)元的高級認(rèn)知功能.

同步是非線性系統(tǒng)中最基本的合作行為形式之一， 在自然界和社會現(xiàn)象中經(jīng)常發(fā)生， 同時在神經(jīng)元系統(tǒng)中也普遍存在[9，10]. 根據(jù)許多研究表明， 探究和理解大腦的功能已開始廣泛應(yīng)用混沌同步理論. 在神經(jīng)科學(xué)中， 對于健康和不健康的大腦的功能分析在理解神經(jīng)元與其網(wǎng)絡(luò)之間復(fù)雜的相互作用機(jī)制方面扮演著重要的角色[11]. 但是導(dǎo)致腦部疾病的一個重要原因是神經(jīng)元間無法同步， 像帕金森氏病， 自閉癥等影響身體功能的疾病已被證實(shí)與神經(jīng)元間缺乏同步有關(guān)[12，13].

到目前為止， 研究人員們已經(jīng)提出了很多種控制方案來實(shí)現(xiàn)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的同步， 例如主動控制、自適應(yīng)控制、反同步控制、滑?？刂?、有限時間同步控制等. 至今對FitzHugh-Nagumo(簡稱FHN) 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)在外部施加電刺激的同步控制已經(jīng)得到了許多有效的研究[14-19]. 文獻(xiàn)[14] 利用后推和滑膜控制技術(shù)的魯棒控制實(shí)現(xiàn)了兩個間隙連接耦合的混沌FHN神經(jīng)元的同步， 通過仿真證明了控制方案的有效性. 文獻(xiàn)[15] 考慮了兩個具有不同離子電流的非耦合FHN 神經(jīng)元與外部電刺激之間的同步， 應(yīng)用魯棒自適應(yīng)滑?？刂破鹘鉀Q了系統(tǒng)的不確定性和外部干擾， 在Lyapunov 穩(wěn)定性定理的意義上給出了保證穩(wěn)定同步的充分條件.文獻(xiàn)[16] 利用空間采樣策略的新型控制方法實(shí)現(xiàn)了一類反應(yīng)擴(kuò)散FHN 系統(tǒng)之間的同步， 通過數(shù)值仿真較好地展示出控制器的效率. 現(xiàn)有研究神經(jīng)元系統(tǒng)同步控制的文獻(xiàn)大多考慮單層網(wǎng)絡(luò)， 但在實(shí)際應(yīng)用中， 神經(jīng)元之間通過不同的突觸連接方式相互聯(lián)系， 形成多層次的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)， 因此考慮多層神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的同步控制具有重要價值. 本文從數(shù)學(xué)角度出發(fā)， 考慮多層神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)， 多層網(wǎng)絡(luò)中同步的控制條件與單層網(wǎng)絡(luò)有所不同， 且相互之間有一定的聯(lián)系， 這些均在文中有詳細(xì)證明和介紹. 另外神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)間通過分量來耦合， 且考慮控制節(jié)點(diǎn)的分量對同步的影響， 這對于以前的研究而言是創(chuàng)新部分， 為控制神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的同步提供了一些新的思路.

本文研究了由FHN 神經(jīng)元模型耦合而成的多層神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)， 探究控制神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的不同分量對于系統(tǒng)達(dá)到同步的影響. 在單層網(wǎng)絡(luò)和多層網(wǎng)絡(luò)兩種情況下， 基于舒爾補(bǔ)式[20]和李雅普諾夫穩(wěn)定性理論[21]， 分別給出了保證神經(jīng)元系統(tǒng)穩(wěn)定同步的充分條件. 通過比較分析，從理論上討論了兩者間同步條件的差異與聯(lián)系.

2 數(shù)學(xué)準(zhǔn)備

我們首先介紹一些本文中將要使用的符號.Rn和Rn×m分別表示n維歐幾里得空間和所有n×m維實(shí)矩陣的集合，R+是正實(shí)數(shù)集，‖·‖表示向量或矩陣的二范數(shù)，λmax(·) 表示對稱矩陣的最大特征值，λmin(·) 表示對稱矩陣的最小特征值.In×n表示維數(shù)為n的單位矩陣.

2.1 數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)備

利用上式， 不難驗(yàn)證以下有用結(jié)論

上式就是關(guān)于行列式的Schur 補(bǔ)公式， 也稱為Schur 公式.

