EQ-代數(shù)中的兩類L-模糊前濾子及其性質(zhì)

劉夢柯,左衛(wèi)兵

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言

為了研究模糊型理論中真值構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)和解決邏輯證明中的若干問題, 文獻(xiàn)[1]提出了EQ-代數(shù)的概念. EQ-代數(shù)是剩余格的推廣形式, 眾多學(xué)者從不同角度對EQ-代數(shù)進(jìn)行了研究, 得到了許多重要成果[2-7]. (前)濾子概念在EQ-代數(shù)中起著重要作用. 文獻(xiàn)[8]在EQ-代數(shù)中提出蘊(yùn)涵前濾子和正蘊(yùn)涵前濾子的概念; 基于模糊集思想, 文獻(xiàn)[9]在EQ-代數(shù)中提出了模糊前濾子和素模糊前濾子的概念; 文獻(xiàn)[10]提出了模糊蘊(yùn)涵(前)濾子和模糊正蘊(yùn)涵(前)濾子, 并討論了它們之間的關(guān)系; 文獻(xiàn)[11]基于L-模糊子集, 在EQ-代數(shù)中提出了L-模糊濾子的概念, 得到了L-模糊濾子的等價(jià)刻畫, 并討論了L-模糊濾子與EQ-同態(tài)和EQ-同余的關(guān)系.

本文受上述文獻(xiàn)的啟發(fā), 延續(xù)上述工作, 提出EQ-代數(shù)上的L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子和L-模糊蘊(yùn)涵前濾子的概念,得到了二者的一些等價(jià)刻畫, 并研究了他們之間的關(guān)系, 豐富了L-模糊濾子理論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]一個(gè)(2,2,2,0)型代數(shù)ε=〈E,∧,?,～,1〉，其中?x,y,z,s∈E滿足:

(1)〈E,∧,1〉是一個(gè)交換冪等幺半群(即有最大元1的∧半格);

(2)〈E,?,1〉是一個(gè)交換幺半群,其中?是保序的(x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x∧y=x);

(3)x～x=1；

(4)((x∧y)～z)?(s～x)≤(z～(s∧y))；

(5)(x～y)?(z～s)≤(x～z)～(y～s)；

(6)(x∧y∧z)～x≤(x∧y)～x；

(7)(x∧y)～x≤(x∧y∧z)～(x∧z)；

(8)x?y≤x～y.

則ε稱是一個(gè)EQ-代數(shù).

定理1[8]ε是一個(gè)EQ-代數(shù),?x,y,z∈E,有下列性質(zhì)成立:

(1)x～y=y～x,x～y≤x→y;

(2)x≤1～x=1→x≤y→x;

(3)(x～y)?(y～z)≤(x～z);

(4)(x→y)≤(y→z)→(x→z);

(5)(x→y)≤(z→x)→(z→y);

(6)(x→y)≤(x∧z)→(y∧z);

(7)如果x≤y,則z→x≤z→y,y→z≤x→z；

(8)x?y≤x∧y≤x,y.

定義2[10]若ε=〈E,∧,?,～,1〉是一個(gè)EQ-代數(shù),μ是E上的模糊子集,如果μ滿足下列條件:對?x,y,z∈E,有

(L1)μ(1)≥μ(x);

(L2)μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)，

則稱μ是ε的模糊前濾子.

如果它同時(shí)滿足:

(L3)μ((x?y)→(y?z))≥μ(x→y),

則稱μ為模糊濾子.

定義3[10]模糊前濾子μ如果滿足:

(PL1)對?x,y,z∈E,有

μ(x→z)≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y),

稱μ為模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

如果它同時(shí)滿足(L3)，那么μ叫做模糊正蘊(yùn)涵濾子.

定義4[10]若ε=〈E,∧,?,～,1〉是一個(gè)EQ-代數(shù),μ是E上的模糊子集,如果μ滿足下列條件:對?x,y,z∈E，有

(IL1)μ(1)≥μ(x);

(IL2)μ(x)≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z),

稱μ為模糊蘊(yùn)涵前濾子.

