基于多目標的汽車前端框架拓撲優(yōu)化

楊劍飛, 周超群，王建彬，李 飛

（1.安徽工程大學機械工程學院，安徽，蕪湖 241000；2.蕪湖恒信汽車內(nèi)飾制造有限公司，安徽，蕪湖 241000）

0 引言

汽車前端不但是車身外觀造型的主要組成部分，也是汽車安全性能的重要保證。前端框架是汽車前端模塊化和集成化安裝平臺的重要支撐，其結構優(yōu)化對整車輕量化設計和操控性能提升至關重要。傳統(tǒng)的汽車前端通過專門的骨架集成了100 多個散部件，不利于整車結構優(yōu)化和操控性能提升。隨著整車輕量化要求的提高，汽車前端的模塊化和集成化趨勢日益明顯。前端框架作為前端模塊各部件的安裝和支撐平臺，其結構和力學性能指標至關重要，也是汽車前端結構優(yōu)化和輕量化設計的關鍵對象。

拓撲優(yōu)化技術屬于結構優(yōu)化技術中的一種，可在給定的設計空間中找到最佳的材料分布以及結構的形狀，從而在達到性能的要求下實現(xiàn)輕量化[1-2]。拓撲優(yōu)化常用的方法有均勻化方法、各向正交懲罰材料密度法、變厚度法、拓撲函數(shù)描述方法等[3-5]。目前，常用的單目標拓撲優(yōu)化主要針對連續(xù)體的研究對象，難以描述復雜的多工況場景[6-8]。研究人員采用加權組合將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題。范文杰等以體積和頻率作為約束，以承受扭轉(zhuǎn)以及彎曲等多種載荷工況下對應的最小柔度作為目標函數(shù)，其扭轉(zhuǎn)和彎曲的權重設為同等重要,將一階頻率和剛度進行多目標優(yōu)化[9-10]。祝小元等利用Hyperworks 軟件中的結構優(yōu)化模塊OptiStruc，采用多級容差序列算法對優(yōu)化的過程進行分步處理，最終得到在多工況下的以柔度最小及震動頻率最高結果[11]。劉林華等基于折衷規(guī)劃法結合平均頻率法建立了多目標拓撲優(yōu)化的越野車車架數(shù)學模型，并通過優(yōu)化得到了同時滿足剛度和振動頻率要求的車架拓撲結構[12-13]。

在多目標拓撲優(yōu)化時，對其子工況下的權重比例選擇是重要的。其子目標權重系數(shù)的選擇方法有三種，其一是為不同目標函數(shù)分配權重，此方法是借助單目標函數(shù)求解方法來解決多目標問題。康元春等將多目標函數(shù)權重問題通過加權轉(zhuǎn)化為單目標，則在各個目標之間進行協(xié)調(diào)權衡和折衷處理使各子目標均達到最優(yōu)[14]。其二是子工況明顯具有重要性或者有優(yōu)先級的問題。胡啟國等引用多級容差序列規(guī)劃法，按照重要程度對靜動態(tài)多優(yōu)化目標進行分級處理，則避免了當子目標數(shù)量級不同時出現(xiàn)的載荷病態(tài)現(xiàn)象[15-16]。其三是適合于不同目標函數(shù)重要性的帕累托前沿計算問題。唐華平等利用Pareto 解集思想很好地兼顧多個優(yōu)化目標間的均衡[17-18]。

本研究將原始汽車前端框架結構處的筋進行3D 網(wǎng)格填充，重新建立汽車前端的有限元模型，作為基礎結構進行拓撲優(yōu)化。由于動態(tài)模態(tài)特性需要考慮子目標函數(shù)的相對重要性，則通過層次分析法將前三階模態(tài)固有頻率進行加權[19]。對于靜態(tài)特性權重系數(shù)的選擇來說，由于子目標數(shù)量過多難以準確的判斷相對重要性，則通過灰色綜合關聯(lián)法將四種不同工況下的子目標進行權重分配[20]。最后通過折衷規(guī)劃法[21]將動靜態(tài)分配的權重進行歸一化處理，將公式進行擬合，通過Hyperworks 軟件進行動靜態(tài)多目標拓撲優(yōu)化。根據(jù)優(yōu)化后的結果對填充實體進行改進設計，對比原始結構的分析結果表明，改進后的汽車前端的整體剛度、強度性能和固有頻率均有所提高且質(zhì)量減輕，輕量化效果明顯。

