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    淺談類比在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

    2021-10-12 03:27臧家平
    關(guān)鍵詞:類比運用方法中職數(shù)學(xué)

    臧家平

    [摘? ?要]文章分析了在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比的重要性和必要性,并通過教學(xué)實例,闡述了類比在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運用。

    [關(guān)鍵詞]類比;中職數(shù)學(xué);運用方法

    [中圖分類號]? ?G71? ? ? ? [文獻標識碼]? ?A? ? ? ? [文章編號]? ?1674-6058(2021)30-0081-02

    類比是根據(jù)兩個或兩類對象在某些屬性上的相似或相同之處,推斷它們在其他屬性上也可能有相同或相似之處的一種推理方式。類比作為學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的重要方式,在中職數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié)廣泛運用。

    一、類比在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中運用的必要性及重要性

    類比是中職數(shù)學(xué)課程標準要求學(xué)生掌握的重要推理方式。中職數(shù)學(xué)課程標準中明確指出,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要注重類比和歸納兩種推理方式的運用。在教學(xué)數(shù)學(xué)概念,以及相關(guān)的性質(zhì)和公式定理等時,通過類比的方法,可以加深學(xué)生的理解和掌握,使他們做到舉一反三、觸類旁通。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中運用類比,能夠起到事半功倍的作用。

    筆者通過研究與觀察發(fā)現(xiàn),一些中職學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較差,基本技能掌握得不夠扎實,數(shù)學(xué)思維空間較窄,缺少學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與積極性。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和知識的掌握程度,在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\用類比,能夠有效降低學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性。

    二、類比在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運用

    數(shù)學(xué)概念多數(shù)比較抽象難懂,學(xué)生不容易理解和掌握,不能有效把握概念的內(nèi)涵和外延。在概念教學(xué)中運用類比,可以加深學(xué)生對概念的理解和掌握。

    1.在教學(xué)并集的概念時,可將交集的概念與其進行類比。交集是由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合,而并集是由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合。在教學(xué)中,通過類比交集和并集的概念,可以加深學(xué)生對它們的理解。同樣,在教學(xué)補集的概念時可以引導(dǎo)學(xué)生將并集的概念與其類比,再讓學(xué)生把并集和加法的運算相類比,把補集和減法的運算相類比。通過類比,能夠降低知識的理解難度,加深學(xué)生對并集和補集概念的理解和掌握。

    2.在講授橢圓和雙曲線定義時,可有效運用類比。橢圓的定義:平面內(nèi)與兩定點[F1、F2]的距離的和等于常數(shù)[2a(2a>F1F2)]的動點P的軌跡叫作橢圓,即[PF1+PF1=2a],其中兩定點[F1、F2]叫作橢圓的焦點,兩焦點的距離[F1F2=2c<2a]叫作橢圓的焦距。雙曲線的定義:平面內(nèi)到兩定點[F1、F2]的距離之差的絕對值為常數(shù)(小于這兩個定點間的距離)的點的軌跡稱為雙曲線,定點叫雙曲線的焦點。在講授橢圓和雙曲線定義時運用類比,能夠使學(xué)生更好地分清距離之和和距離之差的區(qū)別,加深對橢圓和雙曲線定義的理解。

    3.在教學(xué)排列和組合的概念時可有效運用類比。排列的概念:從n個元素之中取出m個元素進行排序。組合的概念:從n個元素之中取出m個元素并成一組。排列是取出元素進行排序,因此如果元素相同但排序不同,就是不相同的排列。而組合是取出元素再并成一組,組合里的元素是沒有排列順序的,那么如果組合的元素相同但排序不同,便還是同一個組合。通過類比排列的概念和組合的概念,學(xué)生明確了它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

    4.在教學(xué)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的概念時可有效運用類比。等差數(shù)列的概念:從數(shù)列的第2項開始,每一項和它前一項的差都等于同一個常數(shù),則該數(shù)列是等差數(shù)列。等比數(shù)列的概念:從數(shù)列的第2項開始,每一項和它前一項的比都等于同一個常數(shù),則該數(shù)列是等比數(shù)列。等比數(shù)列和等差數(shù)列的概念相差不大,卻是兩個截然不同的概念。因此,在教學(xué)中可以通過類比,加深學(xué)生對這兩個概念的理解,讓學(xué)生將知識掌握得更加牢固。

    5.在立體幾何的教學(xué)中,可以將平面幾何的相關(guān)知識與立體幾何知識進行類比。例如,通過學(xué)習(xí)平面幾何,學(xué)生知道了判斷兩條直線是平行線的依據(jù)是這兩條直線沒有公共點,那么,這在立體幾何中是否適用呢?這便能夠引入異面直線的教學(xué)。在平面幾何中,兩條直線如果沒有公共點,那么這兩條直線就互相平行,但是在立體幾何中,如果兩條直線沒有公共點,那么這兩條直線的位置關(guān)系有兩種,要么平行,要么異面。在教學(xué)中,教師恰當(dāng)?shù)剡\用類比,能夠加深學(xué)生對知識點的理解。

    三、類比在性質(zhì)和圖像教學(xué)中的運用

    性質(zhì)的應(yīng)用是中職數(shù)學(xué)的一大題型。性質(zhì)是學(xué)生容易混淆的知識,是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重點和難點。在教學(xué)中恰當(dāng)運用類比,能夠加深學(xué)生對相關(guān)性質(zhì)的理解和掌握。

    1.在教學(xué)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時,可有效運用類比。教師在教學(xué)對數(shù)函數(shù)的定義域和值域時,可引導(dǎo)學(xué)生類比指數(shù)函數(shù)的定義域和值域。同樣,可類比根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,比較兩個數(shù)的大小的方法與根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,比較兩個數(shù)的大小的方法。通過類比學(xué)習(xí),學(xué)生能夠加深對相關(guān)性質(zhì)的理解,從而能夠更好地解題。

