用小波熵測(cè)度Lorenz系統(tǒng)準(zhǔn)周期特性

李 偉，梁雯君，史 韜，鄧 勝，楊建平

（井岡山大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，江西,吉安 343009）

0 引言

Lorenz 模型是1963 年由美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲在研究區(qū)域小氣候時(shí)求解出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，它是非線(xiàn)性系統(tǒng)研究中常用的一個(gè)經(jīng)典例子。目前已有很多Lorenz 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征研究成果，如采用線(xiàn)性穩(wěn)定性分析（局部穩(wěn)定性分析）方法，能分析定點(diǎn)及其鄰域的性質(zhì)，但沒(méi)有涉及系統(tǒng)在整個(gè)相空間是否一定收斂（有界）的全局穩(wěn)定性問(wèn)題；用Lyapunov 指數(shù)定量地描述Lorenz 系統(tǒng)相空間相鄰軌道隨時(shí)間收斂（或發(fā)散）的平均速率[1]，可得到系統(tǒng)具有全局穩(wěn)定性，最終收縮到捕捉區(qū)內(nèi)，并形成一個(gè)不變的集合，即吸引子；另外，在非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)傳統(tǒng)分析方法上有功率譜、重現(xiàn)圖形、Poincare截面圖等，這些方法在分析系統(tǒng)時(shí)具有通用性，分析非線(xiàn)性系統(tǒng)無(wú)獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。為研究非線(xiàn)性系統(tǒng)演變的準(zhǔn)周期性特征[2-3]，多采用非線(xiàn)性系統(tǒng)的分析方法，如近似熵是統(tǒng)計(jì)量化的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)參數(shù)，能夠較好地表達(dá)Lorenz 系統(tǒng)復(fù)雜特征[4-5]，但沒(méi)有將Lorenz 系統(tǒng)的局部特征和整體演變過(guò)程結(jié)合起來(lái)；如文獻(xiàn)[6]采用三次粗?；椒ǎ\(yùn)用動(dòng)態(tài)、粗?；姆蔷€(xiàn)性時(shí)間序列分析方法（Lempel-Ziv 復(fù)雜度），分析了Lorenz 模型的復(fù)雜度演變特征，但粗?；枋龅腖orenz 系統(tǒng)其運(yùn)動(dòng)學(xué)演變特征缺乏細(xì)膩、連貫、精準(zhǔn)性。

本研究從時(shí)頻分析出發(fā)，應(yīng)用小波變換在時(shí)域和頻域同時(shí)具有定位分析信號(hào)的能力，突出系統(tǒng)的突變信息，并且將描述系統(tǒng)復(fù)雜度的信息熵理論和小波分解結(jié)合起來(lái)，形成Lorenz 系統(tǒng)測(cè)度的小波熵方法，將Lorenz 系統(tǒng)的局部突變和整體演變進(jìn)行統(tǒng)籌考察，呈現(xiàn)其準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)特征。該方法非常適合于分析非平穩(wěn)信號(hào)、非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的時(shí)間序列，能夠反映多頻率成份信號(hào)的混亂程度并提供時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)演變特征，已經(jīng)在生物醫(yī)學(xué)、機(jī)械故障診斷等領(lǐng)域的應(yīng)用中取得了一定的成果[7-11]，能夠?yàn)長(zhǎng)orenz 混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)復(fù)雜度計(jì)算提供一種時(shí)——頻分析手段。

1 時(shí)間序列的小波分解

具有多分辨率的小波變換算法是利用正交小波基（或雙正交）將信號(hào)分解成不同尺度的多個(gè)分量，此過(guò)程可理解為循環(huán)使用一對(duì)高通濾波器與低通濾波器，逐級(jí)對(duì)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行濾波，經(jīng)過(guò)高通濾波器獲得信號(hào)的高頻細(xì)節(jié)分量，通過(guò)低通濾波器生成信號(hào)的低頻粗略分量。分解后得到的信號(hào)分量所占頻帶寬度相同，均占原信號(hào)頻帶寬度的二分之一，每一次分解后，將原信號(hào)的采樣頻率減少一倍；下一層次的分解是對(duì)低頻分量重復(fù)上述分解（濾波）過(guò)程，最后得到下一層次的兩個(gè)分解細(xì)節(jié)分量。

2 小波熵的準(zhǔn)周期測(cè)度

用Shannon 信息熵描述Lorenz 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的不確定性。例如，對(duì)于一個(gè)僅有有限個(gè)樣本值的隨機(jī)變量，用X 表示其狀態(tài)特征，樣本值為xi的概率

小波變換具有在時(shí)域和頻頻同時(shí)局部化能力，將Lorenz 系統(tǒng)時(shí)間序列的時(shí)頻分支序列與信息熵相結(jié)合，可以得到Lorenz 系統(tǒng)時(shí)間序列的小波熵值——小波熵測(cè)度。設(shè)其在m個(gè)尺度上的小波能量為：