1 初始有限元模型建立與靜態(tài)特性分析

1.1 有限元模型建立

汽車前端框架包括上下兩個梁、左右兩個立柱，上梁連接的兩個固定鈑金，梁與臂里面開設的加強筋。通過Hypermesh 對該模型進行抽取中面以及網(wǎng)格的劃分。其非鈑金區(qū)的設計材料為PP-LGF30（30%長玻纖增強，高剛性高強度，耐疲勞），其屬性為彈性模量4800 Mpa，泊松比為0.34，密度為1.12 g/cm3,屈服應力為78 Mpa。鈑金區(qū)的彈性模量為210 Gpa,泊松比為0.3，密度為7.85 g/cm3。抽取其中面后附屬在其梁上面的筋所采用的厚度為2 mm，壁厚為2.5 mm，鈑金的厚度為1.2 mm。網(wǎng)格的劃分采用的是四面體網(wǎng)格的方法，利用Rbe2單元將上梁與鈑金連接起來，共生成的單元數(shù)量為129050 個，原汽車前端框架質(zhì)量為3.55 kg。建立起的有限元模型如圖1 所示。

圖1 汽車前端框架有限元模型Fig.1 Finite element model of automobile front-end frame

1.2 靜力學分析與模態(tài)分析

基于對汽車前端框架一些典型的工況進行分析，結合重要部件處的受力分析所設置四種工況，受力點在鎖扣處和散熱器處。針對施加力邊界條件設計如下：分別設置鎖扣處+X 方向150N,-Z 方向300N，散熱器處+Z 方向67.5N，+X 方向125N。針對約束邊界條件，通過Reb2 在兩個立柱處建立約束，此處是與車身防撞梁處連接，所以連接點處約束六個自由度方向，另兩個鈑金處也要建立約束，此處是與車身鈑金處相連接，因此在連接處也需約束六個方向的自由度方向。針對這四種典型工況載荷，分別對該汽車前端進行靜力學分析，以及在自由狀態(tài)下，對該汽車前端進行模態(tài)分析，靜力學分析結果如表1，模態(tài)分析結果如表2。

表1 初始汽車前端剛度和強度分析結果Table 1 Initial automotive front stiffness and strength analysis results

由表1 結果表明，汽車前端在鎖扣Z 向處出現(xiàn)的最大變形量為2.69 mm 且最大應力表現(xiàn)為19.57 Mpa，明顯其剛度以及強度過低，性能較差，有必要對該汽車前端進行優(yōu)化設計改進。為了提高其整體的剛度性能可結合四個工況來對其優(yōu)化改進。為減小汽車前端框架在某種工況下的整體變形，采用結構整體柔度為優(yōu)化目標。柔度作為力學中的一個概念，表示為在力的作用下可以反應彈性變形的能力，柔度實為剛度的倒數(shù)[22]。

由表2 結果表明，在1 階時固有頻率為30.92 Hz，而土路和城市道路的不平度波長在0.77～6.3 m，汽車常用車速一般在80 km/h，根據(jù)在不同波長上的路面行駛的車輛速度和激勵頻率的關系計算[23]：

式中，f為激勵頻率；v為汽車行駛速度；λ為路面不平度波長。

計算出的路面激勵頻率范圍為3.53～28.86 Hz，而一階模態(tài)的定義是物體固有頻率與外在的激勵頻率出現(xiàn)等值時的值，所以從表2 中可以看出第一階時的固有頻率接近路面的外在激勵，有可能會發(fā)生共振。發(fā)生共振一般情況下是有危害，會引起機械和結構上很大的變形，因此需要提高一階乃至低階的固有頻率。