如果它同時(shí)滿足(L3),那么μ叫做蘊(yùn)涵濾子.

若μ:E→L是一個(gè)映射,μ叫做E的L-模糊子集.在無特別說明的情況下,文中的L均指完備剩余格(L,∧,∨,?,→,0,1).

定義5[11]設(shè)ε=〈E,∧,?,～,1〉是一個(gè)EQ-代數(shù),μ是E上的L-模糊子集,如果μ滿足下列條件:對?x,y,z∈E,有

(1)μ(1)≥μ(x);

(2)μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)，

則稱μ是ε的L-模糊前濾子.

如果它同時(shí)滿足:

(3)μ((x?y)→(y?z))≥μ(x→y),

稱μ是ε上的L-模糊濾子.

可見L-模糊濾子是在定義2的基礎(chǔ)上將模糊子集的隸屬值由[0,1]推廣到一般的完備剩余格L所得.

2 L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子

定義6設(shè)ε=〈E,∧,?,～,1〉是一個(gè)EQ-代數(shù),μ是E上的L-模糊子集,如果μ滿足下列條件:對?x,y,z∈E，有

(F1)μ(1)≥μ(x);

(F2)μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y);

(F3)μ(x→z)≥μ(x→(y→z))∧μ(x→y),

稱μ是ε上的L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

如果它同時(shí)滿足:

(F4)μ((x?y)→(y?z))≥μ(x→y)，

則稱μ是L-模糊正蘊(yùn)涵濾子.

顯然,L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子是L-模糊前濾子.

注L-模糊正蘊(yùn)涵(前)濾子與定義3的形式類似,但此定義如定義5是將模糊子集的隸屬值由[0,1]推廣到一般的完備剩余格L所得.

例1設(shè)ε=({0,a,b,c,1},∧,?,～,1),其中0≤a,b≤c≤1,運(yùn)算“?”,“～”及“→”定義如下.

0abc1000000a0a0aab00bbbc0abcc10abc1

～0abc101ba00ab11aaba11bbc0ab1c10abc1

→0abc1011111ab1b11baa111c0ab1110abc1

則ε是一個(gè)EQ-代數(shù)[11].

定義映射μ:E→L,L={0,m,n,q,1}是一個(gè)完備剩余格,其中0≤m,n≤q≤1,μ(0)=μ(a)=μ(b)=μ(c)=m,μ(1)=q.驗(yàn)證可知,μ是ε中的一個(gè)L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

對?λ∈L,定義μλ={x∈E|μ(x)≥λ},稱μλ為μ的一個(gè)λ-截集.

定理2μ是EQ-代數(shù)E上的一個(gè)L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子的充要條件是:對?λ∈L,若μλ≠?,則μλ是E的正蘊(yùn)涵前濾子.

證明必要性:若μλ≠?,則?x0∈E使得μ(x0)≥λ,所以μ(1)≥μ(x0)≥λ,即1∈μλ.

若x,x→y∈μλ,則μ(x),μ(x→y)≥λ,又因μ是EQ-代數(shù)E上的一個(gè)L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,則μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)≥λ,所以y∈μλ.

若x→(y→z),x→y∈μλ,則μ(x→(y→z)),μ(x→y)≥λ.進(jìn)一步有μ(x→z)≥μ(x→(y→z))∧μ(x→z)≥λ,所以x→z∈μλ.故μλ是正蘊(yùn)涵前濾子.