2.2 FitzHugh-Nagumo(FHN) 神經(jīng)元模型

自1951 年以來， 對電化學(xué)細(xì)胞的定量研究主要受到了霍奇金和赫胥黎對長烏賊巨型軸索神經(jīng)傳導(dǎo)的杰出研究的推動. 霍奇金和赫胥黎主要是建立四維模型來表示在烏賊的巨大軸突上傳播脈沖的過程[22]， 該模型能夠描述神經(jīng)元膜內(nèi)的自激振蕩、混沌、多重穩(wěn)定等非線性的現(xiàn)象， 為人們探索神經(jīng)元的興奮性提供了基本框架. 上千個神經(jīng)元是如何相互連接， 怎么協(xié)調(diào)有序放電是理論研究和實(shí)驗(yàn)探索的重要課題. 這些年來， 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的發(fā)展為探索這一問題提供了一個很好的新方法.

由于這些方程太過復(fù)雜， 無法完全分析， 為了幫助理解霍奇金- 赫胥黎方程的性質(zhì)， 更簡單的方程組確實(shí)是必要的. 因此， 考慮到生理背景， FitzHugh(1961) 和Nagumo(1962) 獨(dú)立地導(dǎo)出了一個二維系統(tǒng)， 該系統(tǒng)提供了一個四維的霍奇金- 赫克斯利方程的簡化[22-25].

Fitzhugh-Nagumo (FHN) 神經(jīng)元模型可以用下式描述:

其在同步流形s=(s1，s2) 處線性化后可以得到

圖1:FHN 模型中狀態(tài)變量W 和V 的相圖， 其中 = 0.08，a = 0.7，b = 0.8，Iex = 0.5cos( 5t0).可以看到， 系統(tǒng)的軌道收縮到極限環(huán)， 所以變量V 和W 是有界的. V 的邊界可以取2.

3 主要結(jié)論

3.1 單層網(wǎng)絡(luò)

考慮一個二維的具有N個神經(jīng)元的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò). 描述網(wǎng)絡(luò)動態(tài)演化的方程為:

因?yàn)楸疚闹匮芯慷鄬由窠?jīng)元網(wǎng)絡(luò)中控制節(jié)點(diǎn)分量對于網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為及同步現(xiàn)象的影響， 所以內(nèi)聯(lián)矩陣均考慮取對角元素為0 或1 的對角矩陣. 一方面是因?yàn)樵谝话愕亩鄬泳W(wǎng)絡(luò)中也會考慮取對角矩陣， 這樣在進(jìn)行研究證明時會更方便， 如文獻(xiàn)[26]；另一方面， 考慮控制節(jié)點(diǎn)分量對于同步的影響時， 內(nèi)聯(lián)矩陣取對角矩陣同時也可以考慮節(jié)點(diǎn)之間耦合不同分量時同步條件是否有所變化.

當(dāng)內(nèi)聯(lián)矩陣P=diag(1，0) 時， 對于FHN 模型網(wǎng)絡(luò)， 向量方程(3.1) 可以寫成標(biāo)量形式:

令ei?xi-s(1≤ i ≤ N)， 其中s=(s1，s2)∈R2是同步態(tài)， 將網(wǎng)絡(luò)方程(3.2) 在s上

若換成其他內(nèi)聯(lián)矩陣時網(wǎng)絡(luò)依舊能同步， 大部分神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)文章中均有介紹， 但同步條件與本文有所不同， 這不是本文考慮的重點(diǎn)， 所以此處不再贅述.

上面討論了在單層生物神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的情況下， 當(dāng)節(jié)點(diǎn)僅通過第一分量相互耦合時， 可以對節(jié)點(diǎn)的第一分量進(jìn)行線性控制， 從而實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的局部同步. 那么當(dāng)節(jié)點(diǎn)通過第二分量相互耦合時， 考慮是否可以通過控制節(jié)點(diǎn)第二的分量來實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步.

那么有誤差系統(tǒng)

其中s1是同步態(tài)s= (s1，s2) 中的第一個分量， 那么神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)(3.4) 是局部同步的， 即t →+∞，ei →0.

證 選取系統(tǒng)(3.4) 的李雅普諾夫函數(shù)如下:

其中Q1=σ1C-dIn×n-∈bIn×n.

那么有

根據(jù)LaSalle 不變原理， 系統(tǒng)的每個解收斂到集合的最大不變集˙V(t)=0， 即E1i=0，E2i=0(1≤i ≤n). 所以當(dāng)t →+∞，ei →0(1≤i ≤n)， 網(wǎng)絡(luò)處于局部同步狀態(tài).