2 綜合目標拓撲優(yōu)化方法

2.1 灰色綜合關聯(lián)法

灰色系統(tǒng)理論是由我國控制專家鄧聚龍教授在20 世紀80 年代初創(chuàng)立的，在其關聯(lián)分析中，每一種類的數(shù)據(jù)值的大小所反應的實際意義可能不同，但是各個數(shù)據(jù)的數(shù)值其關聯(lián)度在實際意義上也有一定的關聯(lián)。因此，將多個這類需要關聯(lián)比較的序列作為關聯(lián)序列Xi，將參考序列作為被比較的序列Xj，基于灰色關聯(lián)分析理論將關聯(lián)序列與被關聯(lián)序列進行分析計算，得出關聯(lián)度。

基于灰色綜合關聯(lián)法，將各個工況所進行的單目標優(yōu)化柔度結果的數(shù)值列為關聯(lián)序列記為Xi，然后在各個工況單目標優(yōu)化的柔度數(shù)值中挑選該工況中最優(yōu)解作為被比較的序列記為Xj。設四個工況所分析的數(shù)據(jù)形成以下矩陣[24]：

2.2 層次分析法

由于模態(tài)分析中一階模態(tài)較其他模態(tài)更加重要，考慮到單目標優(yōu)化模態(tài)時各階模態(tài)具有明顯的重要性，既不能忽略高階模態(tài)的作用，也不能夸大低階模態(tài)的作用，所以將單目標優(yōu)化中的前三階模態(tài)進行加權擬合。對于這種需要考慮目標函數(shù)的相對重要性問題，所采用的是運籌學中的層次分析法[26]。

表3 判斷矩陣中因素的重要性比對表Table 3 Importance comparison table of factors in the judgment matrix

式中，0.1 為判斷界值，若CR小于0.1 則表明該判斷矩陣通過一致性指標，否則不通過則需要重新構造判斷矩陣。平均隨機一致性指標RI標準值如表4 所示。

表4 隨機一致性參考標準值Table 4 Random consistency reference standard values

2.3 折衷規(guī)劃法

通過上述分析，灰色綜合關聯(lián)法是用來計算四個工況的權重比例，層次分析法是用來求不同階模態(tài)之間的權重比例。汽車前端在拓撲優(yōu)化階段考慮靜態(tài)柔度特性以及動態(tài)頻率特性，因此根據(jù)折衷規(guī)劃法將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題，利用帶權重的綜合目標函數(shù)[28]：

綜上所述，基于折衷規(guī)劃法、灰色綜合關聯(lián)法與層次分析法相結合的多目標拓撲優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 多目標優(yōu)化流程圖Fig.2 Flow chart of multi-objective optimization

3 汽車前端拓撲優(yōu)化

3.1 單目標拓撲優(yōu)化

在Hyperworks 中對初始結構的上下梁進行填充，上梁與下梁是作為優(yōu)化的設計區(qū)域，所以在優(yōu)化之前將上梁與下梁進行實體填充，同時保留立柱的原有位置與空間，基于此基礎上建立有限元模型。材料方面與之前相同，設計區(qū)域材料為彈性模量4800 Mpa,泊松比為0.34，密度為1.12 g/cm3，屈服應力為78 Mpa，如圖3 所示。

圖3 實體填充有限元模型Fig.3 Solid filling finite element model

在四個工況點受力處進行單目標優(yōu)化和單目標前三階模態(tài)優(yōu)化，優(yōu)化的目標是降低汽車前端在各個工況處的柔度值和提高汽車前端的固有頻率值，優(yōu)化所設計的要求約束為不超過體積分數(shù)的上限百分之三十。在進行單目標優(yōu)時，優(yōu)化中設置了最小成員尺寸以及最大尺寸。由于模型在劃分網(wǎng)格時將平均網(wǎng)格尺寸設置為3 mm，根據(jù)最小成員尺寸一般設計為單元尺寸的2-3 倍而最大成員尺寸一般設計為3-4 倍，所以將最小成員尺寸及最大成員尺寸分別設計為6 mm 和12 mm。優(yōu)化的結果如圖4 所示。