    在講解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像時,借助表格的形式進行類比(如表1),能夠使學(xué)生更加直觀地感受到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的區(qū)別。

    2.在講解推導(dǎo)的傳遞性,即如果[a?b ,b?c],那么[a?c]時 ,教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解起來有難度。為降低學(xué)習(xí)的難度,教師便引導(dǎo)學(xué)生將實數(shù)大小的傳遞性與其進行類比,即如果[a>b ,b>c],那么[a>c],以加深學(xué)生的理解。當(dāng)然,如果能夠直接舉例實數(shù)大小的傳遞性更好,譬如如果[3>2 ,2>1],那么[3>1]。同理,在講授平行直線的傳遞性時,也可以將其與實數(shù)大小的傳遞性和推導(dǎo)的傳遞性進行類比,以觸類旁通,讓學(xué)生更易于習(xí)得相關(guān)知識。

    3.在教學(xué)余弦函數(shù)時,可以將正弦函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容,如定義域、值域、最大值和最小值、周期性、單調(diào)性、奇偶性、單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的區(qū)間以及離心率等與余弦函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進行類比,并引導(dǎo)學(xué)生通過正弦函數(shù)的性質(zhì)和圖像來研究余弦函數(shù)的性質(zhì)和圖像,找出兩者的性質(zhì)和相應(yīng)圖像之間的共同點與不同點,以加深學(xué)生對知識點的理解。

    四、類比在公式和定理教學(xué)中的運用

    在教學(xué)中,教師可以將數(shù)學(xué)公式和定理的運用和逆運用進行類比,也可以類比相似公式的運用。不論哪一種類比,都能在幫助學(xué)生記憶公式上起到重要的作用。

    1.在集合之間的運算中,兩個集合的交集、并集和補集的運算結(jié)果是一個集合。集合之間的運算指兩個集合之間按照某種運算規(guī)則構(gòu)造了一個新的集合。學(xué)生在剛接觸集合之間的運算的時候,往往容易得出結(jié)果是實數(shù)的錯誤答案,特別是當(dāng)兩個集合都是數(shù)集的時候,更容易出現(xiàn)類似錯誤。因此在教學(xué)集合之間的運算時可以將實數(shù)的運算與其進行類比。兩個實數(shù)之間基于某種運算法則得出的結(jié)果是一個實數(shù),同理,兩個集合之間的運算結(jié)果應(yīng)是集合。在教學(xué)向量的加法、向量的減法和數(shù)乘向量的運算時,可以將集合之間的運算與其進行類比,進而得出它們基于某種運算規(guī)則得出的結(jié)果應(yīng)是向量。當(dāng)然,在教學(xué)數(shù)乘向量的交換律和結(jié)合律時,類比實數(shù)的交換律和結(jié)合律,可以幫助學(xué)生記憶、理解公式,為他們運用公式打下堅實的基礎(chǔ)。

    2.在《圓的標準方程》一節(jié)中,教師已經(jīng)講解了求圓錐曲線方程的步驟:⑴建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?,設(shè)曲線上任意一點M的坐標;⑵列適合M點條件的方程;⑶化簡;⑷驗證。在教學(xué)橢圓的標準方程時,類比圓錐曲線的標準方程,在推導(dǎo)雙曲線和拋物線的標準方程時,類比推導(dǎo)橢圓標準方程的步驟,循序漸進。這樣做能夠讓學(xué)生做到心中有數(shù),進而求出標準方程。

    另外,橢圓的標準方程是 [x2a2+y2b2=1(a>b>0)], [a、b、c] 分別是半長軸、半短軸和半焦距,三者之間的關(guān)系式為 [a2=b2+c2];而雙曲線的標準方程是? [x2a2-y2b2=1(a>0 ,b>0)],[a、b、c]分別是半實軸、半虛軸和半焦距,三者之間的關(guān)系式為[c2=a2+b2]。橢圓和雙曲線的標準方程的形式極其相似,僅僅是中間的符號不同,且[a、b、c]三者之間的關(guān)系十分容易混淆。在教學(xué)雙曲線和橢圓的標準方程時,有效運用類比,能夠加深學(xué)生對相關(guān)知識的理解和掌握。

    3.拋物線的標準方程既是教學(xué)的重點,又是教學(xué)的難點。學(xué)生非常容易混淆圓錐曲線的標準方程、橢圓的標準方程、雙曲線的標準方程與拋物線的標準方程。要想學(xué)生能夠掌握并靈活運用這些知識點,教師可有效運用類比,這樣更有利于學(xué)生進行知識點的記憶和區(qū)別。

    4.兩角和與兩角差的余弦公式是 [cosα+β=cosα?cosβ-sinα?sinβ]和[cosα-β=cosα?cosβ+sinα?sinβ],而兩角和與兩角差的正弦公式是[sinα±β=sinα?cosβ±cosα?sinβ]。兩角和與兩角差的正余弦公式比較相似,因此,教師在教學(xué)時可運用類比使學(xué)生找到記憶的訣竅,并且更好地去理解、掌握和運用公式。同理,兩個向量平行的坐標表示是 [x1y2-x2y1=0],兩個向量垂直的坐標表示是[x1x2-y1y2=0]。這兩個公式十分相似,因此非常容易混淆。在教學(xué)中,將這兩個公式進行類比,能夠使學(xué)生更容易接受。

    綜上所述,類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不可替代的重要作用。它既是學(xué)習(xí)新知識的有效方法,又是將知識進行串聯(lián)的重要工具,對于學(xué)生構(gòu)建有效的知識體系起到了重要的作用。

    (責(zé)任編輯? ? 王嵩嵩)

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