注3.3 對于動態(tài)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)(3.4)， 當(dāng)節(jié)點(diǎn)通過第二個分量相互耦合時， 對節(jié)點(diǎn)的第二個分量施加控制， 使網(wǎng)絡(luò)同步所需的控制強(qiáng)度也受到神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)自身動力學(xué)的影響， 與耦合強(qiáng)度和耦合矩陣無關(guān). 此時的控制強(qiáng)度與耦合控制第一分量時所需的控制強(qiáng)度有所不同， 且所需的控制強(qiáng)度更大.

3.2 兩層網(wǎng)絡(luò)

網(wǎng)絡(luò)(3.7) 是局部同步的， 即t →+∞，ei →0.

則K ＜0. 所以有

同樣地有

那么f(x)＜0 且F ＜0.

另一方面，K2=σ2G-d2In×n-∈bIn×n ＜0 始終成立. 根據(jù)引理2.2， 我們可推斷出當(dāng)d1，d2取合適的正實(shí)數(shù)時，K ＜0， 也就意味著K是負(fù)定的.

根據(jù)LaSalle 不變原理， 系統(tǒng)的每個解收斂到集合的最大不變集˙V(t)=0， 即E1i=0，E2i=0(1≤i ≤n). 所以當(dāng)t →+∞，ei →0(1≤i ≤n)， 網(wǎng)絡(luò)處于局部同步狀態(tài).

注3.5 對于兩層生物神經(jīng)元動態(tài)網(wǎng)絡(luò)(3.6)， 當(dāng)對每個節(jié)點(diǎn)的兩個分量都施加線性控制時， 網(wǎng)絡(luò)可以達(dá)到局部同步， 其所需的控制強(qiáng)度d1，d2相互限制、相互影響， 與節(jié)點(diǎn)本身的動力學(xué)有關(guān). 它們也與耦合強(qiáng)度、耦合矩陣等無關(guān). 當(dāng)其中一個分量上的控制強(qiáng)度降為0 時， 另一個分量上所需的控制條件與單層網(wǎng)絡(luò)情況相同.

定義下式

當(dāng)g ＜0 時網(wǎng)絡(luò)可以達(dá)到一個同步狀態(tài). 若取∈=0.08，a=0.7，b=0.8， 那么FHN 模型中的神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的分量是有界的. 從圖1 中我們可以計算出s1的界可以取值為2， 我們可以畫出g關(guān)于d1和d2的圖像， 如圖2 所示.

圖2: 兩層生物神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中分別控制節(jié)點(diǎn)的兩個分量時， 網(wǎng)絡(luò)同步與控制強(qiáng)度之間的關(guān)系.

由上圖2 可知， 當(dāng)d2=0 時，d1=d， 即與僅控制第一分量時所需的控制強(qiáng)度相同. 同樣地， 當(dāng)d1= 0 時，d=d， 即與僅控制第二分量時所需的控制強(qiáng)度相同. 當(dāng)d2＞0，d1＜d， 這說明在對每個節(jié)點(diǎn)的第二個分量施加控制后， 網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步時對第一個分量所需的控制強(qiáng)度會相應(yīng)降低. 相應(yīng)地， 當(dāng)d1越小， 所需的d2會變得更大. 這相應(yīng)地說明， 兩者之間是相互影響， 共同促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)同步的關(guān)系.

4 結(jié)論

綜上所述， 我們討論了由FHN 模型耦合而成的多層神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)， 探究控制神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的不同分量對于系統(tǒng)達(dá)到同步的影響. 對單層網(wǎng)絡(luò)和兩層網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了分類和討論， 通過嚴(yán)格的理論驗(yàn)證， 分別給出了保證神經(jīng)元系統(tǒng)穩(wěn)定同步的充分條件.

我們可以發(fā)現(xiàn)， 由FHN 模型耦合的單層生物神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)和多層生物神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中實(shí)現(xiàn)同步時所需的控制強(qiáng)度是不同的. 當(dāng)多層網(wǎng)絡(luò)中僅控制一個分量時， 所需的控制強(qiáng)度與單層網(wǎng)絡(luò)中所需的控制強(qiáng)度相同， 且控制第一分量對于同步的影響要優(yōu)于第二分量. 多層網(wǎng)絡(luò)中兩個分量上的控制相互影響， 共同促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)的同步， 另外同步所需的充分條件是單層網(wǎng)絡(luò)情況的擴(kuò)展.

未來的工作包括研究由其他模型耦合的網(wǎng)絡(luò)中控制節(jié)點(diǎn)分量對同步的影響， 以及通過牽制控制部分節(jié)點(diǎn)， 分析控制節(jié)點(diǎn)中某一分量對同步的影響.