圖1 為由兩種周期成分仿真構(gòu)成的一信號(hào)，前500 個(gè)點(diǎn)為長(zhǎng)周期，后500 個(gè)點(diǎn)為短周期。對(duì)照其相應(yīng)的小波熵序列圖，從圖中可以看出：周期較大時(shí)小波熵趨于零，周期較小時(shí)小波熵更大，中間過(guò)渡部分小波熵出現(xiàn)最大值，即準(zhǔn)周期小波熵復(fù)雜度的大小與窗口內(nèi)序列準(zhǔn)周期的平均周期一致，可以用運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度來(lái)分析Lorenz 系統(tǒng)的準(zhǔn)周期的運(yùn)動(dòng)特征，刻畫(huà)系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間的演變特征。

圖1 長(zhǎng)、短周期的小波熵序列演變特征Fig.1 Evolution characteristics of wavelet entropy series with long and short periods

3 Lorenz 系統(tǒng)的時(shí)間序列及其小波熵測(cè)度

3.1 Lorenz 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特征

采用四階Runge-Kutta法求解該微分方程組，并調(diào)用MATLAB函數(shù)ode45進(jìn)行計(jì)算，時(shí)間范圍取0～60s，求得x、y、z三個(gè)分序列的各3285點(diǎn)。圖2為x分量的部分時(shí)域圖，從圖中可看出該分量圍繞著x軸上的兩點(diǎn)振蕩運(yùn)動(dòng)，正方向在x=8附近，為系統(tǒng)的p+吸引子，負(fù)方向在x=-10附近，為系統(tǒng)的p-吸引子；圖3所示為其混沌吸引子圖，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中局限在相空間中的有限區(qū)域內(nèi)，即繞p+吸引子（或p-吸引子）運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后變化到繞p-吸引子(或p+吸引子)運(yùn)動(dòng)，為非周期的混沌運(yùn)動(dòng)，但又有周期性特征，即各階段由類(lèi)似的、但又不同的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)交替構(gòu)成。

圖2 Lorenz系統(tǒng)的部分時(shí)域圖Fig.2 Partial time domain diagram of Lorenz system

圖3 Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子Fig.3 Chaotic attractor of Lorenz system

3.2 準(zhǔn)周期測(cè)度的計(jì)算

考慮正交小波函數(shù)的多樣性，選用正交性好的db系列小波，利用其緊支撐和多尺度分析的特點(diǎn)，來(lái)描述系統(tǒng)的準(zhǔn)周期測(cè)度。

計(jì)算方法：（1）采用db6小波對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間序列進(jìn)行三層小波分解，分解與重構(gòu)后得a3、d3、d2、d1等四個(gè)分支序列。（2）采用滑動(dòng)窗口的方法計(jì)算小波熵，滑動(dòng)步長(zhǎng)取1（平滑效果好，但計(jì)算量偏大），即對(duì)四個(gè)分序列選取窗口寬度為W，進(jìn)行長(zhǎng)度為W/2的、對(duì)稱(chēng)的、一維擴(kuò)展，再用一個(gè)寬度為W的時(shí)間窗從擴(kuò)展后四個(gè)分信號(hào)的第1點(diǎn)開(kāi)始截取長(zhǎng)為W的一段，依照小波熵定義可求出此時(shí)間窗的小波熵值，并將此小波熵值賦給時(shí)間窗內(nèi)的第W/2+1點(diǎn)（對(duì)應(yīng)原Lorenz時(shí)間序列的第一個(gè)點(diǎn)）；（3）將時(shí)間窗向右移動(dòng)一個(gè)點(diǎn)，得到四個(gè)分支序列第二窗口的四段數(shù)據(jù)，并求得第二個(gè)點(diǎn)的小波熵值；（4）依次循環(huán)下去，可得到整個(gè)序列各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的小波熵值，即為所求的小波熵復(fù)雜度序列，用來(lái)測(cè)度準(zhǔn)周期的演變特征。

為觀察混沌系統(tǒng)的較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)演變特征，用Runge-Kutta法計(jì)算系統(tǒng)時(shí)間序列時(shí)取360 s，得到20869點(diǎn)的x、y、z三個(gè)序列，分別計(jì)算x、y、z三個(gè)序列的小波熵序列，三者情形一致。文中以計(jì)算x分量的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度為例，分別取窗口寬度為W=600，W=800和W=1000， 求得Lorenz模型的x分量在各窗口中的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度序列，如圖4所示，對(duì)于不同的窗口寬度時(shí)，系統(tǒng)的復(fù)雜度特征基本一致，三個(gè)小波熵序列運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度的變化特點(diǎn)都呈現(xiàn)了Lorenz系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的內(nèi)在特征——小波熵測(cè)度的演變特征，鑒于此，下面的分析中均采用W=600進(jìn)行分析。

圖4 x分量不同窗口寬度的小波熵復(fù)雜度Fig.4 Wavelet entropy complexity of x component with different window width