圖4 單目標優(yōu)化結果Fig.4 Single objective optimization results

圖4(a)所示latch-z、latch-x、ratior-z、ratior-x所代表的是鎖扣Z 向、鎖扣X 向、散熱器Z 向、散熱器X 向的單目標優(yōu)化結果，(b)所示moda11、modal2、modal3 所代表的是第一階模態(tài)、第二階模態(tài)、第三階模態(tài)。由于Optistruct 軟件所使用的是SIMP 插值的方法，并且設置了最小成員尺寸且該優(yōu)化為殼單元，故該軟件所定義的初始懲罰系數(shù)為3，優(yōu)化中后面兩個階段都逐漸增加到4。因此計算機在設計階段會重新進入一個新的階段，所表現(xiàn)的形式如圖4 所示有三段的迭代過程。

3.2 多目標拓撲優(yōu)化

由上述分析可知，采用折衷規(guī)劃法時需將各工況柔度及前三階模態(tài)的各個權重比計算出，各工況柔度采用的方法是灰色綜合關聯(lián)法而前三階模態(tài)采用的是層次分析法。對與各工況柔度而言，選擇柔度單目標優(yōu)化中的最小值作為優(yōu)化結果值設其為被關聯(lián)序，將各工況的優(yōu)化結果形成的序列作為關聯(lián)序，取分辨系數(shù)ρ為0.5，采用灰色綜合關聯(lián)法計算，其關聯(lián)序與被關聯(lián)序如表5 所示。

表5 關聯(lián)序列與被關聯(lián)序列Table 5 Correlation sequence and associated sequence

將關聯(lián)序列與被關聯(lián)序列的數(shù)據(jù)經(jīng)過灰色關聯(lián)法計算，經(jīng)無量綱后通過式（5）計算可得其關聯(lián)系數(shù)θn(k) ，則關聯(lián)序權重經(jīng)歸一化后可知四工況下的權重比如表6 所示。

表6 四工況單目標優(yōu)化權重比Table 6 Single objective optimization weight ratio in four working conditions

對于固有頻率來說計算權重采用的是層次分析法，前三階固有頻率根據(jù)其兩兩之間的重要程度對比，參考表3 可構造出的判斷矩陣Aij。

根據(jù)矩陣求其特征值得到最大特征值為3.007，由于所擬合的是單目標固有頻率的前三階模態(tài),所以n取為3，通過表4 可知RI=0.58，根據(jù)式（8）可計算出CI=0.0035，在根據(jù)式（9）可計算出CR=0.006＜0.1，判定所構造的矩陣一致性是可以接受的。將判斷矩陣Aij歸一化得到Bij:

歸一化后的矩陣Bij進行行向量相加并進行歸一化處理后得到權重第一階模態(tài)、第二階模態(tài)、第三階模態(tài)的權重比分別為0.67、0.24、0.09。本研究對汽車前端多目標靜動態(tài)優(yōu)化，并且結合實際要求在柔度和固有頻率的權重比取為0.6、0.4。

在Hyperwork 中的optistruct 模塊下dequations里輸入上述基于折衷規(guī)劃法計算出的公式進行多目標拓撲優(yōu)化分析，綜合目標為最小函數(shù)值結果，約束為不超過體積分數(shù)上限的0.35，經(jīng)過計算機計算43 次迭代后收斂，結果如圖5-7。

圖5 多目標固有頻率迭代曲線Fig.5 Multi-target natural frequency iteration curve

多目標優(yōu)化迭代結果表明，綜合目標函數(shù)迭代過程中，由于懲罰系數(shù)3，到后兩個階段4 的變化，雖經(jīng)歷三個階段，最終迭代的結果依然為降低。前六階頻率均有提升且震蕩現(xiàn)象不明顯，整體上升趨勢較平坦。柔順度值中散熱器Z 方向柔度雖有小幅度上漲，但占整體的比例不大。汽車前端經(jīng)過多目標優(yōu)化后的材料密度分布云圖如圖8 所示。

圖6 多目標各工況柔順度值迭代曲線Fig.6 Iterative curve of compliance values in various working conditions of multiple targets