充分性:對?x∈E,令λ1=μ(x),因?yàn)棣苔耸钦N(yùn)涵前濾子,所以1∈μλ1,因此μ(1)≥λ1=μ(x);對?x,y,z∈E,令λ2=μ(x)∧μ(x→y),則有μ(x),μ(x→y)≥λ2,所以x∈μλ2,x→y∈μλ2.同樣地,因?yàn)棣苔耸钦N(yùn)涵前濾子,有y∈μλ2,則μ(y)≥λ2=μ(x)∧μ(x→y);對?x,y,z∈E,令λ3=μ(x→(y→z))∧μ(x→y),則有μ(x→(y→z)),μ(x→y)≥λ3,故x→(y→z)∈μλ3,x→y∈μλ3,又因?yàn)棣苔耸钦N(yùn)涵前濾子,所以x→z∈μλ3,則μ(x→z)≥λ3=μ(x→(y→z))∧μ(x→y),所以μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

定理3如果μ是EQ-代數(shù)上的L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,那么對于?x,y,z∈E，下列式子成立:

(1)x≤y?μ(x)≤μ(y);

(2)μ(x→y)∧μ(y→z)≤μ(x→z).

證明(1)由x≤y,得x→y=1,從而μ(x)≤μ(1)=μ(x→y),所以μ(x)=μ(x)∧μ(x→y)≤μ(y).

(2)由x→y≤(y→z)→(x→z),得μ(x→y)≤μ((y→z)→(x→z)),所以μ(x→y)∧μ(y→z)≤μ(y→z)∧μ((y→z)→(x→z))≤μ(x→z).

定理4設(shè)μ是E上的L-模糊前濾子,則μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,當(dāng)且僅當(dāng)?x,y,z∈E,μ(x∧(x→y)→y)=μ(1).

證明由x∧(x→y)≤x→y,x∧(x→y)≤x可得:x∧(x→y)→(x→y)=1,x∧(x→y)→x=1,所以μ(x∧(x→y)→(x→y))=μ(1),μ(x∧(x→y)→x)=μ(1),故μ(1)=μ(x∧(x→y)→(x→y))∧μ(x∧(x→y)→x)≤μ(x∧(x→y)→y),所以μ(x∧(x→y)→y)=μ(1).

反之只需證(F3).由定理1(6)可得:x→(y→z)≤(x∧y)→y∧(y→z),x→y≤x→(x∧y),所以μ(x→(y→z))≤μ(x∧y→y∧(y→z)),故:μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤μ(x∧y→y∧(y→z))∧μ(x→x∧y)≤μ(x→y∧(y→z)).因?yàn)棣?y∧(y→z)→z)=μ(1),故μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤μ(x→y∧(y→z))∧μ(y∧(y→z)→z)≤μ(x→z).因此μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

推論1若μ是E中的L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,則μ(x?(x→y)→y)=μ(1).

證明因?yàn)棣淌荅中的L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,由定理4可知μ(x∧(x→y)→y)=μ(1),又因x?(x→y)≤x∧(x→y),所以由定理1(7)可得x∧(x→y)→y≤x?(x→y)→y,因此μ(1)=μ(x∧(x→y)→y)≤μ(x?(x→y)→y),所以μ(x?(x→y)→y)=μ(1).

定理5設(shè)μ是E上的L-模糊前濾子,則μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子當(dāng)且僅當(dāng)μ(x→(x→y))≤μ(x→y).

證明已知x→x=1,則有μ(x→x)=μ(1),所以μ(x→(x→y))=μ(x→(x→y))∧μ(x→x)≤μ(x→y).

反之只需證(F3).由定理1(7)可得x→(y→z)≤((y→z)→(x→z))→(x→(x→z)),x→y≤(y→z)→(x→z)，因此,μ(x→(y→z))≤μ(((y→z)→(x→z))→(x→(x→z))),μ(x→y)≤μ((y→z)→(x→z)).又因μ是L-模糊前濾子,所以μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤μ(((y→z)→(x→z))→(x→(x→z)))∧μ((y→z)→(x→z))≤μ(x→(x→z))≤μ(x→z).故μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

推論2μ是E中的L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,則μ(x～(x→y))≤μ(x→y).