在圖4中，小波熵運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度序列包括很多極大值、極小值，這些極大值、極小值的出現(xiàn)與系統(tǒng)繞p+吸引子或p-吸引子的振蕩有關(guān)，一個(gè)振蕩來(lái)回為一個(gè)準(zhǔn)周期。（1）根據(jù)圖1長(zhǎng)、短周期的演變特征可知這些極大值、極小值的出現(xiàn)與準(zhǔn)周期的長(zhǎng)短有關(guān)；（2）小波熵序列的波形為大小不一、形狀相似、山峰狀的循環(huán)窗口組成，也具有準(zhǔn)周期性。

3.3 運(yùn)動(dòng)復(fù)雜度的周期性描述

圖5為x分量的360 s時(shí)域圖及W=600時(shí)的小波熵復(fù)雜度序列，圖中的最小值點(diǎn)序號(hào)為7818，小波熵值為0.0033，最大值點(diǎn)序號(hào)為13757，小波熵值為0.0081，為探討最小、最大小波熵值點(diǎn)的準(zhǔn)周期動(dòng)力學(xué)特征，將最小、最大小波熵值所對(duì)應(yīng)窗口的時(shí)域圖分別于圖6、圖7中畫(huà)出。

圖5 小波熵測(cè)度的最小、最大值（w=600，點(diǎn)數(shù)為20869）Fig.5 Minimum and maximum values of wavelet entropy measure(w=600,number of points is 20869)

圖6中最小小波熵值對(duì)應(yīng)x分量的時(shí)域窗口為［7518 8118],圖7中最大小波熵值對(duì)應(yīng)x分量的時(shí)域窗口為[13457 14057]。對(duì)照長(zhǎng)、短周期的小波熵序列演變特征分析lorenz系統(tǒng)的準(zhǔn)周期特性。最小小波熵值的系統(tǒng)特征：（1）最小值所對(duì)應(yīng)窗口的平均準(zhǔn)周期最長(zhǎng)；（2）最小值點(diǎn)兩邊lorenz系統(tǒng)的平均準(zhǔn)周期無(wú)突變，兩邊有非常對(duì)稱(chēng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)特性；最大小波熵值的系統(tǒng)特征：（1）最大值所對(duì)應(yīng)窗口的前半個(gè)窗口表現(xiàn)為多次繞p+吸引子或p-吸引子振蕩一次便轉(zhuǎn)為繞p-吸引子或p+吸引子的振蕩，即平均準(zhǔn)周期最短；（2）最大值兩邊Lorenz運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)周期發(fā)生突變；左邊為短平均準(zhǔn)周期，右邊為長(zhǎng)平均準(zhǔn)周期。因而，lorenz系統(tǒng)的平均準(zhǔn)周期的演變過(guò)程總是伴隨著小波熵序列的由極小值變化到極大值、由極大值變化到極小值，是準(zhǔn)周期長(zhǎng)短、對(duì)稱(chēng)的演變過(guò)程，包括準(zhǔn)周期的緩慢演變、準(zhǔn)周期的突變等過(guò)程。

圖6 x 分量最小小波熵值與時(shí)域運(yùn)動(dòng)特征對(duì)照Fig.6 Comparison of minimum wavelet entropy of x-component and motion characteristics in time domain

圖7 x 分量的最大小波熵值與時(shí)域運(yùn)動(dòng)特征對(duì)照Fig.7 Comparison between maximum wavelet entropy of x component and time domain motion characteristics

4 結(jié)論

本研究利用Runge-Kutta法求解Lorenz系統(tǒng)的微分方程得到其時(shí)間序列，運(yùn)用小波熵復(fù)雜度算法，計(jì)算并分析了其時(shí)間序列的小波熵測(cè)度，計(jì)算的復(fù)雜度序列反映了Lorenz系統(tǒng)的演化特征，x，y，z三個(gè)分量的復(fù)雜度序列均具有混沌性質(zhì)，是由許多大小不一、形狀相似的循環(huán)窗口組成，反映了Lorenz系統(tǒng)內(nèi)在的準(zhǔn)周期特性；研究小結(jié)：（1）各分量長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)圍繞p+吸引子振蕩時(shí)及頻繁在p-吸引子和p+吸引子之間來(lái)回振蕩時(shí)，小波熵測(cè)度出現(xiàn)極大值；（2）各分量長(zhǎng)時(shí)間連續(xù)圍繞p+或p-吸引子振蕩時(shí)，小波熵測(cè)度出現(xiàn)極小值；（3）小波熵值在極大值和極小值之間上下振蕩，變化過(guò)程表征著Lorenz系統(tǒng)準(zhǔn)周期的演變特征，因此系統(tǒng)的演化可以通過(guò)時(shí)間序列的復(fù)雜度特性來(lái)揭示其動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)特征，此方法可以應(yīng)用到觀測(cè)數(shù)據(jù)的動(dòng)力學(xué)分析，通過(guò)計(jì)算數(shù)據(jù)的小波熵復(fù)雜度反演系統(tǒng)的演變特性。