圖7 綜合目標函數(shù)迭代曲線Fig.7 Iteration curve of synthetic objective function

圖8 多目標拓撲優(yōu)化結果Fig.8 Results of multi-objective topology optimization

OptiStruct 拓撲優(yōu)化中的材料模式使用的是SIMP 方法，即是單元密度與材料彈性模量之間的一種函數(shù)關系，取值在0～1 之間連續(xù)取值，若優(yōu)化后求解單元密度越靠近1 表示該區(qū)域越重要不可去除，若單元密度越靠近0 則表示該區(qū)域越不重要可去除[30]。由HyperView 中結果可知，在上下梁中間加筋可根據(jù)該結果圖進行設計，然后再結合工程需要考慮該部分是加筋還是挖空。

3.3 汽車前端上下梁改進與分析

以多目標分析的材料密度分布云圖作為主要設計改進依據(jù)，然后結合工程需要進行改進設計，目的是使得汽車前端在滿足各性能要求下，質(zhì)量也相應地降低，以滿足輕量化的需求。結合產(chǎn)品工藝性需求，由于該汽車前端是塑料件，要進行注塑環(huán)節(jié)則需在下梁里加一些薄筋，目的是在注塑期間保證下梁不變形?；谠Y構改進設計后的汽車前端框架如圖9 所示。

圖9 汽車前端改進后結構Fig.9 Improved structure of automobile front end

改進后的汽車前端結構的質(zhì)量為3.32 kg,相比原始汽車前端結構在質(zhì)量上減輕了7%。該質(zhì)量百分比減輕是包含非設計區(qū)域的，因此減輕比重效果良好，符合輕量化要求。對改進后的汽車前端框架再次進行靜力學分析與模態(tài)分析，分析對比結果如表7、表8 所示。

由表7 可知，前三階模態(tài)提高，而前三階模態(tài)是參與多目標優(yōu)化的對象，動態(tài)特性顯著提高。

表7 汽車前端改進前后的前6 階固有頻率對比Table 7 Comparison of natural frequencies of the first 6 orders before and after automobile front end improvement

由表8 可知，改進后的汽車前端框架在鎖扣Z向、鎖扣X 向兩個工況下的變形量和應變有大幅度的降低，而下梁由于剛度相比上梁小，即在多目標優(yōu)化時下梁會先出現(xiàn)模態(tài)優(yōu)化，這樣則導致在散熱器Z 向、散熱器X 向最大變形量和應變有小幅度的上漲。但對整體比例來說，最大的變形由2.690 降低到2.107，最大的應力由19.57 降到12.84，即對于整體而言，剛度性能和強度性能提高。

表8 汽車前端改進前后剛度和強度特性對比Table 8 Comparison of stiffness and strength characteristics before and after improvement of automobile front end

4 結論

1）基于帶權重的折衷規(guī)劃法建立起了以多工況下靜態(tài)柔度和動態(tài)固有頻率的綜合目標函數(shù)，通過灰色關聯(lián)法以及層次分析法兩種側(cè)重點不同的方法來計算子目標的權重系數(shù)，這樣則在子目標權重的選擇上更加合理，為工程中多目標拓撲優(yōu)化設計提供了一種有效解決方法。

2）以某汽車前端框架為實例，運用該方法進行汽車前端的多目標拓撲優(yōu)化。在多工況下的靜態(tài)柔度權重分配上選擇灰色關聯(lián)法，由于低階模態(tài)較高階模態(tài)重要程度相對高點，則動態(tài)特性固有頻率的權重分配采用層次分析法，將分配權重歸一化后得到目標函數(shù)。優(yōu)化后結果表明，該目標函數(shù)收斂速度更快，優(yōu)化效果更好，并且在滿足輕量化的要求下，剛度性能、強度性能以及動態(tài)特性均有所提高。

3）由于實驗成本及條件的限制，本研究主要基于有限元仿真分析，并未對優(yōu)化結果進行實車試驗驗證，后續(xù)需進一步深入研究，以確保優(yōu)化結果的可靠性。