文獻(xiàn)[10]引入了弱交換性,將其推廣到L-模糊子集中,得到如下定義.

定義7如果μ是E中的L-模糊前濾子,若它滿足對于?x,y,z∈E,有μ(x→(y→z))=μ(y→(x→z))成立,則稱μ具有弱交換性.

定理6設(shè)μ是E上滿足弱交換性的L-模糊前濾子,則μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子當(dāng)且僅當(dāng)μ(x→(y→z))≤μ((x→y)→(x→z)).

證明由定理1(7)得(x→y)→y≤(y→z)→((x→y)→z),則μ((x→y)→y)≤μ((y→z)→((x→y)→z)).已知μ((x→y)→(x→y))=μ(1),由弱交換性得μ(x→((x→y)→y))=μ(1).再由定理1(7)及(x→y)→y≤(y→z)→((x→y)→z)可得x→((x→y)→y)≤x→((y→z)→((x→y)→z)),所以μ(1)=μ(x→((x→y)→y))≤μ(x→((y→z)→((x→y)→z))),故μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))=μ(1),又因?yàn)棣淌荓-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,由(F3)可知:μ(x→(y→z))=μ(x→(y→z))∧μ(x→((y→z)→((x→y)→z)))≤μ(x→((x→y)→z)),由弱交換性得μ(x→((x→y)→z))≤μ((x→y)→(x→z)),所以μ(x→(y→z))≤μ((x→y)→(x→z)).

反之，由μ(x→(y→z))≤μ((x→y)→(x→z))且μ是L-模糊前濾子得μ(x→(y→z))∧μ(x→y)≤μ((x→y)→(x→z))∧μ(x→y)≤μ(x→z),即(F3),所以μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

定理7如果μ和ν是兩個(gè)L-模糊前濾子,且對?x∈E,有μ(x)≤ν(x),μ(1)=ν(1),若μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,那么ν也是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

證明因?yàn)棣淌荓-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,所以有

ν(x∧(x→y)→y)≥
μ(x∧(x→y)→y)≥
μ(x∧(x→y)→(x→y))∧
μ(x∧(x→y)→x).

由于x∧(x→y)≤(x→y),x∧(x→y)≤x,則

x∧(x→y)→(x→y)=1,

x∧(x→y)→x=1,

所以

μ(x∧(x→y)→(x→y))=μ(1),
μ(x∧(x→y)→x)=μ(1),

因此

ν(x∧(x→y)→y)≥
μ(x∧(x→y)→y)≥μ(1)=ν(1),

故

ν(x∧(x→y)→y)=ν(1).

由定理4得ν是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

3 L-模糊蘊(yùn)涵前濾子

定義8設(shè)ε=〈E,∧,?,～,1〉是一個(gè)EQ-代數(shù),μ是E上的L-模糊子集,如果它滿足下列條件:對?x,y,z∈E,有

(IF1)μ(1)≥μ(x);

(IF2)μ(x)≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z),

稱μ是ε的一個(gè)L-模糊蘊(yùn)涵前濾子.

如果它同時(shí)滿足:

(IF3)μ((x?y)→(y?z))≥μ(x→y),

則稱μ為L-模糊蘊(yùn)涵濾子.

注L-模糊正蘊(yùn)涵(前)濾子與定義4的形式類似,但此定義是將模糊子集的隸屬值由[0,1]推廣到一般的完備剩余格L所得.

例2設(shè)ε=({0,a,b,c,1},∧,?,～,1),其中0≤a≤b≤c≤1,運(yùn)算“?”,“～”及“→”定義如下:

0abc1000000a0000ab0000bc0000c10abc1

～0abc1010000a01bbbb0b1ccc0bc1110bc11

→0abc1011111a01111b0b111c0bc1110bc11

則ε是一個(gè)EQ-代數(shù)[8].

定義映射μ:E→L,L={0,m,n,q,1}是一個(gè)完備剩余格,其中0≤m≤n≤q≤1,μ(1)=μ(a)=μ(b)=μ(c)=q,μ(0)=m,驗(yàn)證可知μ是ε中的一個(gè)L-模糊蘊(yùn)涵前濾子.

定理8μ是EQ-代數(shù)E上的一個(gè)L-模糊蘊(yùn)涵前濾子的充要條件是:?λ∈L,若μλ≠?,則μλ是E的蘊(yùn)涵前濾子.

證明必要性:若μλ≠?,則?x0∈E，使得μ(x0)≥λ,所以μ(1)≥μ(x0)≥λ,即1∈μλ;若x,x→y∈μλ,則μ(x),μ(x→y)≥λ.因μ是EQ-代數(shù)E上的一個(gè)L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,有μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)≥λ,所以y∈μλ;若z→((x→y)→x),z∈μλ,則μ(z→((x→y)→x)),μ(z)≥λ,進(jìn)一步有μ(x)≥μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)≥λ,所以x∈μλ.故μλ是蘊(yùn)涵前濾子.

充分性:對?x∈E,令λ1=μ(x),因?yàn)棣苔耸钦N(yùn)涵前濾子,所以1∈μλ1,因此μ(1)≥λ1=μ(x);對?x,y,z∈E,令λ2=μ(z→((x→y)→x))∧μ(z),則有μ(z→((x→y)→x)),μ(z)≥λ2,所以z→((x→y)→x)∈μλ2,z∈μλ2.同樣地,因?yàn)棣苔耸翘N(yùn)涵前濾子,有x∈μλ2,則μ(x)≥λ2=μ(z→((x→y)→x))∧μ(z).

所以μ是L-模糊蘊(yùn)涵前濾子.

定理9μ是EQ-代數(shù)上的L-模糊蘊(yùn)涵前濾子,那么x≤y蘊(yùn)涵μ(x)≤μ(y).

證明因?yàn)閤≤y，所以x→y=1,由定理1(2)可知(y→y)→y=1→y≥y,再由定理1(7)得x→((y→y) →y)≥x→y=1,則x→((y→y)→y)=1,因此μ(x→((y→y)→y))=μ(1),所以μ(x)=μ(x→((y→y)→y))∧μ(x)≤μ(y).

定理10設(shè)μ是E中的L-模糊前濾子,則μ是L-模糊蘊(yùn)涵前濾子當(dāng)且僅當(dāng)μ(x→y)→x)≤μ(x).

證明由定理1(2)有(x→y)→x≤1→((x→y)→x),故μ((x→y)→x)≤μ(1→((x→y)→x))，所以μ((x→y)→x)∧μ(1)≤μ(1→((x→y)→x))∧μ(1)≤μ(x)，即μ((x→y)→x)≤μ(x).

反之由μ是L-模糊前濾子及μ(x→y)→x)≤μ(x)可知:μ(z→((x→y)→x))∧μ(z)≤μ((x→y)→x)≤μ(x),所以μ是L-模糊蘊(yùn)涵前濾子.

定理11每個(gè)L-模糊蘊(yùn)涵前濾子是L-模糊前濾子.

證明由L-模糊蘊(yùn)涵前濾子的定義,有μ(x)≤μ(1).現(xiàn)證μ(x)∧μ(x→y)≤μ(y)成立.因?yàn)閥≤1→y,所以x→y≤x→(1→y).再由定理9得μ(x→y)≤μ(x→(1→y))=μ(x→((y→1)→y)),則μ(x)∧μ(x→y)≤μ(x)∧μ(x→((y→1)→y))≤μ(y).滿足L-模糊前濾子定義.

定理12每個(gè)L-模糊蘊(yùn)涵前濾子是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

證明已知x∧(x→y)≤x,x∧(x→y)≤x→y,則由定理1(7)可知:x→y≤(x∧(x→y))→y,因此x∧(x→y)≤(x∧(x→y))→y.再由定理1(7)得((x∧(x→y))→y)→y≤(x∧(x→y))→y,所以有μ((((x∧(x→y))→y)→y)→((x∧(x→y))→y))=μ(1).由定理10有μ(x→y)→x)≤μ(x),所以μ(1)=μ((((x∧(x→y))→y)→y)→((x∧(x→y))→y))≤μ((x∧(x→y))→y),故μ((x∧(x→y))→y)=μ(1),最后根據(jù)定理4可得,μ是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子.

定理13如果μ和ν是兩個(gè)L-模糊前濾子,且對?x∈E,有μ(x)≤ν(x),μ(1)=ν(1),若μ是滿足弱交換性的L-模糊蘊(yùn)涵前濾子,那么ν也是L-模糊蘊(yùn)涵前濾子.

證明?x,y∈E,設(shè)z=(x→y)→x,由x≤z→x可得(z→x)→y≤x→y,所以z=(x→y)→x≤((z→x)→y)→x,z→(((z→x)→y)→x)=1,則μ(z→(((z→x)→y)→x))=μ(1),由弱交換性得μ(((z→x)→y)→(z→x))=μ(1),又因μ是L-模糊蘊(yùn)涵前濾子,由定理10可得μ(1)=μ(((z→x)→y)→(z→x))≤μ(z→x),所以μ(z→x)=μ(1)=ν(1)≤ν(z→x),ν(z→x)=ν(1),又因ν是L-模糊前濾子,則ν(z)∧ν(z→x)≤ν(x),所以ν(z)≤ν(x),即ν((x→y)→x)≤ν(x).由定理10,ν是L-模糊蘊(yùn)涵前濾子.

定理14設(shè)μ是滿足弱交換性的L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子,則μ是L-模糊蘊(yùn)涵前濾子當(dāng)且僅當(dāng)μ((x→y)→y)≤μ((y→x)→x).

證明由定理1(4)可知(x→y)→y≤(y→x)→((x→y)→x),所以μ((x→y)→y)≤μ((y→x)→((x→y)→x))≤μ((x→y)→((y→x)→x)).已知y→x≤1,由定理1(7)可知1→x≤(y→x)→x.再由定理1(2)可知x≤1→x≤(y→x)→x,所以((y→x)→x)→y≤x→y.進(jìn)一步有(x→y)→((y→x)→x)≤(((y→x)→x)→y)→((y→x)→x),所以μ((x→y)→((y→x)→x))≤μ((((y→x)→x)→y)→((y→x)→x)).由定理10有μ((((y→x)→x)→y)→((y→x)→x))≤μ((y→x)→x),所以μ((x→y)→y)≤μ((y→x)→x).

反之由y≤x→y及定理1(4)可得(x→y)→x≤(x→y)→((x→y)→y),(x→y)→x≤y→x,所以μ((x→y)→x)≤μ((x→y)→((x→y)→y)),μ((x→y)→x)≤μ(y→x),故μ((x→y)→x)≤μ((x→y)→((x→y)→y))∧μ(y→x).由定理5知μ((x→y)→((x→y)→y))≤μ((x→y)→y)),所以μ((x→y)→x)≤μ((x→y)→y)∧μ(y→x)≤μ((y→x)→x)∧μ(y→x)≤μ(x).最后由定理10知,μ是L-模糊蘊(yùn)涵前濾子.

4 結(jié)語

基于EQ-代數(shù)上的L-模糊濾子的概念,在EQ-代數(shù)中引入了兩類L-模糊前濾子:L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子和L-模糊蘊(yùn)涵前濾子,分別得到了兩類L-模糊前濾子的等價(jià)刻畫,并討論了二者之間的關(guān)系,得到了每個(gè)L-模糊蘊(yùn)涵前濾子是L-模糊正蘊(yùn)涵前濾子的結(jié)論.